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- 2021-06-16 发布
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专题8：等差数列、等比数列(两课时)
班级 姓名
一、课前测试
1．(1) 已知an+1＝， a1＝2 ，求证：数列{}的等差数列；
提示：用等差数列的定义来证.
(2)数列{an}前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，令bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列.
提示：先利用数列的前n项和与通项an之间的关系,找到数列的递推关系；再用等比数列的定义来证．
即由an＋Sn＝n，得an－1＋Sn－1＝n－1，两式相减得2an－an－1＝1即2bn＝bn－1．
从而有＝(常数)
2．已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*且n≥2)，a1＝2，令bn＝(an＋t) (n∈N*)，否存在一个实数t，使得数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．
答案：存在实数t＝1，使得数列{bn}为等差数列．
3．(1) Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则an＝ ．
(2)已知在等比数列{an}中，a3＝2，a2＋a4＝，则an＝ ．
答案：(1) ； (2) an＝2×3n－3或an＝2×()n－3．
4． (1)设在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求＝ ；＝ ．
(2)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项之和分别是Sn、Tn，已知＝，则＝ ．
(3)已知一个等比数列的前10项和为10，前20项和为30，则前50项的和为 ．
答案：(1)n＝6， q＝2或；(2)；(3)310．
5． (1)已知{an}是等差数列，若a1＝20，公差d＝－2，求数列前n项和Sn的最大值．
(2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，公差d＜0，且求使得取得最大值的值.
答案：(1)当且仅当n＝10或11时，Sn取得最大值110．
(2) 结合二次函数图象分析，
二、方法联想
1．等差、等比数列的证明
方法 证明数列是等差数列：
方法1 定义法，即当n∈N*时，an＋1－an为同一常数．
方法2 中项公式法，即当n∈N*时，2an＋1＝an＋an＋2均成立，其推广形式为：2an＝
an－m＋an＋m．
方法 证明数列是等比数列：
方法1 定义法，即当n∈N*时，为同一常数．
方法2 中项公式法，即当n∈N*时，an＋12＝anan＋2均成立，其推广形式为： an2＝an－m＋an＋m．
2．等差、等比数列的判断
判断数列是等差数列
方法1 定义法，即当n≥1且n∈N*时，an＋1－an为同一常数．
方法2 中项公式法，即当n≥1且n∈N*时，2an＋1＝an＋an＋2均成立．
方法3 特殊值法，如前3项成等差，再证明其对任意n∈N*成等差数列．
方法4 通项为一次形式，即an＝an＋b．
方法5 前n项和为不含常数项的二次形式，即Sn＝an2＋bn．
方法6 若数列{an}为等比数列，则{logaan}为等差数列．
注意 方法4、5、6只能做为判断，作为解答题需要证明．
判断数列不是等差数列
方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等差数列．
判断数列是等比数列
方法1 定义法，即当n∈N*时，为同一常数．
方法2 中项公式法，即当n∈N*时， an＋12＝anan＋2均成立．
方法3 特殊值法，如前3项成等比，再证明其对任意n∈N*成等比数列．
方法4 通项公式为指数幂形式，即an＝aqn．
方法5 若数列{an}为等差数列，则{aan}为等比数列．
注意 方法4、5只能做为判断，作为解答题需要证明．
判断数列不是等比数列
方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等比数列．
3．基本量运算
基本量法：等差、等比数列中，五个元素a，q，n，an，Sn中四个量可以建立关系式，如知三求二．
【变式】在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a21＝30，则S15＝_____．
(基本量解决问题时，也应根据目标“按需所求”)
4．性质的应用
方法 (1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq．特别若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q则aman＝apaq．特别若m＋n＝2p，则am＋an＝ap2．
(2) 在等差数列{an}中，由Sn＝得，若n为奇数，则Sn＝na．
方法 在等差数列{an}中，Sn，S2n －Sn，S3n －S2n成等差数列．
在等比数列{an}中，Sn，S2n －Sn，S3n －S2n成等比数列．
【变式】
（1）若两个等差数列{an}和{bn}的前n项之和分别是Sn、Tn，已知＝，则＝ ．
（2）已知一个等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a2＋a3＋a4＝－1，则数列{an}的前6项的和＝ ．
答案：（1）；（2）－5
5．等差数列Sn的最值问题
方法 在等差数列{ an }中Sn 的最值问题：
方法1：(1)当a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sm取最大值.
(2)当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sm取最小值，
方法2：由Sn 的解析式，结合二次函数图象分析．
【变式】已知{an}是等差数列，若a1＝20，数列前n项和Sn取得最大值的条件的n＝10，求公差的取值范围．
(已知等差数列取得最值的条件，确定参数的取值范围)
答案：(－，－2)．
三、例题分析
例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．
解 (1) an＝3n－2.
(2)数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23.
【教学建议】
(1) 主要问题归类与方法：
1．求数列的通项：方法①利用等差(比)数列的通项公式；②构造等差(比)数列；③由Sn与an的关系求通项；④用不完全归纳法，猜想数列的通项，再证明．
2．求数列的最大项问题：①将数列的通项看作是n的函数，通过讨论相应函数的单调性来求最值；②考察数列的单调性，求最大项；③利用基本不等式求最值．
(2)方法选择与优化建议：
对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题已知数列是等差数列，所以选择方法①．
对于问题2，学生一般会选择③，因为本题中bn＝3n＋－1便于用基本不等式求最值，但要注意这里n必须取正整数，所以选择方法③．
例2 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn，且满足：a2a4＝65，a1＋a5＝18．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i值；
(3)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列，若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．
解 (1) an＝4n－3. (2) i＝3．
(3)由(1)知，Sn＝2n2－n．
假设存在常数k，使数列{}为等差数列，
【法一】由＋＝2，得k＝1,
当k＝1时，＝n，易知数列{}为等差数列．
【法二】假设存在常数k，使数列{}为等差数列，由等差数列通项公式可知
设＝an＋b， 得2n2＋(k－1)n＝(an)2＋2abn＋b2恒成立，
可得a2＝2，2ab＝k－1，b2＝0，∴a2＝2，b＝0，k＝1
∴＝n，易知数列{}为等差数列．
【教学建议】
(1)主要问题归类与方法：
1．等差(比)数列基本量的计算：
方法: ①利用等差(比)数列的通项公式与前n项和公式，求基本量a1与d(q)，再用上述公式求数列中某项，某项数与某些项的和．
②利用等差(比)数列的性质，把条件简化后再用通项公式各前n项和公式求基本量；
2．条件探索性问题：
方法: ①利用分析法，从结论和已知条件入手，执果索因，导出所需条件；
②从特例出发，探求结论成立的条件，再进行证明．
(2)方法选择与优化建议：
对于问题1，一般优先考虑方法②，如没性质可用，就用方法①，本题先用性质简化后，先求出a2和a4，再求d，然后用an＝a2＋(n－2)d，求通项，当然本题用方法①也很简单．
对于问题3，学生一般会选择方法②，由特例求k的值比较方便，所以用方法②．
例3：等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝5，S7＝63，数列{bn}的前n项为Tn，满足bn＝Tn－1 ＋2(n≥2，n∈N)，b1＝2，
（1）求an与bn；
（2）求数列{anbn}的前n项和Fn．
（3）若＋＋…＋≤x2＋ax＋1对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)an＝2n＋1；bn＝2n．
(2) Fn＝(2n－1)·2n＋1＋2．
(3)－1≤a≤1．
【教学建议】
(1)主要问题归类与方法：
1．等差(比)数列基本量的计算：
方法: ①利用等差(比)数列的通项公式与前n项和公式，求基本量a1与d(q)，再用上述公式求数列中某项，某项数与某些项的和．
②利用等差(比)数列的性质，把条件简化后再用通项公式各前n项和公式求基本量；
2．判断一个数列是等差(比)数列：
方法：①利用定义：an＋1－an＝d(常数)；②等差中项：2an＝an－1＋an＋1 (n≥2，n∈N*)．
3．数列求和问题：
方法：①利用等差(比)数列前n和公式求和；②分部求和；③错位相减法；
④裂项求和．
4．不等式恒成立，求参数的范围问题：
方法：①转化为求函数的最值；②变量分离后转化为求函数的最值；
③利用几何意义求参数的范围
(2)方法选择与优化建议：
对于问题1，一般优先考虑方法②，如没性质可用，就用方法①，本题先用性质S7＝7a4简化后，先求出a4，再由a2的值，再求d，然后用an＝a2＋(n－2)d，求通项，当然本题用方法①也很简单．
对于问题2，学生一般会选择方法①，本题将通项bn与前n项Tn关系代入，
可得递推关系bn＋1＝2bn．由等比数列的定义，可推得{bn}为等比数列，．
对于问题3，学生一般会选择方法③和④，本题中数列{anbn}是由等差数列与等比数列相应项之积所构成的数列，所以用方法③求和，数列{}的通项是分式形式，所以用方法④求和．
对于问题4，本题中不等式对于任意n恒成立，用方法②，对于任意实数x恒成立，用方法①，当然对于任意实数x恒成立，由于是一元二次不等式，所以也可用方法③．
四、反馈练习
1.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于________．
答案: －24
说明：本题考查等比数列、等比中项定义
2.等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a4＋ak＝0，则k＝________.
答案: 10
说明：本题考查等差数列的性质若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋
aq
3.已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________.
答案:-7
说明：本题考查等比数列性质：若m＋n＝p＋q则aman＝apa
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0.若S6-2S3＝5，则S9-S6的最小值为________.
答案: 20
说明：本题考查等比数列的性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列
5.各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.
答案:10
说明：本题考查数列{an}为等比数列，为等差数列
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．
答案: 1或－1
说明：本题考查等比数列求和公比q的分类
7.已知等比数列{an}中a2＝1，其前三项的和S3的取值范围是________________．
答案: (－∞，－1]∪[3，＋∞)
说明：本题考查数列与不等式
8．在等差数列{an}中，a1＝－2 014，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 014的值等于____________
答案: －2 014
说明：本题考查等差数列的性质：也是等差数列
9.数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8等于________．
答案; 3
说明：本题考查叠加法求数列通项公式
10. 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.则 an=_________.
答案：an＝－n
说明：本题考查等差数列的最值
11.在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.（等差数列各项绝对值求和）
答案：(1)d＝－1或d＝4; an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*
(2) |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
说明： (1) 本题考查等差数列基本量的运算
(2) 本题考查等差数列各项绝对值求和
12.已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；
(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.
答案：(1) cn＝2n－1 (2) Sn＝(n－1)3n＋1.
说明： (1) 本题考查齐次式的处理办法
(2) 本题考查错位法求和
13成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋}是等比数列．
答案：(1)bn＝5·2n－3. (2) {Sn＋}是以为首项，2为公比的等比数列．
说明： (1)本题考查三个数成等差数列的设定 (2) 本题考查等比数例的证明
14.已知数列{an}中，a1=1，a2＝2，且an+1=（1+q）an-qan-1(n≥2,q).
(1)设bn=an+1-an(n∈N*),证明{bn}是等比数列；
(2）求数列{an}的通项公式；
(3) 若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an+3与an+6的等差中项.
答案： (2) an= (3)
说明： (1)本题考查等比数列的证明 （2）本题考查累加法求数列的通项公式（注意对q的讨论）
（3）考查等差中项的证明。
15．已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.
(1)求an与bn；
(2)设cn＝3bn－λ·2，若数列{cn}是递增数列，求λ的取值范围．
答案：(1) an＝3n，bn＝3n－1 ; (2) (－∞，3)
说明： (1)本题考查等比数例、等差数列基本量的运算 (2) 本题考查数列的单调性
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