2019届二轮复习　函数与方程及函数的应用学案（全国通用） 7页

第12讲　函数与方程及函数的应用 高考统计·定方向 热点题型 真题统计 命题规律 题型1：函数的零点 ‎2017全国卷ⅢT12；2014全国卷ⅠT12‎ ‎1.考查频率较小，但要引起重视. ‎ ‎2.一般出现在第12题位置，难度较大.‎ 题型2：恒成立、能成立(存在性)问题 ‎2013全国卷ⅠT12；2013全国卷ⅡT12‎ 题型1　函数的零点 ‎■核心知识储备·‎ ‎1．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．‎ ‎2．函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．‎ ‎■高考考法示例·‎ ‎【例1】　(1)(2018·贵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈时，f(x)＝4x－1，则函数h(x)＝(x－1)f(x)－1在区间上所有零点之和为(　　)‎ A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1‎ ‎(2)(2018·青岛模拟)已知函数f(x)＝若对函数y＝f(x)－b，当b∈(0,1)时总有三个零点，则a的取值范围为________．‎ ‎(1)A　(2)(－∞，－2]　[(1)由已知f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x)的周期是2，且f(x＋1)＝f(－x)得x＝是其中一条对称轴，又当x∈时，f(x)＝4x－1，于是f(x)图象如图所示，‎ 又函数h(x)＝(x－1)f(x)－1零点即为y＝f(x)图象与y＝的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于(1,0)对称，所以x1＋x4＝2，x2＋x3＝2，所以零点之和为x1＋x2＋x3＋x4＝4，故选A.‎ ‎(2)当x≤0时，f(x)＝ex，y＝f(x)－b有一个零点，则当x＞0时，f(x)＝x2＋ax＋1，函数y＝f(x)－b应有两个零点，由f(x)＝x2＋ax＋1＝2＋1－知.解得a≤－2.]‎ ‎[方法归纳]‎ ‎1．判断函数零点个数的方法 ‎(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．‎ ‎(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题．‎ ‎2．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 ‎(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．‎ ‎(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解. ‎ ‎(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．‎ ‎■对点即时训练·‎ ‎1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2 018x＋log ‎2 018x，则函数f(x)的零点个数是 (　　)‎ A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4‎ C　[在同一直角坐标系中作出函数y＝2 018x和y＝－log2 018x的图象如图所示，可知函数f(x)＝2 018x＋log2 018x在x∈(0，＋∞)上存在一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在x∈(－∞，0)上只有一个零点，又f(0)＝0，∴函数f(x)的零点个数是3.]‎ ‎2．(2018·成都模拟)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－1,1) B．[0,2]‎ C．[－2,2) D．[－1,2)‎ D　[作y＝x＋2与y＝x2＋5x＋2在同一坐标系中的图象如图，要使g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同零点，即f(x)与y＝2x有三个不同交点，观察可知，需y＝x＋2与y＝2x交于C点；y＝x2＋5x＋2与y＝2x交于A、B点；故令x2＋5x＋2＝2x得x＝－1或x＝－2，令2x＝x＋2得x＝2.∴－1≤a<2.选D.]‎ 题型2　恒成立、能成立(存在性)问题 ‎■核心知识储备·‎ 对于关于x的不等式f(x)≥g(t)，x∈D ‎(1)不等式恒成立⇔f(x)min≥g(t)‎ ‎(2)不等式有解⇔存在x∈D，使得f(x)≥g(t)⇔f(x)max≥g(t)‎ ‎(3)不等式的解集为空集⇔f(x)＜g(t)，x∈D恒成立⇔f(x)max＜g(t)．‎ ‎■高考考法示例·‎ ‎【例2】　已知函数f(x)＝lg(a－ax－x2)‎ ‎(1)若f(x)的定义域A≠∅，试求实数a的取值范围．‎ ‎(2)若f(x)在(2,3)上有意义，试求实数a的取值范围．‎ ‎(3)若f(x)＞0的解集为(2,3)，试求实数a的值．‎ ‎[思路点拨]　‎ ‎(1)→→‎ ‎(2)→‎ ‎(3)→‎ ‎→→ ‎[解]　(1)能成立问题 f(x)的定义域非空，即存在实数x，使a－ax－x2＞0成立，‎ 则φ(x)＝a－ax－x2的最大值大于0‎ 又φ(x)＝－x2－ax＋a＝－2＋ 所以＞0，解得a＜－4或a＞0‎ ‎(2)恒成立问题 f(x)在(2,3)上有意义，等价于φ(x)＝a－ax－x2＞0在(2,3)上恒成立．‎ 则，解得a≤－ ‎(3)恰成立问题 f(x)＞0的解集为(2,3)，等价于不等式a－ax－x2＞1的解集为(2,3)，即方程x2＋ax＋1－a＝0的两根为2和3，则有－a＝5，即a＝－5.‎ ‎[方法归纳]　分离变量法和构造函数法是解决“恒成立”“能成立”“恰成立”问题的基本方法，又因为分离变量法容易掌握，故优先考虑.‎ ‎(教师备选)‎ 设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈，f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．‎ ∪　[法一：(分离变量法)依据题意得－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈上恒成立，即－4m2≤－－＋1在x∈上恒成立．‎ 当x＝时，函数y＝－－＋1取得最小值－，所以－4m2≤－，‎ 即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，解得m≤－或m≥.‎ 法二(函数法)依据题意得－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈上恒定成立，‎ 即－－＋1＋4m2－≥0在x∈上恒成立．‎ 令t＝，则t∈，∴－3t2－2t＋1＋4m2－≥0在t∈上恒成立，‎ 令g(t)＝－3t2－2t＋1＋4m2－ ‎∴g(0)≥0且g≥0，∴得m≤－或m≥.]‎ ‎■对点即时训练·‎ ‎1．已知当x＜0时，2x2－mx＋1＞0恒成立，则m的取值范围为(　　)‎ A．[2，＋∞)　　　　　 B．(－∞，2]‎ C．(－2，＋∞) D．(－∞，－2)‎ C　[当x＜0时，2x2－mx＋1＞0等价于m＞2x＋，又当x＜0时，2x＋＝－≤－2，当且仅当x＝－时等号成立．‎ 因此m＞－2，故选C.]‎ ‎2．在区间(1,2)上不等式x2＋mx＋4＞0有解，则m的取值范围为(　　)‎ A．m＞－4 B．m＜－4‎ C．m＞－5 D．m＜－5‎ C　[当x∈(1,2)时，x2＋mx＋4＞0等价于m＞－；又当x∈(1,2)时，g(x)＝x＋是减函数，故－5＜－＜－4，由题意知m＞－5，故选C.]‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)‎ A．－　　　B.　　　C.　　　D．1‎ C　[法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，‎ 令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.‎ ‎∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，‎ ‎∴函数g(t)为偶函数．‎ ‎∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．‎ 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，‎ ‎∴2a－1＝0，解得a＝.‎ 故选C.‎ 法二：f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.‎ ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．‎ ‎－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．‎ 若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.若a≤0，则f(x)的零点不唯一，故选C.]‎ ‎2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2) B．(1，＋∞)‎ C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)‎ A　[利用f′(x)＝3ax2－6x结合题意，可利用特殊值法求解．‎ f′(x)＝3ax2－6x，‎ 当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，‎ 则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；‎ x∈时，f′(x)<0；‎ x∈时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f＝>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示．‎ 图(1)‎ 不符合题意，排除B、C.‎ 当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的大致图象如图(2)所示．‎ 图(2)‎ 不符合题意，排除D.]‎