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- 2021-06-16 发布
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第 1 讲 集合的概念与运算
[考纲解读] 1.了解集合的含义.体会元素与集合的关系,能用自然语言、图形
语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题.
2.理解集合间的相等与包含关系,会求集合的子集,了解全集与空集的含义.(重
点)
3.在理解集合间的交、并、补的含义的基础上,会求两个集合的并集与交集,会
求给定子集的补集.(重点、难点)
4.能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及基本运算.
[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲一直是高考中的热点.预测 2020 年
高考会以考查集合交、并、补的运算为主,结合不等式的解法,求函数的定义域、
值域等简单综合命题,试题难度不大,以选择题形式呈现.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:□01
确定性、□02
互异性、□03
无序性.
(2)元素与集合的关系有□04
属于或□05
不属于两种,用符号□06
∈或□07
∉表示.
(3)集合的表示法:□08
列举法、□09
描述法、□10
图示法.
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或 N+) Z Q R
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔□01
B⊆A.
(2)交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔□02
A⊆B.
(3)补集的性质:A∪(∁UA)=□03
U;A∩(∁UA)=□04
∅;∁U(∁UA)=□05
A;∁U(A
∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
(4)若有限集 A 中有 n 个元素,则 A 的子集个数为 □06
2n 个,非空子集个数
为 □07
2n-1 个,真子集有 □08
2n-1 个,非空真子集的个数为 □09
2n-2 个.
1.概念辨析
(1)若 1∈{x,x2},则 x=±1.( )
(2){x|y=x2}={y|y=x2}={(x,y)|y=x2}.( )
(3){x|x≥2}={t|t≥2}.( )
(4)对于任意两个集合 A,B,总有(A∩B)⊆A,A⊆(A∪B).( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.小题热身
(1)若集合 A={x|-23},则 A∩B=( )
A.{x|-25}”,如何求解?
解 因为 B⊆A,所以①当 B=∅时,即 2m-14.
综上可知,实数 m 的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞).
1.判断集合间关系的三种方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来,然后比较集合元素的异同,从
而找出集合之间的关系.如举例说明 1
结构法
从元素的结构特点入手,结合通分、化简、变形等技巧,从元素结构上
找差异进行判断.如举例说明 2
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合,比较端点之间的大小关系,从而确定
集合与集合之间的关系.如举例说明 3
2.根据集合间的关系求参数的策略
(1)注意对集合是否为空集进行分类讨论
因为∅⊆A 对任意集合 A 都成立.如举例说明 3 中 2m-12 C.a<0 D.a≤0
答案 A
解析 ∵A={x|0≤x≤2},B={x|x≤a},∴为使 A⊆B,a 须满足 a≥2.
3.满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合 A 的个数为________.
答案 7
解析 集合 A 除含元素 0,1,2 外,还至少含有 3,4,5 中的一个元素,所以集
合 A 的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数,即为 23-1=7.
题型 三 集合的基本运算
角度 1 集合的并、交、补运算
1.(2018·天津高考)设集合 A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-
1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )
A.{-1,1} B.{0,1}
C.{-1,0,1} D.{2,3,4}
答案 C
解析 因为集合 A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},A∪B={-1,0,1,2,3,4},所
以(A∪B)∩C={-1,0,1}.
2.(2018·皖北协作区联考)已知集合 A={y|y= x2-1},B={x|y=lg (x-
2x2)},则∁R(A∩B)=( )
A.[0,1
2) B.(-∞,0)∪[1
2
,+∞)
C.(0,1
2) D.(-∞,0]∪[1
2
,+∞)答案 D
解析 因为 A={y|y= x2-1}=[0,+∞),B={x|y=lg (x-2x2)}=(0,1
2),
所以 A∩B=(0,1
2),所以∁R(A∩B)=(-∞,0]∪[1
2
,+∞).
角度 2 知集合的运算结果求参数
3.设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁
UA)∩B=∅,则 m=________.
答案 1 或 2
解析 A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得 B⊆A.
x2+(m+1)x+m=0 可化为(x+1)(x+m)=0,
当 m=1 时,B={-1},符合题意;
当 m≠1 时,B={-1,-m},为使 B⊆A 成立,须有-m=-2,即 m=2.
综上知 m=1 或 2.
1.求集合交集、并集或补集的步骤
2.知集合的运算结果求参数问题的两个关键点
(1)分析运算结果并进行恰当转换.
如举例说明 3 中,由(∁UA)∩B=∅,知 B⊆A.
(2)化简集合为求参数创造有利条件.
如举例说明 3 中,A={-2,-1}.当 m=1 时,B={-1};当 m≠1 时,B
={-1,-m}.
1.已知全集 U=R,集合 M={x|(x-1)(x+3)<0},N={x||x|≤1},则阴影部
分(如图)表示的集合是( )
A.[-1,1)
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪[-1,+∞)
D.(-3,-1)
答案 D
解析 由题意可知,M=(-3,1),N=[-1,1],所以阴影部分表示的集合为
M∩(∁UN)=(-3,-1).
2.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合 A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( )
A.{x|-12} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
答案 B
解析 解不等式 x2-x-2>0 得 x<-1 或 x>2,所以 A={x|x<-1 或 x>2},所
以∁RA={x|-1≤x≤2},故选 B.
3.(2019·辽宁五校模拟)已知集合 P={x|x2-2x-8>0},Q={x|x≥a},P∪Q
=R,则 a 的取值范围是( )
A.(-2,+∞) B.(4,+∞)
C.(-∞,-2] D.(-∞,4]
答案 C
解析 集合 P={x|x2-2x-8>0}={x|x<-2 或 x>4},Q={x|x≥a},若 P∪Q
=R,则 a≤-2,即 a 的取值范围是(-∞,-2].
题型 四 集合的新定义问题
已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x1,y1)∈M,都存在(x2,
y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个
集合:
①M=Error!;
②M={(x,y)|y=log2x};
③M={(x,y)|y=ex-2};
④M={(x,y)|y=sinx+1}.
其中是“垂直对点集”的序号是( )
A.①④ B.②③ C.③④ D.②④
答案 C
解析 记 A(x1,y1),B(x2,y2),则由 x1x2+y1y2=0 得 OA⊥OB.对于①,对
任意 A∈M,不存在 B∈M,使得 OA⊥OB.对于②,当 A 为(1,0)时,不存在 B∈M
满足题意.对于③④,对任意 A∈M,过原点 O 可作直线 OB⊥OA,它们都与函
数 y=ex-2 及 y=sinx+1 的图象相交,即③④满足题意.
与集合相关的新定义问题的解题思路
(1)紧扣“新”定义:分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄
清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题的关键所
在.
(2)把握“新”性质:集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新
定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集
合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.
(3)遵守“新”法则:准确把握新定义的运算法则,将其转化为集合的交集、
并集与补集的运算.
如果集合 A 满足:若 x∈A,则-x∈A,那么就称集合 A 为“对称集合”.已
知集合 A={2x,0,x 2+x},且 A 是对称集合,集合 B 是自然数集,则 A∩B=
________.
答案 {0,6}
解析 由题意可知-2x=x2+x,所以 x=0 或 x=-3.而当 x=0 时不符合元
素的互异性,所以舍去.当 x=-3 时,A={-6,0,6},所以 A∩B={0,6}.