【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第67讲坐标系学案 5页

第十一单元　选修4部分 ‎1.课时安排 第67讲　坐标系 考试说明 1. 了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.‎ ‎2. 了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.‎ ‎3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎2. (1)极径　极角　(2)ρcos θ　x2+y2　‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨 (1)将代入曲线C的方程得+y'2=1;(2)根据题意,将代入变换后所得曲线的方程,即可得曲线C的方程.‎ ‎(1)+y'2=1　(2)4x2+9y2=1　[解析 (1)因为所以代入曲线C的方程得C':+y'2=1.‎ ‎(2)根据题意,曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x'2+y'2=1,‎ 则(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,‎ 所以曲线C的方程为4x2+9y2=1.‎ 变式题　(1)(1,-1)　(2)(-5,0),(5,0)　[解析 (1)设A'(x',y'),由伸缩变换φ:得到由于点A的坐标为,于是x'=3×=1,y'=×(-2)=-1, ∴A'的坐标为(1,-1).‎ ‎(2)设曲线C'上任意一点P'(x',y'),将代入x2-=1,得-=1,化简得-=1,即为曲线C'的方程,知C'仍是双曲线,其焦点坐标分别为(-5,0),(5,0).‎ 例2　[思路点拨 (1)将圆的标准方程化为一般方程,把x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入圆的一般方程和直线的直角坐标方程并化简即可;(2)将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程,利用|OP|·|OQ|=|ρ1ρ2|即可.‎ 解:(1)曲线C1的直角坐标方程为(x-)2+(y-2)2=4,‎ 即x2+y2-2x-4y+3=0,‎ 把x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2代入,得ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+3=0,‎ 则C1的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+3=0.‎ ‎∵直线C2的直角坐标方程为y=x,‎ ‎∴直线C2的极坐标方程为θ= (ρ∈R).‎ ‎(2)设P(ρ1,θ),Q(ρ2,θ),将θ= (ρ∈R)代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+3=0,得ρ2-5ρ+3=0,∴ρ1·ρ2=3,‎ ‎∴|OP|·|OQ|=|ρ1ρ2|=3.‎ 变式题　解:(1)由ρ2=,得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9,‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,‎ 得曲线C的直角坐标方程是+y2=1.‎ ‎(2)因为ρ2=,所以=+sin2θ,‎ 由OA⊥OB,设A(ρ1,α),则B点的坐标可设为,‎ 所以+=+=+sin2α++cos2α=+1=.‎ 例3　[思路点拨 (1)设P(ρ,θ)(ρ>0),利用已知条件得出M点坐标,根据|OM|·|OP|=16列方程可得C2的极坐标方程,再将极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)设B(ρB,α)(ρB>0),由|OA|=2,ρB=4cos α,即可求出△OAB面积的最大值.‎ 解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).‎ 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.‎ 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0),‎ 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·=2≤2+.‎ 当α=-时,S取得最大值2+,‎ 所以△OAB面积的最大值为2+. ‎ 变式题　解:(1)∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴C1的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-4=0.‎ ‎∵∴x2+(y-1)2=1,又x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ ‎∴(ρcos θ)2+(ρsin θ-1)2=1,即ρ2-2ρsin θ=0,∴C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),则ρ1=,ρ2=2sin α,‎ 则==×2sin α(cos α+sin α)=,又0<α<,∴当α=时,取得最大值.‎ ‎【备选理由】例1主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,意在考查基本运算能力,转化与化归思想、方程思想与数形结合思想;例2主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,综合性较强.‎ ‎1 [配例2使用 在极坐标系中,已知曲线C:ρ=2sin,P为曲线C上的动点,定点Q.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程;‎ ‎(2)求P,Q两点间的最短距离.‎ 解:(1)在极坐标系中,曲线C:ρ=2sin=2sin θ-2cos θ,‎ ‎∴ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ,‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,即(x+1)2+(y-1)2=2.‎ ‎(2)易知Q的直角坐标为,∵曲线C的圆心为(-1,1),半径为,点Q在圆C外,‎ ‎∴|PQ|min=-=-.‎ ‎2 [配例3使用 [2017·深圳一模 在平面直角坐标系中,直线l过点P(2,)且倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos,直线l与曲线C相交于A,B两点.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.‎ 解:(1)∵ρ=4cos,∴ρ=4cos θcos+sin θsin=2(cos θ+sin θ),‎ ‎∴ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ),∴x2+y2=2x+2y, ‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-)2=4.‎ ‎(2)当α=时,直线l的方程为x=2,∴|AB|=2≠,不符合题意.‎ 当α≠时,设tan α= ,则l的方程为y-= (x-2),即 x-y-2 +=0,‎ ‎∴圆心C(1,)到直线 x-y-2 +=0的距离d==,‎ 由d2+=4,得+=4,解得 =±,‎ ‎∴tan α=±,∵α∈[0,π),∴α=或.‎