2018届二轮复习等差数列等比数列课件（全国通用） 94页

第一讲 等差数列、等比数列 【 知识回顾 】 1. 等差数列 (1) 通项 公式 :a n =_________=a m +_______. (2) 等差中项公式 :2a n =________(n∈N * ,n≥2). (3) 前 n 项和公式 : S n =__________=____________. a 1 +(n-1)d ( n-m)d a n-1 +a n+1 (4) 性质 ( n,m, l ,k,p 均为正整数 ): ① 若 m+n = l +k , 则 a m +a n =_____( 反之不一定成立 ); 特别 地 , 当 m+n =2p 时 , 有 a m +a n =___; ② 若 {a n } 、 { b n } 是等差数列 , 则 { ka n +tb n }(k 、 t 是非零 常数 ) 是等差数列 ; a l +a k 2a p ③ 等差数列的“依次每 m 项的和”即 S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,… 仍是等差数列 . 2. 等比数列 (1) 等比数列的通项公式 :a n =_____=_____. (2) 等比中项公式 :a n 2 =_________(n∈N * ,n≥2). (3) 等比数列的前 n 项和公式 : S n = ___(q=1) ， ______=________,(q≠1). a 1 q n-1 a m q n-m a n-1 ·a n+1 na 1 (4) 性质 ( n,m, l ,k,p 均为正整数 ): ① 若 m+n = l +k , 则 a m ·a n =______( 反之 不一定成立 ); 特别地 , 当 m+n =2p 时 , 有 a m ·a n =___; ② 当 n 为偶数时 , =q( 公比 ); ③S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…(S m ≠0) 成等比数列 . a l ·a k a p 2 【 易错提醒 】 1. 忽略条件致误 : 应用公式 a n =S n -S n-1 时忽略其成立的条件 n≥2,n∈N * . 2. 不能准确掌握数列的单调性致误 : 等差数列的单调性只取决于公差 d 的正负 , 等比数列的单调性既要考虑公比 q, 又要考虑首项 . 3. 忽略对公比的讨论致误 : 求等比数列的前 n 项和时 , 一定要先讨论公比 q 是否为 1, 然后选用相应的公式求解 . 4. 注意隐含条件 : 利用二次函数求 a n 或 S n 的最值时 , 易忽略条件 n∈N * . 【 考题回访 】 1.(2016· 全国卷 Ⅰ) 已知等差数列 {a n } 前 9 项的和为 27,a 10 =8, 则 a 100 = 　 ( 　　 ) A.100 B.99 C.98 D.97 【 解析 】 选 C. 方法一 : 由题意可知 , 解得 a 1 =-1,d=1, 所以 a 100 =-1+99×1=98. 方法二 : 由等差数列性质可知 : S 9 = =9a 5 =27, 故 a 5 =3, 而 a 10 =8, 因此公差 d= =1, 所以 a 100 =a 10 +90d=98. 2.(2015· 全国卷 Ⅱ) 设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和 , 若 a 1 +a 3 +a 5 =3, 则 S 5 = 　 ( 　　 ) A.5 　　　　 B.7 　　　　 C.9 　　　　 D.11 【 解析 】 选 A.a 1 +a 3 +a 5 =3a 3 =3 ⇒ a 3 =1,S 5 = =5a 3 =5. 3.(2014· 全国卷 Ⅱ) 等差数列 {a n } 的公差为 2, 若 a 2 , a 4 ,a 8 成等比数列 , 则 {a n } 的前 n 项和 S n = 　 ( 　　 ) A.n(n+1) B.n(n-1) C. D. 【 解析 】 选 A. 因为 d=2,a 2 ,a 4 ,a 8 成等比 , 所以 a 4 2 =a 2 a 8 , 即 (a 2 +2d) 2 =a 2 (a 2 +6d), 解得 a 2 =4,a 1 =2. 所以利用等差数列的求和公式可求得 S n =n(n+1). 4.(2016· 江苏高考 ) 已知 {a n } 是等差数列 ,S n 是其前 n 项和 . 若 a 1 +a 2 2 =-3,S 5 =10, 则 a 9 的值是 ________. 【 解析 】 设等差数列的公差为 d, 则由 S 5 =10 得 a 3 =2, 因为 a 1 + a 2 2 =-3, 所以 (2-2d)+(2-d) 2 =-3, 整理解得 d=3, 所以 a 9 =a 3 +6d=2+18=20. 答案 : 20 5.(2015· 全国卷 Ⅰ) 数列 {a n } 中 ,a 1 =2,a n+1 =2a n ,S n 为 {a n } 的前 n 项和 , 若 S n =126, 则 n=________. 【 解析 】 因为 a n+1 =2a n , 所以数列 {a n } 是首项 a 1 =2, 公比 q=2 的等比数列 , 由 S n =126, 可得 n=6. 答案 : 6 热点考向一 　等差 ( 比 ) 数列的基本运算 命题解读 : 主要考查利用等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式 , 在这两种数列中的五个基本量的“知三求二”运算以及求最值 , 以选择题、填空题为主 . 【 典例 1】 (1)(2015· 全国卷 Ⅰ) 已知 {a n } 是公差为 1 的 等差数列 , S n 为 {a n } 的前 n 项和 , 若 S 8 =4S 4 , 则 a 10 =( 　　 ) A. B. C.10 D.12 (2)(2016· 全国卷 Ⅰ) 设等比数列 {a n } 满足 a 1 +a 3 =10, a 2 +a 4 =5, 则 a 1 a 2 …a n 的最大值为 ________. 【 解题导引 】 (1) 依据等差数列的通项公式及前 n 项和公式求解 . (2) 先利用等比数列的通项公式构建首项 a 1 与公式 q 的方程组 , 求出 a 1 ,q, 得到 {a n } 的通项公式 , 再将 a 1 a 2 …… a n 表示为 n 的函数 , 进而求最大值 . 【 规范解答 】 (1) 选 B. 设等差数列的首项为 a 1 , 则 S 8 =8a 1 + =8a 1 +28, S 4 =4a 1 + =4a 1 +6, 因为 S 8 =4S 4 , 即 8a 1 +28=16a 1 +24, 所以 a 1 = , 则 a 10 =a 1 +(10-1)d= (2) 由于 {a n } 是等比数列 , 设 a n =a 1 q n-1 , 其中 a 1 是首项 ,q 是公比 . 所以 a 1 ·a 2 ·…·a n = 当 n=3 或 4 时 , 取到最小值 -6, 此时 取到最大值 2 6 . 所以 a 1 ·a 2 ·…·a n 的最大值为 64. 答案 : 64 【 规律方法 】 等差 ( 比 ) 数列基本运算的解题思路 (1) 设基本量 a 1 和公差 d( 公比 q). (2) 列、解方程组 : 把条件转化为关于 a 1 和 d(q ) 的方程 ( 组 ), 然后求解 , 注意整体计算 , 以减少运算量 . 【 题组过关 】 1.(2016· 吕梁一模 ) 已知 S n 是公差不为 0 的等差数列 {a n } 的前 n 项和 , 且 S 1 ,S 2 ,S 4 成等比数列 , 则 等于 　 ( 　　 ) A.4 B.6 C.8 D.10 【 解析 】 选 C. 设公差为 d, 则 S 1 =a 1 ,S 2 =2a 1 +d,S 4 =4a 1 +6d, 因为 S 1 ,S 2 ,S 4 成等比数列 , 所以 S 2 2 =S 1 S 4 , 即 (2a 1 +d) 2 = a 1 (4a 1 +6d), 解得 d=0( 舍去 ) 或 d=2a 1 , 所以 2.(2016· 邯郸一模 ) 设 {a n } 是首项为 a 1 , 公差为 -1 的等 差数列 , S n 为其前 n 项和 , 若 S 1 ,S 2 ,S 4 成等比数列 , 则 a 1 = 　 ( 　　 ) A.2 B.-2 C. D.- 【 解析 】 选 D. 因为 S 1 ,S 2 ,S 4 成等比数列 , 所以 S 2 2 =S 1 S 4 , 即 (a 1 +a 1 -1) 2 =a 1 , 解得 a 1 =- . 3. 已知数列 {a n } 中 ,a 1 =1,a n =a n-1 + (n≥2), 则数列 {a n } 的前 9 项和等于 ________. 【 解析 】 当 n≥2 时 ,a n =a n-1 + 且 a 2 =a 1 + , 所以 {a n } 是 首项为 1, 公差是 的等差数列 , 所以 S 9 =9×1+ × =9+18=27. 答案 : 27 【 加固训练 】 1. 等差数列 {a n } 的前 n 项和 S n , 若 a 1 =2,S 3 =12, 则 a 6 =( 　　 ) A.8 B.10 C.12 D.14 【 解析 】 选 C. 由题意得 , 解得 所以 a 6 =a 1 +5d=12. 2.(2016· 重庆一模 ) 在等差数列 {a n } 中 ,a 1 =2,a 3 +a 5 =10, 则 a 7 = 　 ( 　　 ) A.5 B.8 C.10 D.14 【 解析 】 选 B. 设公差为 d, 因为 a 1 =2, 所以 a 3 +a 5 =2+2d+2+4d=4+6d=10, 解得 d=1, 所以 a 7 =a 1 +6d=2+6=8. 3.(2016· 唐山二模 ) 设 x,y,z 是实数 , 若 9x,12y,15z 成 等比数列 , 且 成等差数列 , 则 =________. 【 解析 】 由题意知 解得 从而 答案 : 热点考向二 　等差 ( 比 ) 数列的性质 命题解读 : 主要考查利用性质求解基本量及前 n 项和的最值问题 , 以选择题、填空题为主 . 【 典例 2】 (1)(2016· 长沙一模 ) 等差数列 {a n } 中 , 若 a 4 +a 6 +a 8 +a 10 +a 12 =120, 则 S 15 的值为　 ( 　　 ) A.180 B.240 C.360 D.720 (2)(2016· 开封一模 ) 设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 S m-1 =5,S m =-11,S m+1 =21, 则 m= 　 ( 　　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 【 解题导引 】 (1) 利用等差数列的性质及前 n 项和公式求解 . (2) 根据等比数列的通项公式和前 n 项和公式 , 建立方程组即可解得 m 的值 . 【 规范解答 】 (1) 选 C. 因为数列 {a n } 是等差数列 , 所以 a 4 +a 6 +a 8 +a 10 +a 12 =5a 8 , 又因为 a 4 +a 6 +a 8 +a 10 +a 12 =120, 所 以 5a 8 =120,S 15 = =15a 8 =3×120=360. (2) 选 C. 在等比数列中 , 因为 S m-1 =5,S m =-11,S m+1 =21, 所以 a m =S m -S m-1 =-11-5=-16,a m+1 =S m+1 -S m =21-(-11)=32, 则公比 q= =-2, 因为 S m =-11, 所以 =-11, 　① 又 a m+1 =a 1 (-2) m =32, 　② 两式联立解得 m=5,a 1 =-1. 【 规律方法 】 等差、等比数列性质问题的求解策略 (1) 解题关键 : 抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系 , 从这些特点入手选择恰当的性质进行求解 . (2) 运用函数性质 : 数列是一种特殊的函数 , 具有函数的一些性质 , 如单调性、周期性等 , 可利用函数的性质解题 . 【 题组过关 】 1.(2016· 太原一模 ) 在等差数列 {a n } 中 , 有 3(a 3 +a 5 )+ 2(a 7 +a 10 +a 13 )=48, 则此数列的前 13 项和为　 ( 　　 ) A.24 B.39 C.52 D.104 【 解析 】 选 C. 因为 3(a 3 +a 5 )+2(a 7 +a 10 +a 13 )=48, 利用等差数列的性质可得 6a 4 +6a 10 =48, 所以 a 1 +a 13 =a 4 +a 10 =8, 所以 S 13 = =52. 2. 设等差数列的公差为 d, 若数列 { } 为递减数列 , 则　 ( 　　 ) A.d >0 B.d <0 C.a 1 d>0 D.a 1 d<0 【 解析 】 选 D. 由于数列 { } 为递减数列 , 得 再由指数函数性质得 a 1 a n 0, 所以 a 25 = . 所以 a 1 ·a 2 ·a 25 ·a 48 ·a 49 =(a 25 ) 5 =9 . 4.(2016· 衡阳二模 ) 设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 -a 2 015 0, 且 S 2 017 <0 B.S 2 015 <0, 且 S 2 017 >0 C.a 2 015 >0, 且 a 2 017 <0 D.a 2 015 <0, 且 a 2 017 >0 【 解析 】 选 A. 因为 -a 2 015 0,a 1 +a 2 017 <0, 所以 S 2 015 = >0, S 2 017 = <0. 5. 若等比数列 {a n } 的各项均为正数 , 且 a 10 a 11 +a 9 a 12 =2e 5 , 则 lna 1 +lna 2 +…+lna 20 =________. 【 解析 】 方法一 : 各项均为正数的等比数列 {a n } 中 , a 10 a 11 =a 9 a 12 = … =a 1 a 20 , 则 a 1 a 20 =e 5 , lna 1 +lna 2 +…+lna 20 =ln(a 1 a 20 ) 10 =lne 50 =50. 答案 : 50 方法二 : 各项均为正数的等比数列 {a n } 中 , a 10 a 11 =a 9 a 12 =…=a 1 a 20 , 则 a 1 a 20 =e 5 , 设 lna 1 +lna 2 +…+lna 20 =S, 则 lna 20 +lna 19 +…+lna 1 =S, 2S=20ln(a 1 a 20 )=100,S=50. 答案 : 50 热点考向三 　等差 ( 比 ) 数列的判断与证明 命题解读 : 主要考查等差 ( 比 ) 数列的定义 , 三种题型都有可能出现 , 如果出现在解答题的第一问 , 一般是为求通项作准备 . 命题角度一　等差数列的判断与证明 【 典例 3】 (2014· 全国卷 Ⅰ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,a 1 =1,a n ≠0,a n a n+1 =λS n -1, 其中 λ 为常数 . (1) 证明 :a n+2 -a n =λ. (2) 是否存在 λ, 使得 {a n } 为等差数列 ? 并说明理由 . 【 题目拆解 】 解答本题第 (2) 问 , 可拆解成三个小题 : ① 假设存在 , 求 λ 的值 ; ② 求 a 2n-1 ,a 2n 的通项公式 ; ③ 求 a n 的通项公式 , 判断 a n+1 -a n = 常数 . 【 规范解答 】 (1) 由题设 ,a n a n+1 =λS n -1, 得 a n+1 a n+2 =λS n+1 -1, 两式相减得 a n+1 (a n+2 -a n )=λa n+1 . 因为 a n+1 ≠0, 所以 a n+2 -a n =λ. (2) 由题设 a 1 =1,a 1 a 2 =λS 1 -1, 可得 a 2 =λ-1, 由 (1) 知 ,a 3 =λ+1. 若 {a n } 为等差数列 , 则 2a 2 =a 1 +a 3 , 解得 λ=4, 故 a n+2 -a n =4. 由此可得 {a 2n-1 } 是首项为 1, 公差为 4 的等差数列 , a 2n-1 =4n-3; {a 2n } 是首项为 3, 公差为 4 的等差数列 ,a 2n =4n-1. 所以 a n =2n-1,a n+1 -a n =2. 因此存在 λ=4, 使得数列 {a n } 为等差数列 . 【 易错警示 】 解答本题易出现以下两种错误 : (1) 忽略 a n+1 ≠0, 由 a n+1 (a n+2 -a n )=λa n+1 直接得出 a n+2 -a n =λ. (2) 由 {a 2n-1 } 是等差数列 ,{a 2n } 是等差数列 , 直接得出数列 {a n } 为等差数列 . 【 母题变式 】 1. 若把本例题的条件 a 1 =1 变为 a 1 =2, 求解问题 (2). 【 解析 】 由题设 ,a 1 =2,a 1 a 2 = λ S 1 -1, 可得 a 2 = , 由 (1) 知 a 3 -a 1 =λ, 则 a 3 =λ+2. 若 {a n } 为等差数列 , 则 2a 2 =a 1 +a 3 , 即 2λ-1=2+(λ+2), 解得 λ=5. 此时 a 1 =2,a 2 = ,a 3 =7, 所以等差数列 λS n -1= 显然 a n a n+1 与 λS n -1 恒相等 , 所以存在 λ=5, 使得 {a n } 为等差数列 . 2. 在本例题 (2) 中是否存在 λ, 使得 {a n } 为等比数列 ? 并说明理由 . 【 解析 】 由题设 ,a 1 =1,a 1 a 2 = λ S 1 -1, 可得 a 2 = λ -1, 由 (1) 知 ,a 3 = λ +1. 若 {a n } 为等比数列 , 则 a 2 2 =a 1 a 3 , 即 (λ-1) 2 =λ+1, 解得 λ=0 或 3. 当 λ=0 时 , 由 a n a n+1 =λS n -1, 得 :a n a n+1 =-1, 又 a 1 =1, 所以 a 2 =-1,a 3 =1,……,a n =(-1) n-1 . 所以数列 {a n } 是首项为 1, 公比为 -1 的等比数列 , 当 λ=3 时 , 由 a 1 =1,a 2 =λ-1=3-1=2,a 3 =λ+1=4, 显然 a n =2 n-1 , 此时 a n a n+1 =2 n-1 2 n =2 2n-1 , λS n -1= -1=3·2 n -4, 显然 a n a n+1 与 λS n -1 不是 恒相等 , 与已知条件矛盾 , 所以 λ≠3. 综上可知 :λ=0. 命题角度二　等比数列的判断与证明 【 典例 4】 (2016· 武汉一模 ) 若数列 {a n } 的前 n 项和为 S n =a n -1(a≠0), 则这个数列的特征是　 ( 　　 ) A. 等比数列 B. 等差数列 C. 等比或等差数列 D. 非等差数列 【 解题导引 】 先求出通项公式 , 再根据通项公式求解 . 【 规范解答 】 选 C. 因为 S n =a n -1, 所以 a 1 =S 1 =a-1, 当 n≥2 时 ,a n =S n -S n-1 =a n -a n-1 =(a-1)·a n-1 , 而 a 1 =a-1 适合上式 . 所以 a n =(a-1)a n-1 . 当 a=1 时 , 数列各项都为 0, 则数列是等差数列 , 当 a≠1,0 时 , 数列 {a n } 是以 a 为公比的等比数列 . 【 规律方法 】 判断和证明数列是等差 ( 比 ) 数列的方法 (1) 定义法 : 对于 n≥1 的任意自然数 , 验证 a n+1 -a n 为与正整数 n 无关的一常数 . (2) 中项公式法 : ① 若 2a n =a n-1 +a n+1 (n∈N * ,n≥2), 则 {a n } 为等差数列 ; ② 若 a n 2 =a n-1 ·a n+1 (n∈N * ,n≥2), 则 {a n } 为等比数列 . 【 题组过关 】 1.(2016· 郑州一模 ) 若正数 a,b,c 成公差不为零的等差数列 , 则　 ( 　　 ) A.lga,lgb,lgc 成等差数列 B.lga,lgb,lgc 成等比数列 C.2 a ,2 b ,2 c 成等差数列 D.2 a ,2 b ,2 c 成等比数列 【 解析 】 选 D. 因为正数 a,b,c 成公差不为零的等差数列 , 设公差为 d, 则 b-a= c-b =d, 则 2 b ÷ 2 a =2 b-a =2 d ,2 c ÷ 2 b =2 c-b =2 d , 所以 2 b-a =2 c-b , 所以 2 a ,2 b ,2 c 成等比数列 . 2.(2016· 合肥二模 ) 已知数列 {a n } 满足 a 1 =1,a n+1 = 2 a n . (1) 设 b n = , 求证 : 数列 { b n } 是等比数列 . (2) 求数列 {a n } 的通项公式 . (3) 设 c n =a n+1 -2a n , 求数列 { c n } 的前 n 项和 S n . 【 解析 】 (1)a n+1 =2· a n , 所以 b n+1 =2b n , 所以数列 { b n } 是公比为 2 的等比数列 . (2) 由 (1) 知 { b n } 是公比为 2 的等比数列 , 又 b 1 = =a 1 =1, 所以 b n =b 1 ·2 n-1 =2 n-1 , 所以 =2 n-1 , 所以 a n =n 2 ·2 n-1 . (3)c n =(n+1) 2 ·2 n -2n 2 ·2 n-1 =(2n+1)·2 n , 所以 S n =3×2+5×2 2 +7×2 3 +…+(2n+1)·2 n . 　① 2S n =3×2 2 +5×2 3 +…+(2n-1)·2 n +(2n+1)·2 n+1 . 　② ① -② 得 ,-S n =3×2+2×2 2 +2×2 3 +…+2×2 n - (2n+1)·2 n+1 =2+ -(2n+1)·2 n+1 =-2-(2n-1)·2 n+1 , 所以 S n =(2n-1)·2 n+1 +2. 【 加固训练 】 1. 在数列 {a n } 中 , 若 a n 2 - a n-1 2 =p(n≥2,n∈N * )(p 为常数 ), 则称 {a n } 为“等方差数列” . 下列是对“等方差数列”的判断 : ① 若数列 {a n } 是“等方差数列” , 则数列 {a n 2 } 是等差数列 ; ② 数列 {(-1) n } 是“等方差数列” ; ③ 若数列 {a n } 既是“等方差数列” , 又是等差数列 , 则该数列必为常数列 ; ④ 若数列 {a n } 是“等方差数列” , 则数列 { a kn }(k 为常数 , k∈N * ) 也是“等方差数列” . 其中正确命题的序号为 ________. 【 解析 】 由“等方差数列”的定义、等差数列、常数列的定义知①②③④均正确 . 答案 : ①②③④ 2. 已知等差数列 {a n } 的首项 a 1 =1, 公差 d>0, 且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列 { b n } 的第 2 项、第 3 项、第 4 项 . (1) 求数列 { a n },{b n } 的通项公式 . (2) 若数列 { c n } 对任意 n∈N * , 均有 =a n+1 成立 . ① 求证 : =2(n≥2); ② 求 c 1 +c 2 +…+c 2 015 . 【 解析 】 (1) 因为 a 2 =1+d,a 5 =1+4d,a 14 =1+13d, 所以 (1+4d) 2 =(1+d)(1+13d), 解得 d=2( 因为 d>0), 所以 a n =1+(n-1)×2=2n-1, 又因为 b 2 =a 2 =3,a 5 =b 3 =9, 所以等比数列 { b n } 的公比 q= =3, 所以 b n =b 2 q n-2 =3 n-1 . (2)① 因为 =a n+1 , 所以当 n≥2 时 , =a n , 两式相减 , 得 =a n+1 -a n =2(n≥2). ② 由①得 c n =2b n =2×3 n-1 (n≥2). 当 n=1 时 , =a 2 , 所以 c 1 =3 不满足上式 , 所以 c 1 +c 2 +…+c 2 015 =3+2×3 1 +2×3 2 +…+2×3 2 014 =3+ =3-3(1-3 2014 )=3 2015 .