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- 2021-06-16 发布
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福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学
2019-2020学年高二下学期期末联考试题
一、单项选择题:本小题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请把答案填在答题卡的相应位置.
1.若集合,,则.
A. B. C. D.
2.已知命题:,.则为.
A., B.,
C., D.,
3.若实数满足,则的最小值为.
A. B. C. D.
4.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,2013华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想是一个弱化形式,问题可以描述为:存在无穷多个素数,使得是素数,素数对称为孪生素数对,问:如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对,这对孪生素数的积超过20的概率为.
A. B. C. D.
5.2020年初疫情期间,全国学校停课,学校布置学生在家上网课,小明在上网课之余,常到6个不同直播间观看中学各科视频教学讲座,已知当天6个直播间有2个直播间在直播数学课,若小明这时随机进入一个直播间,若在直播数学课,则认真听课,否则就进行换直播间,那么,小明所进的第三个直播间恰好在直播数学课的不同情况有.
A.6种 B.24种 C.36种 D.42种
6.如图,某几何体的三视图是由三个边长为1的正方形和其内部的一些虚线构成的,则该几何体的体积为.
A. B. C. D.与点的位置有关
7.已知函数,则的图象大致为.
A B C D
8.已知奇函数满足,当时,,
则
A. B. C. D.
9.已知函数为上的偶函数,当时,,则关于的不等式的解集为.
A. B. C. D.
10.函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数,且,若存在,,使不等式成立,则实数的最小值为.
A.4 B. C.8 D.
二、多项选择题:本小题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,全部答对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.请把答案填在答题卡的相应位置.
11.若正实数a,b满足a+b=1,则下列选项中正确的是.
A.ab有最大值 B.有最大值
C. D.有最小值
12.已知函数,下列是关于函数的零点个数的4个判断,其中正确的.
A.当时,有3个零点 B.当时,有2个零点
C.当时,有4个零点 D.当时,有1个零点
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,其中第16题为多填题,第一空2分,第二空3分,满分20分.请把答案写在答题卡的相应位置.
13.函数的定义域为 .
14.某市一次高二年数学统考,经过抽样分析,成绩近似服从正态分布,且.该市某校有800人参加此次统考,估计该校数学成绩不低于分的人数为
15.世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称,新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A传B,B又传C,C又传D,这就是“持续人传人”.那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9,0.8,0.7,健康的小明参加了一次多人宴会,事后知道,参加宴会的人有5名第一代传播者,3名第二代传播者,2名第三代传播者,试计算,小明参加聚会,仅和感染的10个人其中一个接触,感染的概率有多大________.
16.已知函数,则 ,若方程有且只有一个实根,则实数的取值范围是 .
四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题10分)已知集合,或.
(I)当时,求;
(II)若,且“”是“”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
18.(本小题12分)若将函数表示为,其中为实数.
(I)求;
(II)求的值.
19.(本小题12分)中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介,利用网络平台对年龄(单位:岁)在,内的人群进行了调查,并从参与调查者中随机选出600人,把这600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类,并制成如下表格:
年龄岁
,
,
,
,
性别
男
女
男
女
男
女
男
女
人数
40
10
120
70
160
100
80
20
比较关注所占的比例
(I)填写列联表,并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车关注度有关;
比较关注
不太关注
总计
男
女
总计
(2)为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况,采用分层抽样的方法从这600人中选出6人进行访谈,最后从这6人中随机选出3人参与电视直播节目,记3人中女性的人数为,求的分布列与期望.
附:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
,其中.
20.(本小题12分)某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中,有“难度系数“和“区分度“两个指标中,难度系数,区分度.
(I)某次数学考试(满分为150分),随机从实验班和普通班各抽取三人,实验班三人的成绩分别为147,142,137;普通班三人的成绩分别为97,102,113.通过样本估计本次考试的区分度(精确.
(II)如下表格是该校高三年级6次数学考试的统计数据:
难度系数
0.64
0.71
0.74
0.76
0.77
0.82
区分度
0.18
0.23
0.24
0.24
0.22
0.15
① 计算相关系数,时,认为相关性弱;时,认为相关性强.通过计算说明,能否利用线性回归模型描述与的关系(精确到.
②,2,,,求出关于的线性回归方程,并预测时的值(系数精确到.
附注:参考数据:
参考公式:相关系数,回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
21.(本小题12分)学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范,具体表现为:解题结果正确,无明显推理错误,但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等,记此类解答为“B类解答”。为评估此类解答导致的失分情况,某市教研室做了一项试验:从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目,扫描后由近百名数学老师集体评阅,统计发现,满分12分的题,阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表:
教师评分
11
10
9
各分数所占比例
某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式,规则如下:两名老师独立评分,称为一评和二评,当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时,取两者平均分为该题得分;当两者所评分数之差的绝对值大于1分时,再由第三位老师评分,称之为仲裁,取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分;当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时,取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表的所示,比例视为概率,且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响).
(I)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“B类解答”,求甲同学此题需要仲裁的概率.
(II)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“B类解答”,求甲同学此题得分的分布列及数学期望;
(III)本次数学考试有6个解答题,每题满分均为12分,同学乙6个题的解答均为“B类解答”,记该同学6个题中得分为的题目个数为,
,计算事件的概率.
22.(本小题12分)设函数.(I)当时,试讨论函数的单调性;
(II)设,记,当时,若函数与函数有两个不同交点,,,,设线段的中点为,试问是否为的根?说明理由.
参考答案
一、单项选择题:本小题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请把答案填在答题卡的相应位置.
1.D,2.C,3.A,4.B,5.B,6.C,7.D,8.A,9.C,10.B
二、多项选择题:本小题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,全部答对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.请把答案填在答题卡的相应位置.
11.ABC,12. CD
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,其中第16题为多填题,第一空2分,第二空3分,满分20分.请把答案写在答题卡的相应位置.
13.或; 14.160; 15.; 16.8;
四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题10分)
解:(I)∵当时,,或,
∴;
(II)∵或,∴,
由“”是“”的充分不必要条件得A是的真子集,且,
又,∴,∴.
18.(本小题12分)
解:(I)由于,那么其展开式通项为,
故.
(II)令,则,又令,则两式相减,则,所以.
19.(本小题12分)
解:(1)根据题意,填充二维联表如下:
比较关注
不太关注
总计
男
240
160
400
女
150
50
200
总计
390
210
600
由,
故有的把握认为性别与对新能源汽车关注度有关;
(II)根据(1),男女比例为,6人中女性的人数为2人,男性为4人,
记3人中女性的人数为,,1,2,
;;;
的分布列如下:
0
1
2
0.2
0.6
0.2
.
20.(本小题12分)
解:(I)实验班三人成绩的平均值为,
普通班三人成绩的平均值为,
故估计本次考试的区分度为,
(II)①由题中的表格可知,
,
故.
因为,所以相关性弱,故不能利用线性回归模型描述与的关系;
②与的值如下表
0.10
0.03
0
0.02
0.03
0.08
区分度
0.18
0.23
0.24
0.24
0.22
0.15
因为,所以,
所以所求回归直线方程,当时,此时,则
21.(本小题12分)
解:(I)设一评、二评、仲裁所打分数分别为,则甲同学此题需要仲裁的概率
;
(II)随机变量的可能取值为,
设一评、二评、仲裁所打分数分别为,
所以随机变量分布列如下:
可能取值
概率
所以数学期望
(III)由第一问可知,依次为,计算事件“”的概率等于计算事件“”的概率,即得分为共两道的概率,
,,
,
即.
22.(本小题12分)
解:(I)由可知,,
所以当时,因为函数的定义域为,所以
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增;
(II)证明:由题可知,,
,当时,,当时,,且,
欲证,只需证明,
设,是方程的两个不相等的实根,不妨设,
则,两式相减并整理得,
从而,故只需证明,
即,
式可转化为,即,
因为,所以,不妨令,即证成立,
记,则,当且仅当时等号成立,
在上单调递增,又(1),,,故,
即不成立,故不是的根.
当时,,当时,,且,
欲证,只需证明,
设,是方程的两个不相等的实根,不妨设,
则,两式相减并整理得,
从而,故只需证明,
即,
式可转化为,即,
因为,所以,不妨令,即证成立,
记,则,当且仅当时等号成立,
在上单调递增,又(1),,,故,
即不成立,故不是的根.