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  • 2021-06-16 发布

【数学】福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2019-2020学年高二下学期期末联考试题

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福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 ‎2019-2020学年高二下学期期末联考试题 一、单项选择题:本小题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎1.若集合,,则.‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知命题:,.则为.‎ A., B.,‎ C., D., ‎ ‎3.若实数满足,则的最小值为. ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,2013华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想是一个弱化形式,问题可以描述为:存在无穷多个素数,使得是素数,素数对称为孪生素数对,问:如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对,这对孪生素数的积超过20的概率为.‎ A. B. C. D.‎ ‎5.2020年初疫情期间,全国学校停课,学校布置学生在家上网课,小明在上网课之余,常到6个不同直播间观看中学各科视频教学讲座,已知当天6个直播间有2个直播间在直播数学课,若小明这时随机进入一个直播间,若在直播数学课,则认真听课,否则就进行换直播间,那么,小明所进的第三个直播间恰好在直播数学课的不同情况有.‎ A.6种 B.24种 C.36种 D.42种 ‎6.如图,某几何体的三视图是由三个边长为1的正方形和其内部的一些虚线构成的,则该几何体的体积为.‎ A. B. C. D.与点的位置有关 ‎7.已知函数,则的图象大致为.‎ ‎ ‎ A B C D ‎ ‎8.已知奇函数满足,当时,,‎ 则 A. B. C. D. ‎ ‎9.已知函数为上的偶函数,当时,,则关于的不等式的解集为.‎ A. B. C. D.‎ ‎10.函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数,且,若存在,,使不等式成立,则实数的最小值为.‎ A.4 B. C.8 D.‎ 二、多项选择题:本小题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,全部答对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.请把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎11.若正实数a,b满足a+b=1,则下列选项中正确的是.‎ A.ab有最大值 B.有最大值 C. D.有最小值 ‎12.已知函数,下列是关于函数的零点个数的4个判断,其中正确的.‎ A.当时,有3个零点 B.当时,有2个零点 ‎ C.当时,有4个零点 D.当时,有1个零点 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,其中第16题为多填题,第一空2分,第二空3分,满分20分.请把答案写在答题卡的相应位置.‎ ‎13.函数的定义域为 .‎ ‎14.某市一次高二年数学统考,经过抽样分析,成绩近似服从正态分布,且.该市某校有800人参加此次统考,估计该校数学成绩不低于分的人数为 ‎ ‎15.世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称,新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A传B,B又传C,C又传D,这就是“持续人传人”.那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9,0.8,0.7,健康的小明参加了一次多人宴会,事后知道,参加宴会的人有5名第一代传播者,3名第二代传播者,2名第三代传播者,试计算,小明参加聚会,仅和感染的10个人其中一个接触,感染的概率有多大________.‎ ‎16.已知函数,则 ,若方程有且只有一个实根,则实数的取值范围是 .‎ 四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题10分)已知集合,或.‎ ‎(I)当时,求;‎ ‎(II)若,且“”是“”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎18.(本小题12分)若将函数表示为,其中为实数.‎ ‎(I)求;‎ ‎(II)求的值.‎ ‎19.(本小题12分)中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介,利用网络平台对年龄(单位:岁)在,内的人群进行了调查,并从参与调查者中随机选出600人,把这600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类,并制成如下表格:‎ 年龄岁 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 性别 男 女 男 女 男 女 男 女 人数 ‎40‎ ‎10‎ ‎120‎ ‎70‎ ‎160‎ ‎100‎ ‎80‎ ‎20‎ 比较关注所占的比例 ‎(I)填写列联表,并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车关注度有关;‎ 比较关注 不太关注 总计 男 女 总计 ‎(2)为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况,采用分层抽样的方法从这600人中选出6人进行访谈,最后从这6人中随机选出3人参与电视直播节目,记3人中女性的人数为,求的分布列与期望.‎ 附:‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎,其中.‎ ‎20.(本小题12分)某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中,有“难度系数“和“区分度“两个指标中,难度系数,区分度.‎ ‎(I)某次数学考试(满分为150分),随机从实验班和普通班各抽取三人,实验班三人的成绩分别为147,142,137;普通班三人的成绩分别为97,102,113.通过样本估计本次考试的区分度(精确.‎ ‎(II)如下表格是该校高三年级6次数学考试的统计数据:‎ 难度系数 ‎0.64‎ ‎0.71‎ ‎0.74‎ ‎0.76‎ ‎0.77‎ ‎0.82‎ 区分度 ‎0.18‎ ‎0.23‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.22‎ ‎0.15‎ ① 计算相关系数,时,认为相关性弱;时,认为相关性强.通过计算说明,能否利用线性回归模型描述与的关系(精确到.‎ ‎②,2,,,求出关于的线性回归方程,并预测时的值(系数精确到.‎ 附注:参考数据:‎ 参考公式:相关系数,回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎21.(本小题12分)学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范,具体表现为:解题结果正确,无明显推理错误,但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等,记此类解答为“B类解答”。为评估此类解答导致的失分情况,某市教研室做了一项试验:从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目,扫描后由近百名数学老师集体评阅,统计发现,满分12分的题,阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表:‎ 教师评分 ‎11‎ ‎10‎ ‎9‎ 各分数所占比例 某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式,规则如下:两名老师独立评分,称为一评和二评,当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时,取两者平均分为该题得分;当两者所评分数之差的绝对值大于1分时,再由第三位老师评分,称之为仲裁,取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分;当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时,取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表的所示,比例视为概率,且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响).‎ ‎(I)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“B类解答”,求甲同学此题需要仲裁的概率.‎ ‎(II)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“B类解答”,求甲同学此题得分的分布列及数学期望;‎ ‎(III)本次数学考试有6个解答题,每题满分均为12分,同学乙6个题的解答均为“B类解答”,记该同学6个题中得分为的题目个数为,‎ ‎,计算事件的概率.‎ ‎22.(本小题12分)设函数.(I)当时,试讨论函数的单调性;‎ ‎(II)设,记,当时,若函数与函数有两个不同交点,,,,设线段的中点为,试问是否为的根?说明理由.‎ 参考答案 一、单项选择题:本小题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎1.D,2.C,3.A,4.B,5.B,6.C,7.D,8.A,9.C,10.B 二、多项选择题:本小题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,全部答对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.请把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎11.ABC,12. CD 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,其中第16题为多填题,第一空2分,第二空3分,满分20分.请把答案写在答题卡的相应位置.‎ ‎13.或; 14.160; 15.; 16.8;‎ 四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题10分)‎ 解:(I)∵当时,,或,‎ ‎∴;‎ ‎(II)∵或,∴,‎ 由“”是“”的充分不必要条件得A是的真子集,且,‎ 又,∴,∴.‎ ‎18.(本小题12分)‎ 解:(I)由于,那么其展开式通项为,‎ 故.‎ ‎(II)令,则,又令,则两式相减,则,所以.‎ ‎19.(本小题12分)‎ 解:(1)根据题意,填充二维联表如下:‎ 比较关注 不太关注 总计 男 ‎240‎ ‎160‎ ‎400‎ 女 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 总计 ‎390‎ ‎210‎ ‎600‎ 由,‎ 故有的把握认为性别与对新能源汽车关注度有关;‎ ‎(II)根据(1),男女比例为,6人中女性的人数为2人,男性为4人,‎ 记3人中女性的人数为,,1,2,‎ ‎;;;‎ 的分布列如下:‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ ‎ ‎ 0.2‎ ‎ 0.6‎ ‎ 0.2‎ ‎.‎ ‎20.(本小题12分) ‎ 解:(I)实验班三人成绩的平均值为,‎ 普通班三人成绩的平均值为,‎ 故估计本次考试的区分度为,‎ ‎(II)①由题中的表格可知,‎ ‎,‎ 故.‎ 因为,所以相关性弱,故不能利用线性回归模型描述与的关系;‎ ‎②与的值如下表 ‎ ‎ ‎0.10‎ ‎0.03‎ ‎0‎ ‎0.02‎ ‎0.03‎ ‎0.08‎ 区分度 ‎0.18‎ ‎0.23‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.22‎ ‎0.15‎ 因为,所以,‎ 所以所求回归直线方程,当时,此时,则 ‎21.(本小题12分)‎ 解:(I)设一评、二评、仲裁所打分数分别为,则甲同学此题需要仲裁的概率 ‎;‎ ‎(II)随机变量的可能取值为,‎ 设一评、二评、仲裁所打分数分别为,‎ 所以随机变量分布列如下:‎ 可能取值 概率 所以数学期望 ‎(III)由第一问可知,依次为,计算事件“”的概率等于计算事件“”的概率,即得分为共两道的概率,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 即.‎ ‎22.(本小题12分)‎ 解:(I)由可知,,‎ 所以当时,因为函数的定义域为,所以 当时,,函数单调递减,‎ 当时,,函数单调递增;‎ ‎(II)证明:由题可知,,‎ ‎,当时,,当时,,且,‎ 欲证,只需证明,‎ 设,是方程的两个不相等的实根,不妨设,‎ 则,两式相减并整理得,‎ 从而,故只需证明,‎ 即,‎ 式可转化为,即,‎ 因为,所以,不妨令,即证成立,‎ 记,则,当且仅当时等号成立,‎ 在上单调递增,又(1),,,故,‎ 即不成立,故不是的根.‎ 当时,,当时,,且,‎ 欲证,只需证明,‎ 设,是方程的两个不相等的实根,不妨设,‎ 则,两式相减并整理得,‎ 从而,故只需证明,‎ 即,‎ 式可转化为,即,‎ 因为,所以,不妨令,即证成立,‎ 记,则,当且仅当时等号成立,‎ 在上单调递增,又(1),,,故,‎ 即不成立,故不是的根.‎