辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020届高三下学期开学摸底考试数学（文）试题 Word版含解析 19页

www.ks5u.com ‎2020渤大附中、育明高中高三摸底考试 文科数学试卷 一、单选题（本卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）‎ ‎1.设集合，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵∴‎ 又∵∴故选B；‎ ‎【考点】：此题重点考察集合的交集，补集的运算；‎ ‎【突破】：画韦恩氏图，数形结合；‎ ‎2.已知是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．‎ ‎【详解】∵=+（i4）504•i3，‎ ‎∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，-1），位于第三象限．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ - 19 -‎ ‎3.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（ ）‎ A. 6斤 B. 7斤 C. 8斤 D. 9斤 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.‎ ‎【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.‎ 由等差数列的性质可知：，‎ 则，即中间三尺共重斤.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4.已知向量和的夹角为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数量积的运算律直接展开，将向量的夹角与模代入数据，得到结果．‎ ‎【详解】 ＝8+3－18＝8+3×2×3×－18＝－1，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．‎ ‎5.已知实数满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 19 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 其中表示两点与所确定直线的斜率，由图知，所以的取值范围是的取值范围是选C.‎ ‎6.已知不重合的直线和平面，，，则“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】a⊥b可得两平面的法向量垂直，则两平面垂直α⊥β，‎ 平面垂直α⊥β可得两平面的法向量垂直a⊥b，‎ 故选C．‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内可填入的条件是 （ ）‎ - 19 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 本程序框图的主要功能是计算数列的前项和； 由于可知，数列的前项和为，由于输出的值为0.99，所以 ，因此 判断框内可填入的条件是，故选A.‎ ‎8.已知函数向右平移个单位后得到，当时，函数取得最大值，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把函数向右平移个单位后得到，根据在取得最大值可求得，即可求的值．‎ ‎【详解】，由时，函数取得最大值，且，得，，.‎ ‎【点睛】本题主要考查正、余弦函数的图象的特征，诱导公式，函数的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎9.已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是（ ）.‎ - 19 -‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设，所以，那么，当时，，解得，所以，那么，故选D.‎ 考点：抽象函数 ‎10.已知抛物线：的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，若，的中点在轴上的射影分别为，，且，则抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设AF,FB的中点分别为D,E, 求出|AB|=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p的值，即得抛物线的准线方程.‎ ‎【详解】设AF,FB的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,‎ 由题得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16，‎ 设，则，‎ 联立直线和抛物线的方程得，‎ 所以，‎ 所以抛物线的准线方程为x=-3.‎ 故选C - 19 -‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎11.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请100名同学每人随机写下一个，都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如某次统计结果是，那么本次实验可以估计的值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件画出可行域，得到面积，根据几何概型得到答案.‎ 详解】∵而满足构成钝角三角形，则需画出图像：‎ ‎ ‎ 弓形面积：，∴．‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了几何概型，画出图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎12.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k - 19 -‎ 的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．‎ ‎【详解】解：∵函数的定义域是 ‎∴，‎ ‎∵是函数的唯一一个极值点 ‎∴是导函数的唯一根，‎ ‎∴在无变号零点，‎ 即在上无变号零点，令，‎ 因为，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增 所以的最小值为，‎ 所以必须，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分）‎ ‎13.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是腰长为的等腰三角形，面积最大的侧面是正方形，则该“堑堵”的外接球 - 19 -‎ 的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知该直三棱柱是底面为直角三角形，又面积最大的侧面是正方形，则直三棱柱的高为，进而可得外接球的半径，即可得表面积.‎ ‎【详解】由题意知该直三棱柱是底面的腰长为的等腰直角三角形，又最大侧面为正方形，则该直三棱柱的高为，‎ 所以该“堑堵”的外接球的半径，故外接球的表面积.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体的外接球的表面积的计算问题，属于基础题.‎ ‎14.以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．‎ ‎【详解】解：∵双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为yx，即bx﹣ay＝0，‎ ‎∴焦点到渐近线的距离d，‎ ‎∵|AF|＝|BF|＝a，‎ ‎∴|AD|，‎ 则|AB|＝2|AD|＝2c，‎ 平方得4（a2﹣b2）c2，‎ - 19 -‎ 即a2﹣c2+a2c2，‎ 则2a2c2，‎ 则c2a2，‎ 则ca，‎ 即离心率e，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．‎ ‎15.在中，、、分别是角、、对边，若，为的中点，且，则的最大值是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简得到A=，因为M是BC中点，所以，平方化简得，结合基本不等式得到所求．‎ ‎【详解】由题意，将边化角，得到sinC,‎ - 19 -‎ ‎∴,又在中，，∴，得到A=，‎ ‎∵M是BC中点，‎ ‎∴，‎ 平方得，4，‎ 即，所以=，‎ ‎∴,, 则的最大值是，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理以及三角形中线的向量表示，考查了基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎16.定义在上的可导函数，其导函数为满足恒成立，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令，则在递增，由，得，故，解得，故答案为.‎ ‎【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数求范围,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数 三、解答题（共6题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ - 19 -‎ ‎17.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．‎ ‎（1）求证：PA⊥BD；‎ ‎（2）若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．‎ ‎【答案】（1）证明将解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明平面得到答案.‎ ‎（2）利用等体积法，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）在中，，故.‎ 故.‎ PD⊥平面，故平面，故，，‎ 故平面，平面，故.‎ ‎（2），故，故.‎ 中：，.‎ 故，故.‎ ‎【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ - 19 -‎ ‎18.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据：‎ 间隔时间（分钟）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 等候人数（人）‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎29‎ ‎28‎ ‎31‎ 调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.‎ ‎（1）若选取的是后面4组数据，求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）判断（1）中的方程是否是“恰当回归方程”；‎ ‎（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？‎ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.‎ ‎【答案】（1）（2）是“恰当回归方程”.（3）18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题中的数据及给出的公式可得，进而可得所求方程；（2）根据（1）中的方程求出当时的估计值，然后根据题中的标准进行验证即可得到结论；（3）解不等式可得所求结论．‎ ‎【详解】（1）有题意得后面4组数据是：‎ 间隔时间（分钟）‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 等候人数（人）‎ ‎26‎ ‎29‎ ‎28‎ ‎31‎ - 19 -‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以 ，‎ 故，‎ 所以所求的回归方程为．‎ ‎（2）当时，，故；‎ 当时，，故．‎ 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．‎ ‎（3）由，得，‎ 故间隔时间最多可设置为18分钟．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的求法及其应用，属于统计在实际中的应用类问题，解题的关键是正确进行计算以得到回归方程，属于基础题．‎ ‎19.设是公比大于1的等比数列，为数列的前n项和．已知，且是和的等差中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前n项和为，求证：．‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 - 19 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用条件建立方程组，求出首项与公比，即可求得数列的通项公式；‎ ‎（2）利用裂项相消法求数列的前n项和，即可证得结论．‎ ‎【详解】（1）由已知，得，解得，‎ 设数列的公比为q，则，‎ ‎，．由，可知，‎ ‎，解得，，‎ 由题意，得，．．‎ 故数列的通项公式为．‎ ‎（2），‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列、等比数列的概念及其性质，数列求和的“裂项相消法”；学生的运算能力和思维能力，属于中档题．‎ ‎20.设椭圆：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，求面积的最大值．‎ - 19 -‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得，，即可得到椭圆方程；‎ ‎（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．‎ ‎【详解】（1）由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率，由，，，得，，，故椭圆的方程为.‎ ‎（2）不妨设，，联立方程组，得，‎ 由，得.‎ 且，‎ 所以 ‎.‎ 又到直线的距离为，‎ - 19 -‎ 所以 ‎.‎ 当且仅当时取等号，所以.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知f（x）＝．‎ ‎（1）曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为0，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）＜x2在（1，＋）恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一问，对求导，为切线的斜率，解出a的值，再利用和判断函数的单调性；第二问，先将在（1，＋）恒成立，转化为恒成立，再构造函数，通过求导，判断函数的单调性，求出函数的最小值，从而得到a的取值范围．‎ ‎【详解】（1）的定义域为，求导可得，‎ 由得，，‎ 令得；‎ 令得，‎ 所以的增区间为，减区间为．‎ ‎（2）由题意：，即，‎ - 19 -‎ 恒成立．‎ 令，则，[‎ 令，则，‎ 在上单调递增，‎ 又，∴当时，，‎ 在上单调递增，‎ 所以，‎ ‎∴当时，恒成立，‎ ‎∴a的取值范围为．‎ ‎【点晴】本题主要考查导数运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin，曲线C2的极坐标方程为(a>0)．‎ ‎ (1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)；‎ ‎(2)若直线l与C2相切，求a的值．‎ ‎【答案】(1) ；(2)1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据二倍角关系消参数得曲线C1的普通方程，注意参数范围，再根据将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，联立直线方程与圆方程，解出交点，最后转化为极坐标（2）根据将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，根据直线与圆相切得圆心到切线距离为半径，解得a的值．‎ - 19 -‎ 试题解析：(1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－，]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，‎ 联立解得或 (舍去)，‎ 故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为.‎ ‎(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a>0)．‎ 由直线l与C2相切，得＝a，故a＝1.‎ ‎23.设函数．‎ ‎（1）解关于x的不等式；‎ ‎（2）若实数a，b满足，求的最小值．‎ ‎【答案】(1) (2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平方去绝对值，然后解一元二次不等式；‎ ‎（2）利用绝对值不等式的性质，即可求得结果.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎，‎ 解得，故原不等式的解集为．‎ ‎（2）‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及利用绝对值不等式性质求最值，属于中档题.‎ - 19 -‎ - 19 -‎