2020届二轮复习高考数学选择题的解题策略课件 60页

高考数学选择题的解题策略 一、知识整合 1 ．高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大 . 解答选择题的基本要求是四个字 —— 准确、迅速 . 2 ．选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面 . 解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接解；对于明显可以否定的选择应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。 3 ．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类 . 直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答 . 因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法 . 二、关于数学选择题的四点说明 1 、占据 《 数学 》 试卷“半壁江山”的选择题，自然是三种题型（选择题、填空题、解答题）中的 “大姐大”。她，美丽而善变，常以最基本的“姿态”出现，却总能让不少人和她“对面不偶”，无缘相识。 2 、人们一直在问：“谁是出卖耶酥的犹大？”，我们总想知道：“谁是最可爱的人？”。其实，答案有如一朵羞答答的玫瑰，早已静悄悄地开放在了“识别”与“选择”背后。 3 、“选择”是一个属于心智范畴的概念，尽管她的“家”总是徜徉于 A 、 B 、 C 、 D 之间，但对于“情有独钟”的“数学美眉”而言，理想的归宿，怎一个“猜”字了得！ 4 、据有关专家测试：选择题在作出正确选择的前题下，正常解答时间应在 100 秒以内，其中 20 秒审题、 30 秒理顺关系、 30 秒推理运算、 20 秒验证选项。 因为能力有大小不等、题目有难易各异、基础有好差之分，所以仅仅从时间上，来加以规范，也许会略显“机械”。但为防止“省时出错”、“超时失分”现象的发生，定时、定量、定性地加以训练还是有必要的。 面对选择题，我们的口号是： 选择，“无需忍痛 —— 芬（分）必得！” 三、数学选择题的三个特点 俗话说得好：“一母生九子，九子各不同。”即使同是 《 数学 》 这门学科，选择题和其它题目相比，解题思路和方法也有着一定的区别。产生这种现象的原因在于：数学选择题有着与其它题型明显不同的特点。 1 、立意新颖、构思精巧、迷惑性强，题材内容相关相近，真伪难分。 如：抛物线 y = ax 2 ( a ≠ 0) 的焦点的坐标是（ ） C 2 、技巧性高、灵活性大、概念性强，题材内容含蓄多变，解法奇特。 如：设 f ( x ) 为奇函数，当 x ∈ ( 0 , ∞ ) 时， f ( x ) = x – 1 , 则使 f ( x ) > 0 的 x 取值范围是 ( ) A 、 x ﹥ 1 B 、 x ﹥ 1 且 - 1 ﹤ x ﹤ 0 C 、 - 1 ﹤ x ﹤ 0 D 、 x ﹥ 1 或 - 1 ﹤ x ﹤ 0 3 、知识面广、切入点多、综合性强，题材内容知识点多，跨度较大。 如：若 π/2 < θ < π ，且 cosθ= - 3/5 , 则 sin(θ+π/3) 等于（ ） D B 四、数学选择题的解题思路 要想确保在有限的时间内，对 10 多条选择题作出有效的抉择，明晰解题思路是十分必要的。一般说来， 数学选择题有着特定的解题思路，具体概括如下： 1 、仔细审题，吃透题意 审题是正确解题的前题条件，通过审题，可以掌握用于解题的第一手资料 —— 已知条件，弄清题目要求。 审题的第一个关键在于：将有关概念、公式、定理等基础知识加以集中整理。凡在题中出现的概念、公式、性质等内容都是平时理解、记忆、运用的重点，也是我们在解选择题时首先需要回忆的对象。 审题的第二个关键在于：发现题材中的“机关” ——— 题目中的一些隐含条件，往往是该题“价值”之所在，也是我们失分的“隐患”。 除此而外，审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍。 2 、反复析题，去伪存真 析题就是剖析题意。在认真审题的基础上，对全题进行反复的分析和解剖，从而为正确解题寻得路径。因此，析题的过程就是根据题意，联系知识，形成思路的过程。由于选择题具有相近、相关的特点，有时“真作假时假亦真”，对于一些似是而非的选项，我们可以结合题目，将选项逐一比较，用一些“虚拟式”的“如果”，加以分析与验证，从而提高解题的正确率。 3 、抓往关键，全面分析 在解题过程中，通过审题、析题后找到题目的关键所在是十分重要的，从关键处入手，找突破口，联系知识进行全面的分析形成正确的解题思路，就可以化难为易，化繁为简，从而解出正确的答案。 4 、反复检查，认真核对 在审题、析题的过程中，由于思考问题不全面，往往会导致“失根”、“增根”等错误，因而，反复地检查，认真地进行核对，也是解选择题必不可少的步骤之一。 五、数学选择题的解题方法 当然，仅仅有思路还是不够的，“解题思路”在某种程度上来说，属于理论上的“定性”，要想解具体的题目，还得有科学、合理、简便的方法。 有关选择题的解法的研究，可谓是：仁者见仁，智者见智。其中不乏真知灼见，现选择部分实用性较强的方法，供参考： 1. 直接法 2. 特例法 3. 筛选法 4. 验证法 5. 图象法 6. 割补法 7. 极限法 8. 估值法 六、方法技巧 1. 直接法 有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的。 这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择 . 从而确定选择支的方法。 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法 . 例 1 ．若 sin 2 x >cos 2 x ，则 x 的取值范围 是 （ ） （ A ） { x |2 kπ － 3π/4 ＜ x ＜ 2 kπ ＋ π/4 ， k ∈ Z } （ B ） { x |2 kπ ＋ π/4 ＜ x ＜ 2 kπ ＋ 5π/4 ， k ∈ Z } （ C ） { x | kπ － π/4 ＜ x ＜ kπ ＋ π/4 ， k ∈ Z } （ D ） { x | kπ ＋ π/4 ＜ x ＜ kπ ＋ 3π/4 ， k ∈ Z } 解：由 sin 2 x >cos 2 x 得 cos 2 x － sin 2 x ＜ 0, 即 cos2 x ＜ 0, 所以： π/2 ＋ k π ＜ 2 x ＜ 3π/2 ＋ k π, 选 D . 另解：数形结合法：由已知得 |sin x |>|cos x | ， 画出 y =|sin x | 和 y =|cos x | 的图象，从图象中可知选 D . D 例 2 ．设 f ( x ) 是 ( － ∞ ， ∞) 是的奇函数， f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ，当 0≤ x ≤1 时， f ( x ) ＝ x ，则 f (7.5) 等于（ ） （ A ） 0.5 （ B ） － 0.5 （ C ） 1.5 （ D ） － 1.5 解：由 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) 得 f (7.5) ＝－ f (5.5) ＝ f (3.5) ＝－ f (1.5) ＝ f ( － 0.5) ，由 f ( x ) 是奇函数，得 f ( － 0.5) ＝－ f (0.5) ＝－ 0.5 ，所以选 B . 也可由 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ，得到周期 T ＝ 4 ，所以 f (7.5) ＝ f ( － 0.5) ＝－ f (0.5) ＝－ 0.5. B 例 3 ．七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是（ ） （ A ） 1440 （ B ） 3600 （ C ） 4320 （ D ） 4800 解一：（用排除法）七人并排站成一行，总的排法有 A 7 7 种，其中甲、乙两人相邻的排法有 2×A 6 6 种 . 因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有： A 7 7 － 2×A 6 6 ＝ 3600 ，对照后应选 B ； 解二：（用插空法） A 5 5 ×A 6 2 ＝ 3600. 直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解 . 直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案 . 提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错 . B 2 ．设 a > b > c ， n ∈ N ， 恒成立，则 n 的最大值是（ ） (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 C C 3. 已知 4 ．抛物线 y = ax 2 的准线方程是 y =2, 则 a 的值为 ______. ( 2003 江苏 .2 ) D B 2. 特例法 有些选择题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。 用特殊值 ( 特殊图形、特殊位置 ) 代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断 . 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等 . 例 4 ． 已知长方形的四个项点 A （ 0 ， 0 ）， B （ 2 ， 0 ）， C （ 2 ， 1 ）和 D （ 0 ， 1 ），一质点从 AB 的中点 P 0 沿与 AB 夹角为 θ 的方向射到 BC 上的点 P 1 后，依次反射到 CD 、 DA 和 AB 上的点 P 2 、 P 3 和 P 4 （入射解等于反射角），设 P 4 坐标为（ x 4 ， 0 ）若 1< x 4 <2 ，则 tanθ 的取值范围是（ ） C 解：考虑由 P 0 射到 BC 的中点上，这样依次反射最终回到 P 0 ，此时容易求出 tanθ =1/2 ，由题设条件知， 1 ＜ x 4 ＜ 2 ，则 tanθ ≠1/2 ，排除 A 、 B 、 D ，故选 C . 另解：（直接法）注意入射角等于反射角， …… ，所以选 C . 例 5 ．如果 n 是正偶数，则 C n 0 ＋ C n 2 ＋ … ＋ C n n-2 ＋ C n n ＝ （ ）（ A ） 2 n （ B ） 2 n-1 （ C ） 2 n-2 （ D ） ( n － 1)2 n-1 解：（特值法）当 n ＝ 2 时，代入得 C 2 0 ＋ C 2 2 ＝ 2 ，排除答案 A 、 C ；当 n ＝ 4 时，代入得 C 4 0 ＋ C 4 2 ＋ C 4 4 ＝ 8 ，排除答案 D . 所以选 B . 另解：（直接法）由二项展开式系数的性质有 C n 0 ＋ C n 2 ＋ … ＋ C n n-2 ＋ C n n ＝ 2 n-1 选 B . B 例 6 ．等差数列 { a n } 的前 m 项和为 30 ，前 2 m 项和为 100 ，则它的前 3 m 项和为 （ ）（ A ） 130 （ B ） 170 （ C ） 210 （ D ） 260 解：（特例法）取 m ＝ 1 ，依题意 a 1 ＝ 30 ， a 1 ＋ a 2 ＝ 100 ，则 a 2 ＝ 70 ，又 { a n } 是等差数列，进而 a 3 ＝ 110 ，故 S 3 ＝ 210 ，选（ C ） . 例 7 ．若 a > b >1 ， P = ， Q = ， R = ，则 （ ） （ A ） R1 ，排除答案 A 、 C ；若 a ＝ 2 ，由 2 － ax >0 得 x ＜ 1 ，这与 x ∈[0 ， 1] 不符合，排除答案 D . 所以选 B . B 例 9 ．过抛物线 y ＝ 4 x 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点 P 和 Q ，那么线段 PQ 中点的轨迹方程是 （ ）（ A ） y 2 ＝ 2 x － 1 （ B ） y 2 ＝ 2 x － 2 （ C ） y 2 ＝－ 2 x ＋ 1 （ D ） y 2 ＝－ 2 x ＋ 2 解：（筛选法）由已知可知轨迹曲线经过点 (1 ， 0) ，开口向右，由此排除答案 A 、 C 、 D ，所以选 B ； B D 解： ∵ x = 1 / 3 是不等式的解， ∴ 淘汰 ( A ) 、 ( B ) ， x = 2 是不等式的解，淘汰 ( D ) 故选 (C). 反例淘汰法 C 小结：筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题 . 当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择 . 它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占 40 ％ . 4. 验证法 （也称代入法） . 通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法。 例 10 ．函数 y = sin (π / 3 － 2 x ) ＋ sin 2 x 的最小正周期是（ ）（ A ） π / 2 （ B ） π （ C ） 2 π （ D ） 4π 解：（代入法） f ( x ＋ π / 2 ) ＝ sin [π / 3 － 2( x ＋ π / 2)] ＋ sin [2( x ＋ π/2)] ＝－ f ( x ) ， 而 f ( x ＋ π) ＝ sin [ － 2( x ＋ π )] ＋ sin [2( x ＋ π)] ＝ f ( x ). 所以应选 B. B 例 11 ．函数 y ＝ sin( 2 x ＋ 5π / 2) 的图象的一条对称轴的方程是 （ ） （ A ） x ＝－ π / 2 （ B ） x ＝－ π / 4 （ C ） x ＝ π / 8 （ D ） x ＝ 5π / 4 解：（代入法）把选择支逐次代入，当 x ＝－ π / 2 时， y ＝－ 1 ，可见 x ＝－ π / 2 是对称轴，又因为统一前提规定“只有一项是符合要求的”，故选 A . 小结：代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。 A 5. 图象法 （也称数形结合法） 在解答选择题的过程中，可先根椐题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。 例 12 ．在（ 0 ， 2π ）内，使 sin x> cos x 成立的 x 的取值范围是 （ ） （ A ）　 　 （ B ）　　 （ C ）　 （ D ） 解：（图解法）在同一直角坐标系中分别作出 y ＝ sin x 与 y ＝ cos x 的图象，便可观察选 C . C 例 13 ．在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上与直线 4 x ＋ 3 y － 12=0 距离最小的点的坐标是 （ ） （ A ）（ 8 / 5 ， 6 / 5 ） （ B ） (8 / 5 ，－ 6 / 5) （ C ） ( － 8 / 5 ， 6 / 5) （ D ） ( － 8 / 5 ，－ 6/ 5) 解：（图解法）在同一直角坐标系中作出圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 和直线 4 x ＋ 3 y － 12=0 后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选 A . A D 运算量大 易出错！！ B 解得， 正确答案为 A A 严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略 . 但它在解有关选择题时非常简便有效 . 不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择 . 如： 例 15 ．函数 y =| x 2 — 1|+1 的图象与函数 y =2 x 的图象交点的个数为 （ ） （ A ） 1 （ B ） 2 （ C ） 3 （ D ） 4 本题如果图象画得不准确，很容易误选（ B ）；答案为（ C ）。 C 小结：数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；历年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占 50 ％左右 . 6. 割补法 “ 能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题长度 . 解：如图，将正四面体 ABCD 补形成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点 . 因为正四面体棱长为 所以正方体棱长为 1. A 我们在初中学习平面几何时，经常用到“割补法”，在立体几何推导锥体的体积公式时又一次用到了“割补法”，这些蕴涵在课本上的方法当然是各类考试的重点内容 . 因此，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法” . 7 、极限法 从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变 . 应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程 . 例 17 ．对任意 θ∈ （ 0 ， π / 2 ）都有 （ ） （ A ） sin(sinθ) ＜ cosθ ＜ cos(cosθ) （ B ） sin(sinθ) ＞ cosθ ＞ cos(cosθ) （ C ） sin(cosθ) ＜ cos(sinθ) ＜ cosθ （ D ） sin(cosθ) ＜ cosθ ＜ cos(sinθ) 解：当 θ→0 时， sin(sinθ)→0 ， cosθ→1 ， cos(cosθ)→cos1 ，故排除 A ， B . 当 θ→π / 2 时， cos(sinθ)→cos1 ， cosθ→0 ，故排除 C ，因此选 D . 例 18 ．不等式组 的解集是（ ） 解：不等式的“极限”即方程，则只需验证 x =2 ， 2.5 ， 和 3 哪个为方程 的根，逐一代入，选 C . ( A ) (0 ， 2) ( B ) (0 ， 2.5) ( C ) (0 ， ) ( D ) (0 ， 3) C 例 19 ．在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 （ ） 解：当正 n 棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻两侧面所成二面角 α→π ，且小于 π ；当棱锥高无限大时，正 n 棱锥便又是另一极限状态，此时 α→ ，且大于 ，故选（ A ） . A 小结： 用极限法是解选择题的一种有效方法 . 它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，迅速找到答案。 8. 估值法 由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程 . 因此可以猜测、合情推理、估算而获得 . 这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次 . 例 21 ．已知过球面上 A 、 B 、 C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB = BC = CA =2 ，则球面面积是（ ） 解 ∵ 球的半径 R 不小于 △ ABC 的外接圆半径 r ＝ ，则 S 球 ＝ 4π R 2 ≥4π r 2 ＝ 16π / 3 ＞ 5π ，故选（ D ） . D 小结：估算，省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷 . 其应用广泛，它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法 . 七、总结提炼 从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”，“手段”都是无关紧要的 . 所以人称可以“不择手段” . 但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速 . 总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择 . 这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间 . 八、总结： 1 、数学选择题的解题思路 （ 1 ） 仔细审题，吃透题意 （ 2 ） 反复析题，去伪存真 （ 3 ） 抓往关键，全面分析 （ 4 ） 反复检查，认真核对 面对选择题，我们的口号是： 选择，“无需忍痛 —— 芬（分）必得！” 我们的宗旨是： “ 不择手段，多快好省 ” 友情提醒：小题小做，小题巧做，切忌小题大做 2 、数学选择题的解题方法 选择题的解法 直 接 法 淘 汰 法 验 证 法 图 像 法 特 殊 法 逻 辑 分 析 法 . . . 特 殊 值 特 殊 函 数 特 殊 数 列 特 殊 图 像 . . . 冰冻三尺非一日之寒，任何一种思想与方法绝不是凭借几个典型例题就能掌握的，它需要大量的实践，需要我们平时注意对题目所用到的思想方法与技巧进行总结。只有这样才能逐步提高解题能力，为高考的全面胜利打下良好的基础。