【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第24讲　平面向量的概念及其线性运算学案 12页

第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入 第24讲　平面向量的概念及其线性运算 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1．了解向量的实际背景．‎ ‎2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．‎ ‎3．理解向量的几何表示．‎ ‎4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．‎ ‎5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．‎ ‎6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．‎ ‎2017·天津卷，13‎ ‎2017·浙江卷，15‎ ‎2015·全国卷Ⅰ，7‎ ‎2015·全国卷Ⅱ，13‎ ‎2015·北京卷，13‎ ‎　　平面向量的线性运算及其几何意义是高考的重点．主要以三角形或四边形为载体，考查向量的有关概念及简单运算．‎ 分值：5分 ‎1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有__大小__又有__方向__的量；向量的大小叫做向量的__长度__(或称__模__)‎ 平面向量是自由向量 零向量 长度为__零__的向量，其方向是任意的 记作！！！　0　###‎ 单位向量 长度等于__1个单位__的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向__相同__或__相反__的非零向量 共线向量 ‎__方向相同或相反__的非零向量，又叫做共线向量 ‎0与任一向量__平行__或共线 相等向量 长度__相等__且方向__相同__的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度__相等__且方向__相反__的向量 ‎0的相反向量为0‎ ‎2．向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 ‎(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量的和运算 ‎__三角形__法则 ‎__平行四边形__法则 ‎(1)交换律：‎ a＋b＝b＋a ‎(2)结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b)　‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|＝|λ||a|；‎ ‎(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向__相同__；当λ<0时，λa的方向与a的方向__相反__；当λ＝0时，λa＝0‎ λ(μa)＝(λμ)a；‎ ‎(λ＋μ)a＝！！！　λa＋μa　###；‎ λ(a＋b)＝！！！　λa＋λb　###‎ ‎3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得！！！　b＝λa　###.‎ ‎4．必会结论 ‎(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋…＋An－1An＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．‎ ‎(2)若点P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．‎ ‎(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔点P为△ABC的重心．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)单位向量只与模有关，与方向无关．(　√　)‎ ‎(2)零向量的模等于0，没有方向．(　×　)‎ ‎(3)若两个向量共线，则其方向必定相同．(　×　)‎ ‎(4)＋＝0.(　√　)‎ 解析　(1)正确．由定义知模为1的向量叫单位向量，与方向无关．‎ ‎(2)错误．零向量的方向是任意的．‎ ‎(3)错误．可能相同，也可能相反，若有零向量，则两向量方向不定．‎ ‎(4)正确.＋＝－＝0.‎ ‎2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　D　)‎ A．共线　　　 B．不共线 C．共线且同向　　　 D．不一定共线 解析　可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D项正确．‎ ‎3．点D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(　A　)‎ A．－＋　　　 B．－－ C．－　　　 D．＋ 解析　如图，由于D是AB的中点，所以＝＋＝＋＝－＋.‎ ‎4．化简－＋－的结果为！！！　　###.‎ 解析　－＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝.‎ ‎5．已知a与－b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－‎3a)共线，则λ的值为！！！　－　###.‎ 解析　∵a＋λb与－(b－‎3a)共线，∴存在实数μ，使a＋λb＝μ(‎3a－b)，‎ 即∴ 一　平面向量的概念 平面向量概念中的几点注意 ‎(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．‎ ‎(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．‎ ‎(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．‎ ‎(4)非零向量a的单位向量是.‎ ‎【例1】 (1)给出下列命题：‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；‎ ‎③若a＝b，b＝c，则a＝c；‎ ‎④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.‎ 其中正确命题的序号是(　A　)‎ A．②③　　　 B．①②　　　‎ C．③④　　　 D．①④‎ ‎(2)给出下列命题：‎ ‎①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；‎ ‎②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；‎ ‎③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；‎ ‎④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中错误的命题的个数为(　C　)‎ A．1　　　 B．‎2　‎　　‎ C．3　　　 D．4‎ 解析　(1)①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．‎ ‎②正确．∵＝，∴||＝||且∥.‎ 又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；‎ 反之，若四边形ABCD为平行四边形，‎ 则∥且||＝||，因此＝.‎ ‎③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，‎ ‎∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.‎ ‎④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．‎ 综上所述，正确命题的序号是②③，故选A．‎ ‎(2)①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．‎ ‎②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．‎ ‎③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.‎ ‎④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．‎ 二　平面向量的线性运算 平面向量线性运算的解题策略 ‎(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．‎ ‎(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．‎ ‎【例2】 (1)如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　D　)‎ A．0　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． ‎(2)(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为！！！　　###.‎ 解析　(1)因六边形ABCDEF是正六边形，故＋＋＝＋＋＝＋＝.‎ ‎(2)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.又·＝3×2×＝3，‎ 所以·＝·(－＋λ)‎ ‎＝－2＋··＋·λ2‎ ‎＝－3＋3＋λ×4＝λ－5＝－4，则λ＝.‎ 三　平面向量共线定理的应用 ‎(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．‎ ‎(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ‎1a＋λ2b＝0成立；若λ‎1 a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．‎ ‎【例3】 设两个非零向量a和b不共线．‎ ‎(1)如果＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．‎ 解析　(1)证明：因为＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)，‎ 所以＝＋＝‎2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，‎ 所以，共线．又与有公共点B，所以A，B，D三点共线．‎ ‎(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，‎ 即解得k＝±1．即k＝±1时，ka＋b与a＋kb共线．‎ ‎1．下列命题中正确的是(　C　)‎ A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线 B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行 解析　由于零向量与任一向量都共线，所以A项不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B项不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D项不正确；对于C项，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C．‎ ‎2．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝(　B　)‎ A．a＋b　　　 B．a＋b C．a＋b　　　 D．a＋b 解析　如图，＝＋，由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，‎ 故＝，则＝a＋b＋＝a＋b.‎ ‎3．(2017·浙江卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是____4____，最大值是！！！　2　###.‎ 解析　由向量三角不等式得，|a＋b|＋|a－b|≥‎ ‎|(a＋b)－(a－b)|＝|2b|＝4.‎ 又≤＝＝，‎ ‎∴|a＋b|＋|a－b|的最大值为2.‎ ‎4．设两个非零向量e1和e2不共线．‎ ‎(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；‎ ‎(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，求k的值．‎ 解析　(1)证明：＝e1－e2，＝3e1＋2e2，‎ ‎∴＝＋＝4e1＋e2，又＝－8e1－2e2，‎ ‎∴＝－2，∴与共线．‎ 又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线．‎ ‎(2)∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2，∴＝＋＝3e1－2e2.‎ ‎∵A，C，F三点共线，∴∥，从而存在实数λ，使得＝λ.‎ ‎∴3e1－2e2＝3λe1－λke2.‎ 又e1，e2是不共线的非零向量，∴解得k＝2.‎ 易错点　向量线性运算法则、几何意义不明 错因分析：对向量线性运算法则，几何意义的理解准确，从而不能熟练运用运算法则和几何意义来解题．‎ ‎【例1】 已知P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则＝________.‎ 解析　如图，无论多少倍的，因为底不变，恒为AB，所以S△ABP＝S△ABC，S△ABQ＝S△ABC，所以＝.‎ 答案　 ‎【跟踪训练1】 已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有＋＋2＝0，求△AOC的面积．‎ 解析　如图，设AC中点为M，BC中点为N.‎ ‎∵＋＋＋＝0，∴2＋2＝0，‎ ‎∴＋＝0，O为中位线MN的中点，‎ ‎∴S△AOC＝S△ANC＝×S△ABC＝×4＝1．‎ 课时达标　第24讲 ‎[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．‎ 一、选择题 ‎1．在△ABC中，已知M是BC的中点，设＝a，＝b，则＝(　A　)‎ A．a－b　　　 B．a＋b C．a－b　　　 D．a＋b 解析　＝＋＝－＋＝－b＋a，故选A．‎ ‎2．(2018·河北石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　D　)‎ A．a＋b＝0　　　 B．a＝b C．a与b共线反向　　　 D．存在正实数λ，使a＝λb 解析　因为a，b，是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．‎ ‎3．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)，实数λ∈(1,2)，则(　B　)‎ A．点M在线段AB上　　　 B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上　　　 D．O，A，M，B一定共线 解析　∵＝λ＋(1－λ)，∴－＝λ(－)，∴＝λ.∵λ∈(1,2)，∴点B在线段AM上．‎ ‎4．如图所示，在△ABC中，若＝3，则＝(　C　)‎ A．＋　　　 B．－ C．＋　　　 D．－ 解析　＝－＝－＝(－)＋＝＋，故选C．‎ ‎5．(2018·甘肃兰州模拟)已知D为△ABC的边AB的中点，M在边DC上且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　C　)‎ A．　　　 B． C．　　　 D． 解析　由5＝＋3得2＝2＋3－3，‎ 则2(－)＝3(－)，即2＝3，故＝，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，‎ 故S△ABM∶S△ABC＝3∶5.‎ ‎6．(2018·云南大理模拟)已知O是△ABC所在平面外一点且满足＝＋λ，λ为实数，则动点P的轨迹必须经过△ABC的(　B　)‎ A．重心　　　 B．内心 C．外心　　　 D．垂心 解析　如图，设＝，＝，已知，均为单位向量．‎ 故▱AEDF为菱形，所以AD平分∠BAC，‎ 由＝＋λ 得＝λ，又与有公共点A，故A，D，P三点共线，所以P点在∠BAC的平分线上，故P的轨迹经过△ABC的内心．‎ 二、填空题 ‎7．已知m，n满足|m|＝2，|n|＝3，|m－n|＝，则|m＋n|＝__3__.‎ 解析　由平行四边形的对角线与边的关系及|m－n|与|m＋n|为以m，n为邻边的平行四边形的两条对角线的长，得|m－n|2＋|m＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26，又|m－n|＝，故|m＋n|2＝26－17＝9，故|m＋n|＝3.‎ ‎8．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝__3__.‎ 解析　由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则＝，因为AD为中线，则＋＝2＝3，所以m＝3.‎ ‎9．设a，b是两个不共线向量，＝‎2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为__－1__.‎ 解析　∵＝＋＝‎2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，即∴p＝－1．‎ 三、解答题 ‎10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，＝＋λ，求实数λ的值．‎ 解析　如图，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F，连接CD，‎ 则＝＋.因为＝＋λ，‎ 所以＝，＝λ.‎ 由△ADE∽△ABC，得＝＝，‎ 所以＝＝，故λ＝.‎ ‎11．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若＝m＋，求实数m的值．‎ 解析　由N是OD的中点得＝A＋＝＋(＋)＝＋，又因为A，N，E三点共线，故＝λ，即m＋＝λ，‎ 所以解得故实数m＝.‎ ‎12．如图，△ABC中，＋＋＝0，＝a，＝b.若＝ma，＝nb，CG∩PQ＝H，＝2，求＋的值．‎ 解析　由＋＋＝0，知G为△ABC的重心，取AB的中点D，则＝＝＝(＋)＝＋，由P，H，Q三点共线，得＋＝1，则＋＝6.‎