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- 2021-06-16 发布
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§11.3 二项式定理
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1.能利用计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
考点1 二项展开式中特定项或系数问题
二项式定理
二项式定理
(a+b)n=________________
二项式系数
二项展开式中各项系数C
(k=0,1,…,n)
二项式通项
Tk+1=________,它表示第
________项
答案:Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*) Can-kbk k+1
(1)[教材习题改编](1-2x)7的展开式的第4项的系数是________.
答案:-280
解析:展开式中,Tr+1=C·(-2x)r=C·(-2)rxr,当r=3时,T4=C·(-2)3·x3=-280x3,所以第4项的系数为-280.
(2)[教材习题改编]12的展开式的常数项是________.
答案:495
解析:展开式中,Tr+1=Cx12-r·r=(-1)rCx12-3r,当r=4时,T5=C=495为常数项.
[典题1] (1)在二项式5的展开式中,含x4的项的系数是( )
A.10 B.-10 C.-5 D.20
[答案] A
[解析] 由二项式定理可知,
展开式的通项为C(-1)rx10-3r,
令10-3r=4,得r=2,
所以含x4项的系数为C(-1)2=10,故选A.
(2)[2017·吉林长春模拟]5的展开式中的常数项为( )
A.80 B.-80 C.40 D.-40
[答案] C
[解析] ∵Tr+1=C(x2)5-rr
=(-2)rCx10-5r,
由10-5r=0,得r=2,
∴T3=(-2)2C=40.
(3)[2015·湖南卷]已知5的展开式中含x的项的系数为30,则a=( )
A. B.-
C.6 D.-6
[答案] D
[解析] Tr+1=C()5-r·r
=C(-a)rx,由=,解得r=1.
由C(-a)=30,得a=-6.故选D.
(4)8的展开式中的有理项共有________项.
[答案] 3
[解析] 8的展开式的通项为Tr+1=C·()8-rr=-rCx (r=0,1,2,…,8),为使Tr+1为有理项,r必须是4的倍数,所以r=0,4,8,故共有3个有理项.
(5)二项式n的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为________.
[答案] 5
[解析] 二项展开式的的通项是Tr+1=Cx3n-3rx-2r=Cx3n-5r,
令3n-5r=0,得n=(r=0,1,2,…,n),
故当r=3时,n有最小值5.
[点石成金] 1.求展开式中的特定项,可依据条件
写出第k+1项,再由特定项的特点求出k的值即可.
2.已知展开式的某项,求特定项的系数,可由某项得出参数项,再由通项公式写出第k+1项,由特定项得出k的值,最后求出其参数.
考点2 二项式系数及项的系数问题
二项式系数的性质
答案:相等 递增的 递减的 一项 两项
2n 2n-1
二项式系数与项的系数的区别.
已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为________.
答案:29
解析:因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以C=C,解得n=10.根据二项式系数和的相关公式得,奇数项的二项式系数和为2n-1=29.
1.系数和:赋值法.
若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为________.
答案:8
解析:令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=0;令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=16.故a0+a2+a4=8.
2.通项公式:Tr+1=Can-rbr.
7的展开式中x5的系数是________.(用数字填写答案)
答案:35
解析:Tr+1=C(x3)7-rr=C·x21-4r,令21-4r=5,得r=4,因此x5的系数为C=35.
[典题2] [2017·四川成都一中模拟]设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
[答案] A
[解析] 令等式中x=-1,可得a0+a1+a2+…+a11=(1+1)(-1)9=-2,故选A.
[点石成金] 1.赋值法研究二项式的系数和问题
“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
2.二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数,则中间一项的二项式系数最大;
(2)如果n是奇数,则中间两项第项与第+1项的二项式系数相等并最大.
1.在(1+x)n(x∈N*)的二项展开式中,若只有x5的系数最大,则n=( )
A.8 B.9 C.10 D.11
答案:C
解析:二项式中仅x5的系数最大,其最大值必为,即得=5,解得n=10.
2.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为( )
A.1或3 B.-3
C.1 D.1或-3
答案:D
解析:令x=0,得a0=(1+0)6=1.
令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6.
又a1+a2+a3+…+a6=63,
∴(1+m)6=64=26,
∴m=1或m=-3.
考点3 多项式展开式中的特定项或系数问题
[考情聚焦] 在高考中,常常涉及一些多项式问题,主要考查学生的化归能力.
主要有以下几个命题角度:
角度一
几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
[典题3] [2017·山东荣成模拟]在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中,含x2项的系数是( )
A.10 B.15 C.20 D.25
[答案] C
[解析] 含x2项的系数为C+C+C+C=20.
角度二
几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题
[典题4] [2015·新课标全国卷Ⅱ](a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=________.
[答案] 3
[解析] 设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.
令x=1,得
(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.①
令x=-1,得
0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②
①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,
∴a=3.
角度三
三项展开式中的特定项(系数)问题
[典题5] [2015·新课标全国卷Ⅰ](x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10 B.20 C.30 D.60
[答案] C
[解析] 解法一:(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,含y2的项为T3=C(x2+x)3·y2.
其中(x2+x)3中含x5的项为Cx4·x=Cx5.
所以x5y2的系数为CC=30.故选C.
解法二:(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CCC=30.故选C.
[点石成金] 1.对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题,只需依据二项展开式的通项,从每一项中分别得到特定的项,再求和即可.
2.对于几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.
3.对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.
考点4 二项式定理的应用
[典题6] (1)设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a=( )
A.0 B.1 C.11 D.12
[答案] D
[解析] 512 012+a=(52-1)2 012+a=C·522 012-C·522 011+…-C×52+C+a,
∵C·522 012-C·522 011+…-C×52能被13整除,且512 012+a能被13整除,
∴C·(-1)2 012+a=1+a也能被13整除,
又0≤a<13,因此a的值为12.
(2)求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.
[证明] ∵1+2+22+…+25n-1=
=25n-1=32n-1=(31+1)n-1
=C×31n+C×31n-1+…+C×31+C-1
=31(C×31n-1+C×31n-2+…+C),
显然C×31n-1+C×31n-2+…+C为整数,
∴原式能被31整除.
(3)用二项式定理证明2n>2n+1(n≥3,n∈N*).
[证明] 当n≥3,n∈N*时,
2n=(1+1)n=C+C+…+C+C
≥C+C+C+C=2n+2>2n+1,
∴不等式成立.
[点石成金] 1.整除问题和求近似值是二项式定理的两类常见的应用问题,整除问题中要关注展开式的最后几项,而求近似值则应关注展开式的前几项.
2.二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式.
3.由于(a+b)n的展开式共有n+1项,故可通过对某些项的取舍来放缩,从而达到证明不等式的目的.
1-90C+902C-903C+…+(-1)k90kC+…+9010C除以88的余数是( )
A.-1 B.1
C.-87 D.87
答案:B
解析:1-90C+902C-903C+…+(-1)k90kC+…+9010C=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C889+…+C88+1,
∵前10项均能被88整除,∴余数是1.
[方法技巧] 二项展开式的通项Tk+1=Can-kbk中含有a,b,n,k,Tk+1五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求第五个元素,这类问题一般是利用二项式定理把问题归纳为解方程(或方程组)的问题,这里必须注意n是正整数,k是非负整数,且k≤n.
(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项.
(2)常数项:即项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.
(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
真题演练集训
1.[2016·新课标全国卷Ⅰ](2x+)5的展开式中,x3的系数是________.(用数字填写答案)
答案:10
解析:由(2x+)5,得Tr+1=C(2x)5-r()r=25- rCx,令5-=3,得r=4,此时系数为10.
2.[2016·北京卷]在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为________.(用数字作答)
答案:60
解析:(1 -2x)6的展开式的通项Tr+1=C(-2)rxr,
当r=2时,T3=C(-2)2x2=60x2,
所以x2的系数为60.
3.[2016·天津卷]8的展开式中x7的系数为________.(用数字作答)
答案:-56
解析:二项展开式的通项Tr+1=C(x2)8-rr=(-1)rCx16-3r,令16-3r=7,得r=3,故x7的系数为-C=-56.
4.[2016·山东卷]若5的展开式中x5的系数是-80,则实数a=________.
答案:-2
解析:5的展开式的通项Tr+1=C(ax2)5-r·x=Ca5-r·x,令10-r =5,得r=2,所以Ca3=-80,解得a=-2.
5.[2014·新课标全国卷Ⅰ](x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)
答案:-20
解析:x2y7=x·(xy7),其系数为C,
x2y7=y·(x2y6),其系数为-C,
∴x2y7的系数为C-C=8-28=-20.
课外拓展阅读
二项展开式中赋值法的应用
[典例] 在(2x-3y)10的展开式中,求:
(1)二项式系数的和;
(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项系数和与偶数项系数和;
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
[审题视角] 求二项式系数的和或各项系数的和的问题,常用赋值法求解.
[解] 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*)
各项系数的和即为a0+a1+…+a10,
奇数项系数的和为a0+a2+…+a10,
偶数项的系数和为a1+a3+a5+…+a9,
x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9,
x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
(1)二项式系数的和为C+C+…+C=210.
(2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.
(3)奇数项的二项式系数和为C+C+…+C=29.
偶数项的二项式系数和为C+C+…+C=29.
(4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1.①
令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),
得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②
①+②,得2(a0+a2+…+a10)=1+510,
∴奇数项系数的和为;
①-②,得2(a1+a3+…+a9)=1-510,
∴偶数项系数的和为.
(5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9=;
x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10=.
方法点睛
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+
c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法,注意取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解题易出现漏项等情况,应引起注意.例:若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数的和为f(1),奇数项系数的和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数的和为a1+a3+a5+…=,令x=0,可得a0=f(0).