2019届二轮复习复数学案（全国通用） 7页

第十四讲 复数 一、 知识要点 1. 复数的三角形式 ‎ ①定义：复数表示成的形式叫复数的三角形式。其中，，为辐角，若，则称为辐角主值。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ② 非零复数辐角的多值性：‎ ‎ 如右图，以轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角叫复数的辐角。‎ 因此，复数的辐角是 ‎ ③ 辐角主值：‎ ‎ 表示法：用表示复数的辐角主值。‎ ‎ 定 义：当时，叫辐角主值，即 。‎ ‎ 唯一性：复数的辐角主值是确定的，唯一的。‎ ‎ ④不等于零的复数的模是唯一的。‎ ‎ ⑤时，其辐角是任意的。‎ 2. 复数三角形式的运算 复数三角形式的运算其实是辅角的三角运算。具体规则如下：‎ ①‎ 证明：‎ ‎ ②‎ 证明： ‎ ③又若复数，则它的次方根是以下个复数：‎ 1. 复数的几何意义 ‎（1）复数的向量表示 在复平面内与复数、对应的点分别 为、（如图） 向量，‎ 向量， ‎ 向量 ‎（2）常见几何图形的复数表达式：设复数已知，，则 ‎ ①线段的中垂线方程；‎ ‎ ②以为圆心，半径为的圆的方程；‎ ‎ ③以为焦点，长轴长为的椭圆方程；‎ ‎ ④以为焦点，实轴长为的双曲线方程；‎ 2. 欧拉公式: ‎ 小结： 复数的三种表示方法: ‎ 代数表示: ， ‎ 三角表示: , ‎ 指数表示： ， ( = ， )‎ 二、 典型例题 例1.（五校2010选拔样题）已知是实数，，且当时，.则 （ ）‎ A. ‎ B.‎ C. D.‎ 解析：设 （，则 所以，‎ 又，所以，即。选C.‎ 例2.（交大2006保送推优）已知，是实数，是复数，求的最大值.‎ 解析：利用性质 立即得.‎ 例3.（同济2004自招）已知复平面上段A与点B非别对应复数2与，线段AB上的动点P对应复数，若复数对应点Q，点Q坐标为，则点Q的轨迹方程为 .‎ 解析：设，则.‎ 由P在线段AB上可得.‎ 又,‎ 消参可得, (.‎ 例4(复旦2009自招),则在复平面内的轨迹为 .‎ 解析:设,‎ 则 所以复数对应的点满足:‎ 消去参数可得 所以点P的轨迹是椭圆,其焦距.选A.‎ 例5(清华2006)求最小正整数,使得为纯虚数,并求出.‎ 解析:是纯虚数,‎ 因此,所求的最小值为3,此时.‎ 例6、(清华2009自招)求的模.‎ 解析:利用欧拉公式.‎ 三、练习巩固 A组:‎ ‎1.（11卓越）为虚数单位，设复数满足，则的最大值为（ C ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2.（11复旦）设有复数，令，则复数（ A ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3.（08复旦）在复平面上，满足方程的复数所对应的点构成的图形是（ A ）‎ ‎（A）圆 （B）两个点 （C）线段 （D）直线 ‎4.（07复旦）已知，若，则的值是（ D ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5.（07复旦）复数在复平面上对应的点不可能位于（ A ）‎ ‎（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎6.（07复旦）设为复平面上一定点，为复平面上的动点，其轨迹方程为，为复平面上另一个动点满足，则在复平面上的轨迹形状是（ B ）‎ ‎（A）一条直线 （B）以为圆心，为半径的圆 ‎（C）焦距为的双曲线 （D）以上均不对 ‎7.（06复旦）设、为一对共轭复数，如果，且为实数，那么（ A ）‎ ‎（A） （B）2 （C）3 （D）‎ ‎8.（09复旦）复平面上点关于直线的对称点的复数表示是（ D ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9.（10复旦）已知复数，则复数的辐角是（ A ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10.（10复旦）设复数，满足，则（ C ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎11.（10复旦）复平面上圆周的圆心是（ C ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ B组 ‎1.（06复旦）在实数范围内分解因式： 。‎ ‎2.（08交大）复数，若存在负数使得，那么 。‎ ‎3.（06交大）是的非实数根， 。‎ ‎4.（05复旦）复数满足，则 2 。‎ ‎5.（05交大）若，且，则 19或25 。‎ ‎6.（04复旦）的非零解是 。‎ ‎7.（03复旦）已知，则 。‎ ‎8.（09南大）为模大于1的复数，，则 。‎ ‎9.（11华约）已知，，求。‎ ‎10.（03复旦）已知，求的最小值。‎ ‎11.（10五校），的实部为2，求虚部。‎