【数学】2019届一轮复习人教A版不等式的性质与一元二次不等式学案 14页

第1节　不等式的性质与一元二次不等式 最新考纲　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.‎ 知 识 梳 理 ‎1.两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 ‎(2)作商法 ‎2.不等式的性质 ‎(1)对称性：a＞b⇔b＜a；‎ ‎(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；‎ ‎(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；‎ ‎(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；‎ ‎(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；‎ ‎(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).‎ ‎3.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ‎ (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ‎ ‎(a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2)‎ 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 ‎ ‎(a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 ‎ ‎(a＞0)的解集 ‎{x|x1＜x＜x2}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.有关分数的性质 ‎(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).‎ ‎(2)若ab>0，且a>b⇔<.‎ ‎2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形.‎ ‎3.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　)‎ ‎(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)‎ ‎(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　)‎ ‎(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)‎ 解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒/ ac2＞bc2.‎ ‎(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根.则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.‎ ‎(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)‎ A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ 解析　因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0.两边同乘－1，得＜.故选B.‎ 答案　B ‎3.设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于(　　)‎ A.(0，4] B.[0，4) C.[－1，0) D.(－1，0]‎ 解析　∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－10，解得x>1或x<－1.‎ 答案　{x|x<－1或x>1}‎ ‎5.已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　若a＝0，则f(x)＝－1≤0恒成立，‎ 若a≠0，则由题意，得 解得－4≤a<0，‎ 综上，得a∈[－4，0].‎ 答案　[－4，0]‎ 考点一　比较大小及不等式的性质的应用 ‎【例1】 (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b ‎(2)(一题多解)若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　)‎ A.①④ B.②③ C.①③ D.②④‎ 解析　(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.‎ 又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，‎ ‎∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，‎ ‎∴b>a，∴c≥b>a.‎ ‎(2)法一　因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.‎ 显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.‎ 法二　由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；‎ ‎②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；‎ ‎③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，‎ 所以a－＞b－，故③正确；‎ ‎④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.‎ 答案　(1)A　(2)C 规律方法　1.比较大小常用的方法：‎ ‎(1)作差法；(2)作商法；(3)函数的单调性法.‎ ‎2.判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.‎ ‎【训练1】 (1)(2018·赣州、吉安、抚州七校联考)设0b3 B.< C.ab>1 D.lg(b－a)<0‎ ‎(2)已知p＝a＋，q＝，其中a>2，x∈R，则p，q的大小关系是(　　)‎ A.p≥q B.p>q C.p0的解集为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由2x2－x－3>0，得(x＋1)(2x－3)>0，‎ 解得x>或x<－1.‎ ‎∴不等式2x2－x－3>0的解集为.‎ 答案　B 命题角度2　含参不等式 ‎【例2－2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a≤0).‎ 解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.‎ ‎①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.‎ ‎②当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.‎ 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；‎ 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；‎ 当＜－1，即－2＜a＜0，解得≤x≤－1.‎ 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；‎ 当－2＜a＜0时，不等式的解集为；‎ 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；‎ 当a＜－2时，不等式的解集为.‎ 规律方法　含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：‎ ‎(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；‎ ‎(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；‎ ‎(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.‎ ‎【训练2】 已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________.‎ 解析　由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以解得 故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，‎ 解得x≥3或x≤2.‎ 答案　{x|x≥3或x≤2}‎ 考点三　不等式的恒成立问题(多维探究)‎ 命题角度1　在R上恒成立 ‎【例3－1】 若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)‎ A.(－3，0] B.[－3，0) C.[－3，0] D.(－3，0)‎ 解析　一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，‎ 则必有 解之得－3＜k＜0.‎ 答案　D 命题角度2　在给定区间上恒成立 ‎【例3－2】 (一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________. ‎ 解析　要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，‎ 故mx2－mx＋m－6＜0，‎ 即m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.‎ 有以下两种方法：‎ 法一　令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].‎ 当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，‎ 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.‎ 所以m＜，则0＜m＜.‎ 当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，‎ 所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.‎ 所以m＜6，所以m＜0.‎ 综上所述，m的取值范围是.‎ 法二　因为x2－x＋1＝＋＞0，‎ 又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.‎ 因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可.‎ 因为m≠0，所以m的取值范围是 .‎ 答案　 命题角度3　给定参数范围的恒成立问题 ‎【例3－3】 已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　)‎ A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)‎ C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)‎ 解析　把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，‎ 则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，‎ 所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0，‎ 且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，‎ 解不等式组得x＜1或x＞3.‎ 答案　C 规律方法　1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.‎ ‎2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.‎ ‎【训练3】 (1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a 的取值范围是(　　)‎ A.[－1，4]‎ B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)‎ C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)‎ D.[－2，5]‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________.‎ 解析　(1)由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.‎ ‎(2)二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，‎ 都有f(x)＜0成立，‎ 则 解得－＜m＜0.‎ 答案　(1)A　(2) 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.(2018·汕头一模)已知集合A＝，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝(　　)‎ A.{1，2} B.{0，1，2}‎ C.{1} D.{1，2，3}‎ 解析　∵A＝＝{x|00的解集是(　　)‎ A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)‎ C.(－1，3) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)‎ 解析　关于x的不等式ax－b<0即ax0可化为 ‎(x＋1)(x－3)<0，解得－10 B.2a－b< C.log2a＋log2b<－2 D.2＋< 解析　由题意知02＝2，所以2＋>22＝4，D错误；由a＋b＝1>2，得ab<，因此log2a＋log2b＝log2(ab)