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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版4-2同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

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‎§4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 考纲展示► ‎ ‎1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.‎ ‎2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ 考点1 三角函数的诱导公式 ‎                ‎ 诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ+‎ α(k∈Z)‎ π+α ‎-α π-α -α +α 正弦 sin α ‎-sin α ‎-sin α sin α cos α ‎______‎ 余弦 cos α ‎-cos α cos α ‎______‎ sin α ‎-sin α 续表 组序 一 二 三 四 五 六 正切 tan α tan α ‎-tan α ‎______‎ 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 记忆 规律 奇变偶不变,符号看象限 答案:cos α -cos α -tan α ‎ ‎(1)[教材习题改编]已知f(x)=sin+2sin-4cos 2x+3cos,则f 的值为(  )‎ A.0 B.‎1 C.-5 D.-9‎ 答案:C ‎(2)[教材习题改编]已知cos α=-,则sin=________.‎ 答案:- 解析:sin=cos α=-.‎ 诱导公式的应用原则:负化正,大化小,化到锐角为终了.‎ sin(-2 010°)的值是________.‎ 答案: 解析:sin(-2 010°)=-sin 2 010°=-sin(5×360°+210°)=-sin 210°=-sin(180°+30°)=sin 30°=.‎ ‎[典题1] (1)[2017·浙江台州中学高三月考]已知sin=,则cos=(  )‎ A. B.- C. D.- ‎[答案] D ‎[解析] 根据诱导公式可知,‎ sin =-cos⇒cos=-,故选D.‎ ‎(2)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)sin(-1 050°)=________.‎ ‎[答案] 1‎ ‎[解析] 原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°·‎ sin 1 050°‎ ‎=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)‎ ‎=-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330°‎ ‎=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)‎ ‎=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°‎ ‎=×+×=1.‎ ‎(3)设f(α)=,其中1+2sin α≠0,则f=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] ∵f(α)= ‎===,‎ ‎∴f== ‎==.‎ ‎[点石成金] 利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求:‎ ‎(1)基本思路:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成单角三角函数;③整理得最简形式.‎ ‎(2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.‎ 考点2 同角三角函数的基本关系 ‎                 ‎ 同角三角函数的基本关系式 ‎(1)平方关系 sin2α+cos2α=________;‎ ‎(2)商数关系 tan α=.‎ 答案:(1)1‎ ‎(1)[教材习题改编]已知cos α=,且α是第四象限角,则sin α的值为________.‎ 答案:- 解析:由于α是第四象限角,‎ 故sin α=-=-.‎ ‎(2)[教材习题改编]已知tan α=-2,则=________.‎ 答案:-2‎ ‎1.基本关系式的误区:公式形式误区;角的范围误区.‎ 下列命题正确的有________.(填序号)‎ ‎①若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1;‎ ‎②若α∈R,则tan α=恒成立;‎ ‎③sin2α+cos2α=sin2θ+cos2θ.‎ 答案:③‎ 解析:①只有当α=β时,才有sin2α+cos2β=1;‎ ‎②因为cos α≠0,则α≠+kπ,k∈Z;‎ ‎③根据平方关系式,可得③正确.‎ ‎2.诱导公式应用的常见两种错误:符号;函数名.‎ ‎(1)若sin(3π+θ)=,则sin θ=________.‎ ‎(2)若cos=m,则sin α=________.‎ 答案:(1)- (2)-m 解析:(1)先应用诱导公式一,得 sin(3π+θ)=sin(2π+π+θ)=sin(π+θ);‎ 再应用公式二,得sin(π+θ)=-sin θ,‎ 故sin θ=-.‎ ‎(2)因为+α可看作是第二象限角,‎ 所以cos=-sin α,故sin α=-m.‎ 有关结论.‎ ‎(1)=________.‎ 答案:cos2α 解析:由sin2α+cos2α=1和=tan α,得tan2αcos2α+cos2α=1,故=cos2α.‎ ‎(2)=________.‎ 答案:|sin α-cos α|‎ 解析:因为1-sin 2α=sin2α+cos2α-2sin αcos α=(sin α-cos α)2,所以=|sin α-cos α|.‎ ‎[典题2] (1)[2017·甘肃兰州诊断]已知sin(π-α)=log8 ,且α∈,则tan(2π-α)的值为(  )‎ A.- B. C.± D. ‎[答案] B ‎[解析] sin(π-α)=sin α=log8 =-,‎ 又因为α∈,‎ 则cos α==,‎ 所以tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-=.‎ ‎(2)已知sin α+cos α=,且0<α<π,则tan α=________.‎ ‎[答案] - ‎[解析] 解法一:联立方程 由①得cos α=-sin α,‎ 将其代入②,整理得 ‎25sin2α-5sin α-12=0.‎ ‎∵α是三角形的内角,‎ ‎∴ ‎∴tan α=-.‎ 解法二:∵sin α+cos α=,‎ ‎∴(sin α+cos α)2=2,‎ 即1+2sin αcos α=,‎ ‎∴2sin αcos α=-,‎ ‎∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+=.‎ ‎∵sin αcos α=-<0且0<α<π,‎ ‎∴sin α>0,cos α<0,‎ ‎∴sin α-cos α>0.‎ ‎∴sin α-cos α=.‎ 由 得 ‎∴tan α=-.‎ ‎[题点发散1] 保持本例(2)中条件不变,‎ 求:(1);‎ ‎(2)sin2α+2sin αcos α的值.‎ 解:由母题,可知 tan α=-.‎ ‎(1)= ‎==.‎ ‎(2)sin2α+2sin αcos α= ‎===-.‎ ‎[题点发散2] 若本例(2)中条件变为“=‎5”‎,求tan α的值.‎ 解:解法一:由=5,得 =5,即tan α=2.‎ 解法二:由=5,得 sin α+3cos α=15cos α-5sin α,‎ ‎∴6sin α=12cos α,即tan α=2.‎ ‎[题点发散3] 若本例(2)中的条件和结论互换:已知α是三角形的内角,且tan α=-,求 sin α+cos α的值.‎ 解:由tan α=-,得sin α=-cos α,‎ 将其代入 sin2α+cos2α=1,得cos2α=1,‎ ‎∴cos2α=,易知cos α<0,‎ ‎∴cos α=-,sin α=,‎ 故 sin α+cos α=-.‎ ‎[点石成金] 同角三角函数基本关系式的应用技巧 技巧 解读 适合题型 切弦 主要利用公式tan θ= 表达式中含有sin θ,cos θ与tan ‎ 互化 化成正弦、余弦,或者利用公式=tan θ化成正切 θ ‎“‎1”‎的 变换 ‎1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan =(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ 表达式中需要利用“1”转化 和积 转换 利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ ‎1.若3sin α+cos α=0,则的值为(  )‎ A. B. C. D.-2‎ 答案:A 解析:3sin α+cos α=0⇒cos α≠0‎ ‎⇒tan α=-,‎ = ‎===.‎ ‎2.[2017·四川雅安模拟]已知sin θ+cos θ=,θ∈,则sin θ-cos θ 的值为(  )‎ A. B. C.- D.- 答案:C 解析:由题意,知(sin θ+cos θ)2=,‎ ‎∴1+2sin θcos θ=,∴2sin θcos θ=,‎ 由(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-=,‎ 可得sin θ-cos θ=±.‎ 又∵θ∈,sin θb>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 答案:C 解析:∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,‎ c=tan 35°=,‎ 又0b>a.‎ ‎3.[2015·四川卷]已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是________.‎ 答案:-1‎ 解析:由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.‎ 所以2sin αcos α-cos2α= ‎===-1.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用 ‎[典例] (1)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是(  )‎ A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}‎ C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}‎ ‎(2)在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),则C=________.‎ ‎[思路分析] (1)角中有整数k,应对k是奇数还是偶数进行讨论;(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时,要对开方的结果进行讨论.‎ ‎[解析] (1)当k为偶数时,A=+=2;‎ 当k为奇数时,A=-=-2.‎ 所以A的值构成的集合是{2,-2}.‎ ‎(2)由已知,得 ‎①2+②2,得2cos‎2A=1,即cos A=±,‎ 当cos A=时,cos B=,‎ 又A,B是三角形的内角,所以A=,B=,‎ 所以C=π-(A+B)=.‎ 当cos A=-时,cos B=-.‎ 又A,B是三角形的内角,‎ 所以A=,B=,不合题意.综上,C=.‎ ‎[答案] (1)C (2) 温馨提示 ‎(1)本题在三角函数的求值化简过程中,体现了分类讨论思想,即使讨论的某种情况不合题意,也不能省略讨论的步骤;(2)三角形中的三角函数问题,要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用.‎

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