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- 2021-06-16 发布
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§4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式
考纲展示►
1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
考点1 三角函数的诱导公式
诱导公式
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+
α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sin α
-sin α
-sin α
sin α
cos α
______
余弦
cos α
-cos α
cos α
______
sin α
-sin α
续表
组序
一
二
三
四
五
六
正切
tan α
tan α
-tan α
______
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
记忆
规律
奇变偶不变,符号看象限
答案:cos α -cos α -tan α
(1)[教材习题改编]已知f(x)=sin+2sin-4cos 2x+3cos,则f
的值为( )
A.0 B.1 C.-5 D.-9
答案:C
(2)[教材习题改编]已知cos α=-,则sin=________.
答案:-
解析:sin=cos α=-.
诱导公式的应用原则:负化正,大化小,化到锐角为终了.
sin(-2 010°)的值是________.
答案:
解析:sin(-2 010°)=-sin 2 010°=-sin(5×360°+210°)=-sin 210°=-sin(180°+30°)=sin 30°=.
[典题1] (1)[2017·浙江台州中学高三月考]已知sin=,则cos=( )
A. B.- C. D.-
[答案] D
[解析] 根据诱导公式可知,
sin =-cos⇒cos=-,故选D.
(2)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)sin(-1 050°)=________.
[答案] 1
[解析] 原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°·
sin 1 050°
=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)
=-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330°
=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)
=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°
=×+×=1.
(3)设f(α)=,其中1+2sin α≠0,则f=________.
[答案]
[解析] ∵f(α)=
===,
∴f==
==.
[点石成金] 利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求:
(1)基本思路:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成单角三角函数;③整理得最简形式.
(2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
考点2 同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系
sin2α+cos2α=________;
(2)商数关系
tan α=.
答案:(1)1
(1)[教材习题改编]已知cos α=,且α是第四象限角,则sin α的值为________.
答案:-
解析:由于α是第四象限角,
故sin α=-=-.
(2)[教材习题改编]已知tan α=-2,则=________.
答案:-2
1.基本关系式的误区:公式形式误区;角的范围误区.
下列命题正确的有________.(填序号)
①若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1;
②若α∈R,则tan α=恒成立;
③sin2α+cos2α=sin2θ+cos2θ.
答案:③
解析:①只有当α=β时,才有sin2α+cos2β=1;
②因为cos α≠0,则α≠+kπ,k∈Z;
③根据平方关系式,可得③正确.
2.诱导公式应用的常见两种错误:符号;函数名.
(1)若sin(3π+θ)=,则sin θ=________.
(2)若cos=m,则sin α=________.
答案:(1)- (2)-m
解析:(1)先应用诱导公式一,得
sin(3π+θ)=sin(2π+π+θ)=sin(π+θ);
再应用公式二,得sin(π+θ)=-sin θ,
故sin θ=-.
(2)因为+α可看作是第二象限角,
所以cos=-sin α,故sin α=-m.
有关结论.
(1)=________.
答案:cos2α
解析:由sin2α+cos2α=1和=tan α,得tan2αcos2α+cos2α=1,故=cos2α.
(2)=________.
答案:|sin α-cos α|
解析:因为1-sin 2α=sin2α+cos2α-2sin αcos α=(sin α-cos α)2,所以=|sin α-cos α|.
[典题2] (1)[2017·甘肃兰州诊断]已知sin(π-α)=log8 ,且α∈,则tan(2π-α)的值为( )
A.- B. C.± D.
[答案] B
[解析] sin(π-α)=sin α=log8 =-,
又因为α∈,
则cos α==,
所以tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-=.
(2)已知sin α+cos α=,且0<α<π,则tan α=________.
[答案] -
[解析] 解法一:联立方程
由①得cos α=-sin α,
将其代入②,整理得
25sin2α-5sin α-12=0.
∵α是三角形的内角,
∴
∴tan α=-.
解法二:∵sin α+cos α=,
∴(sin α+cos α)2=2,
即1+2sin αcos α=,
∴2sin αcos α=-,
∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+=.
∵sin αcos α=-<0且0<α<π,
∴sin α>0,cos α<0,
∴sin α-cos α>0.
∴sin α-cos α=.
由
得
∴tan α=-.
[题点发散1] 保持本例(2)中条件不变,
求:(1);
(2)sin2α+2sin αcos α的值.
解:由母题,可知
tan α=-.
(1)=
==.
(2)sin2α+2sin αcos α=
===-.
[题点发散2] 若本例(2)中条件变为“=5”,求tan α的值.
解:解法一:由=5,得
=5,即tan α=2.
解法二:由=5,得
sin α+3cos α=15cos α-5sin α,
∴6sin α=12cos α,即tan α=2.
[题点发散3] 若本例(2)中的条件和结论互换:已知α是三角形的内角,且tan α=-,求 sin α+cos α的值.
解:由tan α=-,得sin α=-cos α,
将其代入 sin2α+cos2α=1,得cos2α=1,
∴cos2α=,易知cos α<0,
∴cos α=-,sin α=,
故 sin α+cos α=-.
[点石成金] 同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦
主要利用公式tan θ=
表达式中含有sin θ,cos θ与tan
互化
化成正弦、余弦,或者利用公式=tan θ化成正切
θ
“1”的
变换
1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan =(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ
表达式中需要利用“1”转化
和积
转换
利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ
1.若3sin α+cos α=0,则的值为( )
A. B.
C. D.-2
答案:A
解析:3sin α+cos α=0⇒cos α≠0
⇒tan α=-,
=
===.
2.[2017·四川雅安模拟]已知sin θ+cos θ=,θ∈,则sin θ-cos θ 的值为( )
A. B.
C.- D.-
答案:C
解析:由题意,知(sin θ+cos θ)2=,
∴1+2sin θcos θ=,∴2sin θcos θ=,
由(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-=,
可得sin θ-cos θ=±.
又∵θ∈,sin θb>c B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
答案:C
解析:∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,
c=tan 35°=,
又0b>a.
3.[2015·四川卷]已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是________.
答案:-1
解析:由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.
所以2sin αcos α-cos2α=
===-1.
课外拓展阅读
分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用
[典例] (1)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是( )
A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}
C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}
(2)在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),则C=________.
[思路分析] (1)角中有整数k,应对k是奇数还是偶数进行讨论;(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时,要对开方的结果进行讨论.
[解析] (1)当k为偶数时,A=+=2;
当k为奇数时,A=-=-2.
所以A的值构成的集合是{2,-2}.
(2)由已知,得
①2+②2,得2cos2A=1,即cos A=±,
当cos A=时,cos B=,
又A,B是三角形的内角,所以A=,B=,
所以C=π-(A+B)=.
当cos A=-时,cos B=-.
又A,B是三角形的内角,
所以A=,B=,不合题意.综上,C=.
[答案] (1)C (2)
温馨提示
(1)本题在三角函数的求值化简过程中,体现了分类讨论思想,即使讨论的某种情况不合题意,也不能省略讨论的步骤;(2)三角形中的三角函数问题,要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用.