【数学】2018届一轮复习人教A版第89讲四种算法案例学案 7页

‎【知识要点】‎ 算法案例有辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法和进位制.‎ 一、辗转相除法 辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：‎ ‎① 输入两个正整数和；‎ ‎② 求余数：计算除以，将所得余数存放到变量中；‎ ‎③更新被除数和余数：=，=；‎ ‎④判断余数是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第②步继续循环执行 如此循环，直到得到结果为止.‎ 例：利用辗转相除法求6105与2146的最大公约数 ‎ 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148‎ ‎ 333=148×2+37 148=37×4+0 最后的除数37是6105与2146的最大公约数.‎ 二、更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术.在《九章算术》中记 载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.‎ ‎ 解题步骤：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止,则这个相等的数就是所求的最大公约数.‎ ‎ 例：用更相减损术求98与63的最大公约数 ‎ 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7‎ ‎ 所以98和63的最大公约数是7.‎ ‎ 三、秦九韶算法 秦九韶算法适用一般的多项式 的求值问题.用秦九韶算法求一般多项式.当时的函数值，可把次多项式的求值问题转化成求个一次多项式的值的问题，即求 ‎ =+ =+ =+ …… =+‎ 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构 实现.‎ 用秦九韶算法求一般多项式.当时的函数值，需要次乘法运算，次加法运算.‎ 四、进位制 ‎1、概念 进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9进行记数.‎ 对于任何一个数，我们可以用不同的进位制 表示.比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的.‎ 一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制可以表示为：‎ ‎，‎ 而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注 表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.‎ ‎2、进位制间的转换 ‎（1）非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可： :学 ]‎ ‎（2）把十进制数转换为进制数，一般利用 “除取余法”.‎ 例：把89化为二进制数.‎ 所以 注意：利用除取余法解答时，最后的余数是从下往上写，不要从上往下写.‎ ‎（3）非十进制之间的转换，先把它转换成十进制，再把十进制转换成其他进制. 学 ‎ ‎【方法讲评】‎ 算法案例一 辗转相除法 解题步骤 ‎1、 输入两个正整数和；2、求余数：计算除以，将所得余数存放到变量中；3、更新被除数和余数：=，=；4、判断余数是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第②步继续循环执行 如此循环，直到得到结果为止.‎ ‎【例1】数的最大公约数是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【点评】求三个数的最大公约数，可以先求其中两个数的最大公约数，再求另外两个数的最大公约数，再求这两个最大公约数的最大公约数.‎ ‎【反馈检测1】三个数390, 455, 546的最大公约数是 （ ）‎ A.65 B‎.91 ‎‎ C.26 D.13‎ 算法案例二 更相减损术 解题步骤 以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止,则这个相等的数就是所求的最大公约数.‎ ‎【例2】根据我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．求得144，28的最大公约数为 （ ） ‎ A．4 B．‎2 ‎‎ C．0 D．14‎ ‎【解析】 ‎ ‎，所以最大公约数是4.‎ ‎【点评】本题就是利用更相减损术求的最大公约数，也可以利用辗转相除法求解.‎ ‎【反馈检测2】和的最大公约数是（ ）‎ A．3 B．‎9 C．17 D．51‎ 算法案例三 秦九韶算法 解题步骤 把次多项式的求值问题转化成求个一次多项式的值的问题，即求 ‎ =+ =+ =+ …… =+‎ ‎【例3】已知，应用秦九韶算法计算当时的值为.‎ ‎【点评】利用秦九韶算法要经过次乘法和次加法.在利用秦九韶算法计算时，必须把缺的项补充起 ，缺的指数幂的项的系数为零即可，并按照降幂排列. ‎ ‎【反馈检测3】用秦九韶算法计算多项式当时的值时，的结果为. ‎ A． B． C． D． ‎ 算法案例四 进位制 解题步骤 ‎1、非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：；‎ ‎2、把十进制数转换为进制数，一般利用 “除取余法”.‎ ‎3、非十进制之间的转换，先把它转换成十进制，再把十进制转换成其他进制.‎ ‎【例4】将二进制数转化为四进制数，正确的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【点评】非十进制之间的转换，先把它转换成十进制，再把十进制转换成其他进制.‎ ‎【反馈检测4】若六进制数（为正整数）化为十进制数为,则 . ‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第89讲：‎ 四种算法案例参考答案 ‎【反馈检测1答案】13‎ ‎【反馈检测2答案】51‎ ‎【反馈检测2详细解析】由更相减损术知，所以最大公约数为．‎ ‎【反馈检测3答案】‎ ‎【反馈检测3详细解析】‎ ‎ ‎ 时， ； .故选.‎ ‎【反馈检测4答案】‎ ‎【反馈检测4详细解析】由题， ‎ ‎ ‎