【数学】2018届一轮复习人教A版第48讲简单几何体表面积和体积的求法学案 12页

‎【知识要点】‎ 一、扇形的面积 ‎（其中代表扇形的弧长，代表扇形的半径，代表扇形的圆心角的弧度数，代表扇形圆心角的度数）,.‎ 二、多面体的表面积就是把多面体表面的各个面的面积加起 .‎ 名称 侧面积()‎ 全面积()‎ 体 积()‎ 棱 柱 棱柱 直截面周长×‎ 直棱柱 棱 锥 棱锥 各侧面积之和 正棱锥 棱 台 棱台 各侧面面积之和 ‎(+)‎ 正棱台 表中表示面积，分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高，表示侧棱长.‎ 三、旋转体的面积和体积公式 旋转体的面积公式不能直接求，所以一般利用展开法求得. 全面积和表面积是同一个概念,指围成几何体的各面的面积之和.‎ 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 ‎‎ 表中分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径， 分别表示圆台 上、下底面半径，表示球的半径.‎ 四、与球有关的几个结论：‎ ‎1、与球的截面有关的问题，常用到公式 ‎2、长方体的外接球的直径 ‎3、求三角形的外接圆的半径常用正弦定理，求三角形的内切圆的半径常用公.‎ ‎4、平面几何里解与圆的弦有关的问题常解半半弦三角形，立体几何里解与球有关的弦的问题常解半半半圆心距三角形. ‎ ‎5、解答与球有关的问题，一般先要找到球心，再解三角形.‎ 五、求几何体的面积和体积的方法 方法一：对于规则的几何体一般用公式法.方法二：对于非规则的几何体一般用割补法.‎ 方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 公式法 使用情景 几何体是规则的几何体 解题步骤 先求出几何体表面积和体积公式中的基本量，再代入几何体的表面积和体积公式.‎ ‎【例1】已知中，，将沿折起，使 变到，使平面平面．‎ ‎（1）试在线段上确定一点，使平面；‎ ‎（2）试求三棱锥的外接球的半径与三棱锥的表面积．‎ ‎【解析】‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ 设三棱锥的外接球半径为，可知，，‎ ‎∴． 所以三棱锥的表面积为 ‎【点评】(1) 求三棱锥的外接球半径时，是把三棱锥放到长方体中得到 的，这种技巧是求几何体外接球常用的一种方法，我们称之为 ‎“模型法”（2）求几何体的表面积时，首先要弄清它的表面是由哪几个部分组成的？再要弄清每一部分是什么几何图形，最后计算每一个图形的面积.否则会把简单的问题复杂化或出现错误.本题的三棱锥的的表面是由四个三角形组成，且每一个三角形都是直角三角形(需要证明). 学 ‎ ‎【反馈检测1】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点分别为和中点.‎ ‎（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的表面积.‎ ‎【例2】已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，‎ ‎，, 则球的表面积为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【点评】本题要求外接球的半径，所以要先求截面圆的半径，所以要先利用余弦定理求再利用正弦定理求外接圆的半径.‎ ‎【反馈检测2】【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球 O的表面积为________．‎ ‎【例3】(2016新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，‎ ‎，，，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】由题意为直角三角形，，‎ ‎ ‎ ‎【点评】（1）本题就是求球的半径的最大值，需要先求内切圆的半径的最大值. 本题所求的内切圆的半径为2，，所以半径为2的球不可能放在该直三棱柱中，因为它太高，把棱柱上面“拱穿了”，所以球半径的最大值为. (2)如果本题求出的内切圆的半径为1，，此时棱柱内的球的半径应该为1，不能取，因为取时，球把棱柱的侧面“拱破了”.所以一定要把内切圆的半径和棱柱的高结合起 分析.‎ ‎【反馈检测3】如图，则图中的阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________．‎ 方法二 割补法（分割补形法）‎ 使用情景 几何体是不规则的几何体，或者直接求比较困难.‎ 解题步骤 先分割或补形，再求分割的各部分的面积和体积或求补形后的几何体的体积，最后求出所求的几何体的体积.‎ ‎【例4】如图，几何体中， 平面， 是正方形， 为直角梯形， ， ， 的腰长为的等腰直角三角形．‎ ‎（Ⅰ）求证： ；（Ⅱ）求几何体的体积.‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：因为是腰长为的等腰直角三角形，所以.‎ 因为平面，所以. 又，所以.‎ 又，所以平面.所以.‎ ‎【点评】求不规则的几何体的体积，常用割补法. 几何体是一个不规则的几何体，根据 图形可以分解为四棱锥和三棱锥，几何体的体积就迎刃而解了.‎ ‎【反馈检测4】如图所示的几何体为一简单组合体，在底面中，，‎ ‎，，平面，，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；（2）求该组合体的体积.‎ 方法三 转换法 使用情景 一般是三棱锥.‎ 解题步骤 先变换三棱锥的顶点，再求几何体的体积.‎ ‎【例5】如图所示，在正方体中， 分别为棱， 的中点，且正方体的棱长为.‎ ‎(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积.‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎【点评】（1）要直接求三棱锥的体积，底面积还比较好求，但是高比较难求，所以要变通.如果换成,三棱锥的高也不是很方便求. (2) 因为，所以平面平面，所以到平面的距离等于到平面的距离.所以利用“同底等高的两个锥体的体积相等”，得到，但是此时三棱锥的高也不容易求，所以还要第二次变换，，这时三棱锥的体积就容易求了. （3）利用三棱锥的“变顶点法”结合“同底等高的两个锥体的体积相等”是求解体积问题的有效方法之一. 变换顶点，可以直接在三棱锥的四个顶点内部变换，也可以利用平行关系再变换成其它顶点. 学 ‎ ‎【例6】如图，在底面为梯形的四棱锥中，已知，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设为的中点，连接，‎ ‎ 又平面，且，‎ 平面，又平面 ‎ ‎（Ⅱ）连接，在中，，为的中点，‎ ‎【点评】(1)求三棱锥的体积，如果把作底面，则点到底面的高不易求得，比较复杂，所以这时我们要寻找简单高效的方法. 如果把作底面，求点到底面的距离就方便多了，因为可以证明就是点到底面的距离.把三棱锥的体积转化成三棱锥的体积是本题的关键. (2)本题就是利用了转化化归的思想，把复杂的问题化归成简单的问题. ‎ ‎【反馈检测5】如下图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，,.‎ ‎（1）证明：平面平面；（2）当正四棱锥的高为1时，求几何体的体积. ‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第48讲:‎ 简单几何体表面积和体积的求法参考答案 ‎【反馈检测1答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【反馈检测2答案】‎ ‎【反馈检测2详细解析】取的中点，连接.‎ 因为 所以 因为平面平面，所以平面.‎ 设, ‎ 所以，所以球的表面积为 ‎【反馈检测3答案】‎ ‎【反馈检测3详细解析】由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得 ‎，‎ ‎，‎ 所以旋转所形成几何体的体积．‎ ‎【反馈检测4答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【反馈检测5答案】（1）证明见解析；（2）.学 ‎ ‎【反馈检测5详细解析】（1）证明：直三棱柱中，平面，所以，又，所以平面，平面，所以平面平面.‎ ‎（2）由（1）平面，取中点，连接，则为正四棱锥的高，，过点向平面引垂线，垂足为，取中点，连接，‎ 因为，则四边形为正方形， 所以.所以.‎ 所以，几何体的体积为. ‎