【数学】2018届一轮复习人教A版集合的概念与运算教案 6页

‎2018年高考数学（理）一轮复习讲义：集合的概念与运算 一、考纲要求 了解集合及其表示，理解两个集合之间的关系（包含、包含于、真包含、真包含于，子集、真子集、全集），理解两个集合之间的运算（交集、并集、补集）。‎ 二、考题规律 集合的概念及其表示；子集、交集、并集、补集等是基础知识，常以填空题的形式考查，一般与函数的定义域、值域、不等式的解集、方程（组）的解集等一起考查，属简单题。也有与解析几何、线性规划、向量等知识相综合，以难题形式出现的。‎ 三、考向预测 预计今年仍会以具体的集合考查集合间的关系以及集合的运算，或以集合为载体考查集合的概念及其表示、不等式的解集、函数的定义域、值域等，多为简单题。‎ ‎【知识网络】‎ 集合的概念 具有共同特征的对象的全体构成一个集合，集合与元素的关系：‎ 元素特点：‎ 确定性、互异性、无序性 集合间的关系 子集 ‎（）‎ ‎；‎ ‎；‎ n个元素的集合的子集个数为 真子集 相等 集合的运算 交集 ‎，且 并集 ‎，或 补集 ‎，且 ‎【随堂练习】已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1，2}，则A∩∁UB＝________。‎ 思路分析：∵U＝{1，2，3，4}，∁U（A∪B）＝{4}，∴A∪B＝{1，2，3}。‎ 又∵B＝{1，2}，∴{3}⊆A⊆{1，2，3}，∁UB＝{3，4}，∴A∩∁UB＝{3}。‎ 答案：{3}‎ 点评：涉及集合的交、并、补运算，一般比较简单，但需要针对已知集合中元素的特点逐一运算。如果元素是整数，可采用列举法表示，进而确定目标集合的元素，这类问题用韦恩图表示较为简洁；如果集合中的元素是用不等式描述的，借助数轴探求集合间的关系更方便。‎ 例题1 已知全集，A＝{1，}，是否存在实数，使得且？若存在，求出，并写出，若不存在，请说明理由。 ‎ 思路分析：假设存在，根据且可以列出方程求解。‎ 答案：法一：∵，∴＝0，解得，‎ 当时，，不符合集合中元素的互异性；‎ 当时，，此时＝{0}；‎ 当时，，此时＝{0}；‎ ‎∴存在这样的实数x，是或，＝{0}。‎ 法二：由于集合S中共有三个元素，而A中有两个元素，根据题意，也可用如下方法求解：∵，∴，∴＝0且，∴或，‎ ‎∴＝{0}。‎ 例题2 已知集合，则实数的取值集合为________。‎ 思路分析：因为，所以，所以或。‎ 若，则，满足。‎ 若，解得或。若，则，满足。若，则不符合集合中元素的互异性，显然不成立。‎ 综上，或，所以实数的取值集合为{0，2}。 ‎ 答案：{0，2}‎ ‎【重要提示】‎ ‎1. 求集合的交、并、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件。‎ ‎2. 集合中的创新问题多数是在新定义下进行命题，可能是关于新定义的集合运算，也可能是关于新定义的集合确定。解决这类题的关键是正确理解题意，实现等价转化。‎ ‎【重要结论】‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 下列关系中正确的个数为（　　）‎ ‎①0∈{0}，②{0}，③，④＝　‎ A. 1个　　　 B. 2个 　　　 C. 3个　　　 D. 4个 ‎2. 已知 则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 设全集，则下图中阴影部分表示的集合为 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎*4. 满足条件M∪{1}＝{1，2，3}的集合M的个数是（ ）‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 ‎*5. 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋10，b>0}，当A∩B只有一个元素时，a，b的关系式是_________。‎ ‎**9. 定义集合运算：。设集合B＝{2，3}，则集合AB的所有元素之和为　　　　　　　　。‎ 三、解答题 ‎10. 已知集合A＝{x|mx2－2x＋3＝0，m∈R}。‎ ‎（1）若A是空集，求m的取值范围； ‎（2）若A中只有一个元素，求m的值； ‎（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围。‎ ‎*11. 已知集合。‎ ‎（1）若，求a的取值范围；‎ ‎（2）若，求a的取值范围。‎ ‎**12. 设A＝{（x，y）|y2－x－1＝0}，B＝{（x，y）|4x2＋2x－2y＋5＝0}，C＝{（x，y）|y＝kx＋b}，是否存在k、b∈N，使得（A∪B）∩C＝，证明此结论。‎ ‎1. B 解析：①②正确；③中集合是数0和1的集合，而集合则是点的集合；④中当时，与代表不同的点。‎ ‎2. A 解析：∵，，∴。‎ ‎3. C 解析：图中阴影部分表示的集合是，而，故。‎ ‎*4. C 解析：因为M{1，2，3}，因此M必为集合{1，2，3}的子集，同时含元素2与3，所以M＝{2，3}或M＝{1，2，3}。‎ ‎*5. D 解析：∵A∪B＝A，∴BA，又B≠，∴，解得2＜m≤4。‎ ‎*6. {1，2，5} 解析：∵A∩B＝{2}，∴log2（a＋3）＝2。‎ ‎∴a＝1.∴b＝2。‎ ‎∴A＝{5，2}，B＝{1，2}.∴A∪B＝{1，2，5}。‎ ‎**7. 6 解析：符合题意的集合是：，共6个。‎ ‎**8. ab＝ 解析：由A∩B只有1个交点知，圆x2＋y2＝1与直线＝1相切，则1＝，即ab＝。 ‎ ‎**9. 18 解析：由及知：‎ 当时，；当时，；当时，。‎ ‎，各元素之和为18。‎ ‎10. 解析：集合A是方程mx2－2x＋3＝0在实数范围内的解集。‎ 解：（1）∵A是空集，∴方程mx2－2x＋3＝0无解。‎ ‎∴Δ＝4－‎12m<0，即m>。‎ ‎（2）∵A中只有一个元素， ‎∴方程mx2－2x＋3＝0只有一个解。‎ 若m＝0，方程为－2x＋3＝0，只有一解x＝； 若m≠0，则Δ＝0，即4－‎12m＝0，m＝。‎ ‎∴m＝0或m＝。‎ ‎（3）“A中至多只有一个元素”包含“A中只有一个元素”和“A是空集”‎ 两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m＝0或m≥。‎ ‎*11. 解：（1）因为，所以。‎ ‎①当时，，解得；‎ ‎②当或时，，解得，此时；‎ ‎③当时，是方程的两个根，‎ 则有，解得。‎ 综上所述，实数的取值范围是1或。‎ ‎（2）因为，所以。因为，且集合中至多有两个元素，所以。‎ 由（1）知。‎ ‎**12. 解析：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N，进而可得值。‎ 证明：∵（A∪B）∩C＝，∴A∩C＝且B∩C＝。‎ ‎∵， ∴k2x2＋（2bk－1）x＋b2－1＝0‎ ‎∵A∩C＝，∴Δ1＝（2bk－1）2－4k2（b2－1）<0，∴4k2－4bk＋1<0，此不等式有解，‎ 其充要条件是16b2－16>0， 即b2>1 ①‎ ‎∵，∴4x2＋（2－2k）x＋（5－2b）＝0。‎ ‎∵B∩C＝，∴＝（1－k）2－4（5－2b）<0‎ ‎∴k2－2k＋8b－19<0， 从而8b<20，即b<2.5 ②‎ 由①②及b∈N，得b＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得 ‎∴k＝1，故存在自然数k＝1，b＝2，使得（A∪B）∩C＝。‎