2018届二轮复习（文）专题二第3讲　平面向量课件（全国通用） 34页

第 3 讲　平面向量 高考定位　 1. 以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档； 2. 以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档； 3. 向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现 . 真 题 感 悟 1. (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 设非零向量 a ， b 满足 | a ＋ b | ＝ | a － b | ，则 ( 　　 ) A. a ⊥ b B.| a | ＝ | b | C. a ∥ b D.| a |>| b | 解析　 由 | a ＋ b | ＝ | a － b | 两边平方，得 a 2 ＋ 2 a·b ＋ b 2 ＝ a 2 － 2 a·b ＋ b 2 ，即 a·b ＝ 0 ，故 a ⊥ b . 答案　 A 2. (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知向量 a ＝ ( － 1 ， 2) ， b ＝ ( m ， 1). 若向量 a ＋ b 与 a 垂直，则 m ＝ ________. 解析　 由题意得 a ＋ b ＝ ( m － 1 ， 3) ， 因为 a ＋ b 与 a 垂直，所以 ( a ＋ b )· a ＝ 0 ，所以－ ( m － 1) ＋ 2 × 3 ＝ 0 ，解得 m ＝ 7. 答案　 7 考 点 整 合 1. 平面向量的两个重要定理 (1) 向量共线定理：向量 a ( a ≠ 0 ) 与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ ，使 b ＝ λ a . (2) 平面向量基本定理：如果 e 1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 λ 1 ， λ 2 ，使 a ＝ λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 ，其中 e 1 ， e 2 是一组基底 . 2. 平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 (1) a ∥ b ⇔ a ＝ λ b ⇔ x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0. (2) a ⊥ b ⇔ a · b ＝ 0 ⇔ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ 0. 3. 平面向量的三个性质 4. 平面向量的三个锦囊 探究提高　 对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用 . 其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系 . 答案　 D 答案　 (1)C 　 (2)1 　 1 探究提高 　 1. 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 . 2. 进行向量的数量积的运算，首先要有 “ 基底 ” 意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量 . 其次注意向量夹角的大小，以及夹角 θ ＝ 0° ， 90° ， 180° 三种特殊情形 . 答案　 (1)B 　 (2)B 探究提高　 1. 破解平面向量与 “ 三角 ” 相交汇题的常用方法是 “ 化简转化法 ” ，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧 “ 化简 ” ；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为 “ 对应坐标乘积之间的关系 ” ；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化 . 2. 这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件 “ 脱去向量外衣 ” ，转化为三角函数的相关知识进行求解 . 1. 平面向量的数量积的运算有两种形式： (1) 依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化； (2) 利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化 . 2. 根据平行四边形法则，对于非零向量 a ， b ，当 | a ＋ b | ＝ | a － b | 时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件 | a ＋ b | ＝ | a － b | 等价于向量 a ， b 互相垂直 . 3. 两个向量夹角的范围是 [0 ， π] ，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 π 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线 .