2020年高二数学下学期期末随机变量及其分布知识点 13页

2020 年高二数学下学期期末随机变量及其分布知识点 1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为 离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个 值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量 X 的概率分布列. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1． 例 1．(2019·山东济宁检测)已知随机变量 X 的分布列为：P(X＝k)＝ 1 2k，k＝1,2，…，则 P(20，称 P(B|A)＝PAB PA 为在事件 A 发生条件下， 事件 B 发生的条件概率． (2)性质 ①0≤P(B|A)≤1； ②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． ③条件概率的求法 1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)＝PAB PA 求 P(B|A)． 2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nAB nA ． 例 3．(2019·山东济南模拟)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个 数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝( ) A．1 8 B．1 4 C．2 5 D．1 2 【答案】B [P(A)＝C2 3＋C2 2 C2 5 ＝2 5 ，P(B)＝C2 2 C2 5 ＝ 1 10 ，又 A ⊇ B，则 P(AB)＝P(B)＝ 1 10 ，所以 P(B|A)＝PAB PA ＝PB PA＝1 4 .] [变式探究 1] 若将题中的事件 B：“取到的 2 个数均为偶数”改为“取到的 2 个数均为 奇数”，则结果如何？ 解 P(A)＝C2 3＋C2 2 C2 5 ＝2 5 ，P(B)＝C2 3 C2 5 ＝ 3 10 ， 又 A ⊇ B，则 P(AB)＝P(B)＝ 3 10 ， 所以 P(B|A)＝PAB PA ＝PB PA＝3 4 ． [变式探究 2] 将题改为：从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数，事件 A 为“第一次取 到的是奇数”，事件 B 为“第二次取到的是奇数”，求 P(B|A)的值． 解 从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数，有 A 2 5种方法；其中第一次取到的是奇数，有 A1 3A 1 4种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有 A1 3A 1 2种方法．则 P(A)＝A1 3A1 4 A2 5 ＝ 3 5 ，P(AB)＝A1 3A1 2 A2 5 ＝ 3 10 ， ∴P(B|A)＝PAB PA ＝ 3 10 3 5 ＝1 2 ． 练习．(2019· 辽宁大连质检)1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱随机取出一球，则两次都 取到红球的概率是( ) A．11 27 B．11 24 C． 8 27 D． 9 24 【答案】C [设从 1 号箱取到红球为事件 A，从 2 号箱取到红球为事件 B．由题意，P(A) ＝ 4 2＋4 ＝2 3 ，P(B|A)＝3＋1 8＋1 ＝4 9 ，所以 P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝2 3 ×4 9 ＝ 8 27 ，所以两次都取到红 球的概率为 8 27 .] 5．事件的相互独立性 (1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独 立． (2)性质 ①若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B－，A－与 B，A－与 B－也都相互独立． 6. 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 例 4. (2019·云贵川三省联考)某地乒乓球队备战全运会的热身赛暨选拔赛中，种子选手 M 与 B1，B2，B3 三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M 获胜的概 率分别为3 4 ，2 3 ，1 2 ，且各场比赛互不影响． (1)若 M 至少获胜两场的概率大于 7 10 ，则 M 入选征战全运会的最终大名单，否则不予入 选，问 M 是否会入选最终的大名单？ (2)求 M 获胜场数 X 的分布列和数学期望． 解 (1)记 M 与 B1，B2，B3 进行对抗赛获胜的事件分别为 A，B，C，M 至少获胜两场的 事件为 D，则 P(A)＝3 4 ，P(B)＝2 3 ，P(C)＝1 2 ，由于事件 A，B，C 相互独立，所以 P(D)＝P(ABC)＋P(ABC－)＋P(A B－C)＋P(A－BC) ＝3 4 ×2 3 ×1 2 ＋3 4 ×2 3 × 1－1 2 ＋3 4 × 1－2 3 ×1 2 ＋ 1－3 4 ×2 3 ×1 2 ＝17 24 ，由于17 24 > 7 10 ，所以 M 会 入选最终的大名单． (2)M 获胜场数 X 的可能取值为 0,1,2,3，则 P(X＝0)＝P(A－ B－ C－) ＝ 1－3 4 × 1－2 3 × 1－1 2 ＝ 1 24 ； P(X＝1)＝P(A B－ C－)＋P(A－ B－C)＋P(A－BC－)＝3 4 × 1－2 3 × 1－1 2 ＋ 1－3 4 × 1－2 3 ×1 2 ＋ 1－3 4 ×2 3 × 1－1 2 ＝ 6 24 ＝1 4 ； P(X＝2)＝P(ABC－)＋P(A B－C)＋P(A－BC) ＝3 4 ×2 3 × 1－1 2 ＋3 4 × 1－2 3 ×1 2 ＋ 1－3 4 ×2 3 ×1 2 ＝11 24 ； P(X＝3)＝P(ABC)＝3 4 ×2 3 ×1 2 ＝ 6 24 ＝1 4 ，所以 M 获胜场数 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 24 1 4 11 24 1 4 数学期望为 E(X)＝0× 1 24 ＋1×1 4 ＋2×11 24 ＋3×1 4 ＝23 12 ． 练习. (2019·山东沂水模拟)甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人 能被选中的概率分别为2 5 ，3 4 ，1 3 ，且各自能否被选中互不影响． (1)求 3 人同时被选中的概率； (2)求 3 人中至少有 1 人被选中的概率． 解 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A，B，C，则 P(A)＝2 5 ，P(B)＝3 4 ，P(C)＝1 3 ． (1)3 人同时被选中的概率 P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝2 5 ×3 4 ×1 3 ＝ 1 10 ． (2)法一：3 人中有 2 人被选中的概率 P2＝P(ABC－∪A B－C∪A－BC) ＝2 5 ×3 4 × 1－1 3 ＋2 5 × 1－3 4 ×1 3 ＋ 1－2 5 ×3 4 ×1 3 ＝23 60 ． 3 人中只有 1 人被选中的概率 P3 ＝ P(A B－ C－ ∪ A－ B C－ ∪ A－ B－ C) ＝ 2 5 × 1－3 4 × 1－1 3 ＋ 1－2 5 × 3 4 × 1－1 3 ＋ 1－2 5 × 1－3 4 ×1 3 ＝ 5 12 ． 故 3 人中至少有 1 人被选中的概率为 P1＋P2＋P3＝ 1 10 ＋23 60 ＋ 5 12 ＝ 9 10 ． 法二：3 人都未被选中的概率为 P(A－ B－ C－)＝ 1－2 5 1－3 4 1－1 3 ＝ 1 10 ， 所以 3 人中至少有一人被选中的概率为 1－ 1 10 ＝ 9 10 . 7．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第 i 次试 验结果，则 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率 是 p，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率.在 n 次独立重 复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Ck npk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． 例 5．(全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每 次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 【答案】A [3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k＝2)＝C2 3×0.62×(1－0.6)，投中 3 次的概 率为 P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为 P(k＝2)＋P(k＝3)＝C2 3×0.62×(1－0.6)＋0.63＝ 0.648.] 练习. (2019·山东济南模拟)某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情 况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重 3 kg)测试，成绩在 6.9 米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成 5 组画出频率分布直方图的一部分(如图所 示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是 4． (1)求这次铅球测试成绩合格的人数； (2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用 样本估计总体，求ξ的分布列． 解 (1)由直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为 1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1． 因为成绩在[9.9,11.4)的频数是 4， 故抽取的总人数为 4 0.1 ＝40． 又成绩在 6.9 米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为 40－0.05×1.5×40 ＝37． (2)ξ的所有可能的取值为 0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽 取一名成绩合格的概率为37 40 ，成绩不合格的概率为 1－37 40 ＝ 3 40 ，可判断ξ～B 2， 3 40 ． P(ξ＝0)＝C0 2× 37 40 2＝1 369 1 600 ， P(ξ＝1)＝C1 2× 3 40 ×37 40 ＝111 800 ， P(ξ＝2)＝C2 2× 3 40 2＝ 9 1 600 ， 故所求分布列为 X 0 1 2 P 1 369 1 600 111 800 9 1 600 8．均值 (1)一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望．它反映了 离散型随机变量取值的平均水平． (2)若 Y＝aX＋b，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，且 E(aX＋b)＝aE(X)＋b． (3)①若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p； ②若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np． 9．方差 (1)设离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2 描述了 xi(i＝1,2，…，n)相对于均值 E(X)的偏离程度．而 D(X)＝错误!(xi－ E(X))2pi 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度.称 D(X) 为随机变量 X 的方差，并称其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)若 X 服从两点分布，则 D(X)＝p(1－p)． (4)若 X～B(n，p)，则 D(X)＝np(1－p)． 例 6．(2019·江西上饶月考)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，若 E(X)＝30，D(X) ＝20，则 p＝____________． 【答案】1 3 [由于 X～B(n，p)，且 E(X)＝30，D(X)＝20， 所以 np＝30， np1－p＝20， 解之得 p＝1 3 .] 练习. (2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用 户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的 概率都为 p(00； 当 p∈(0.1,1)时，f′(p)<0． 所以 f(p)的最大值点为 p0＝0.1． (2)由(1)知，p＝0.1． ①令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 Y～B(180,0.1)，X＝20×2 ＋25Y，即 X＝40＋25Y． 所以 EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490． ②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为 400 元． 由于 EX>400，故应该对余下的产品作检验． 10．正态分布 (1)正态曲线的特点 ①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称； ③曲线在 x＝μ处达到峰值 1 σ 2π ； ④曲线与 x 轴之间的面积为 1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 x 轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． (2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974． 例 7．(2019·山东泰安调研)已知随机变量 X～N(0，σ2)，若 P(|X|<2)＝a，则 P(X>2) 的值为( ) A．1－a 2 B．a 2 C．1－a D．1＋a 2 【答案】A [根据正态分布可知 P(|X|<2)＋2P(X>2)＝1，故 P(X>2)＝1－a 2 .] 练习．(2019·山东德州模拟)已知某公司生产的一种产品的质量 X(单位：克)服从正态分 布 N(100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取 10 000 件产品，其中质量在[98,104]内的产品 估计有( ) (附：若 X 服从 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5) A．4 093 件 B．4 772 件 C．6 827 件 D．8 186 件 【答案】 D [由题意可得，该正态分布的对称轴为 x＝100，且σ＝2，则质量在[96,104] 内的产品的概率为 P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98,102]内的产品的概率为 P(μ －σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98,104]内的产品的概率为 0.682 7＋ 0.954 5－0.682 7 2 ＝0.818 6，据此估计质量在[98,104]内的产品的数量为 10 000×0.818 6＝8 186(件)．]