【数学】2018届一轮复习人教A版第35讲数列性质的证明学案 7页

‎【知识要点】‎ 一、数列性质的证明一般有两种方法：‎ 方法一：利用等差数列等比数列的定义 证明.‎ 是等差数列 数列是等比数列 方法二：利用等差等比数列的中项公式 证明.‎ 数列是等比数列 ‎【方法讲评】‎ 方法一 定义法 使用情景 绝大部分情况下，都是用这种方法.‎ 解题步骤 把已知条件代到或中化简，证明化简结果是一个常数.‎ ‎【例1】已知数列满足 ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）设，问：数列中是否存在三项，使成等差数列，如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由.‎ 而，‎ ‎∴ 是以5为首项，3为公比的等比数列.‎ ‎【点评】利用定义证明数列等比，只要把已知条件代入化简，注意化简时，一般只变分子或分母，不要同时变化，一直化简到最后是一个非零常数为止.‎ ‎【反馈检测1】已知数列，，，‎ ‎（1）证明：数列是等差数列．‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求使成立的最小正整数．‎ ‎ ‎ ‎【反馈检测2】已知数列满足：，其中.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）令，求数列的最大项.‎ ‎ ‎ 方法二 中项公式法 使用情景 少数情况下用这种方法.‎ 解题步骤 把已知条件化简，找到相邻三项的关系.‎ ‎【例2】已知数列中，，前项和.‎ ①求数列的通项公式；‎ ②设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存 在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎（2） 由（1）知 ∴ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ‎ 则要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要 ‎ ∴ 存在实数，使得对一切正整数都成立，且的最小值为 ‎【点评】已知、和的关系，一般利用公式求数列的通项. 学. . ‎ ‎【反馈检测3】设数列的前项和为，已知，且 ‎，其中为常数.‎ ‎(Ⅰ)求与的值；(Ⅱ)证明：数列为等差数列；‎ ‎(Ⅲ)证明：不等式对任何正整数都成立.‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第35讲：‎ 数列性质的证明参考答案 ‎【反馈检测1答案】（1）证明见后面解析；（2）.‎ ‎【反馈检测2答案】（1）证明见后面解析；（2）数列的最大项为.‎ ‎【反馈检测2详细解析】（1）当时，，∴， ‎ 又∵， ‎ ‎∴，即，∴. ‎ 又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列； ‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴， ∴ ， ‎ 当时，，即， ‎ 当时，， ‎ 当时，，即， ‎ ‎∴数列的最大项为. ‎ ‎【反馈检测3答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)证明见后面解析；(Ⅲ)证明见解析.‎ ‎【反馈检测3详细解析】（Ⅰ）由已知，得，，.‎ 由，知 ‎ 即 ‎ 解得 ，.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，.‎ 要证，只要证.‎ 因为，，‎ 故只要证，‎ 即只要证.‎ 因为，‎ 所以命题得证. ‎