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- 2021-06-16 发布
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山西省太原市第五中学2020届高三第二次模拟考试(6月) 数学试卷(理)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案)
1.设集合A={x|x2-x-2<0},集合B={x|-1<x≤1},则A∩B=( )
A.[-1,1]B.(-1,1]C.(-1,2) D.[1,2)
2.已知复数z满足(1+i)z=2,则复数z的虚部为( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
3.已知a=(),b=2,c=9,则a,b,c的大小关系是( )
A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
4.若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5.函数的图象大致为( )
6.如图是一个边长为8的正方形苗圃图案,中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点,则该点取自黑色区域的概率为( )
A. B.
C.1- D.1-
7.向量a,b均为非零向量,若(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a,b的夹角为( )
A. B. C. D.
8. 已知一个几何体的三视图如图所示,则其体积为( )
A. B.
C. D.
9. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若am=4,Sm=0,Sm+2=14(m≥2,且m∈N*),则a2019的值为( )
A.2020 B.4032 C.5041 D.3019
10.已知抛物线C的方程为x2=4y,F为其焦点,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点,则|AP||BQ|的取值范围为( )
A.(12,+∞) B. [2,+∞) C. (2,+∞) D. [0,2)
11.已知函数fx=sinx, &x≤π4cosx, &x>π4 ,给出下列四个结论:
(1)f(x)不是周期函数
(2)f(x)是奇函数
(3)f(x)的图象关于直线x=π4对称
(4)f(x)在x=5π2处取得最大值
其中所有正确结论的编号是( )
A.(1)(3) B.(2)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(4)
12.已知三棱锥A-BCD中,AB=AC=BC=2,BD=CD=2,E是BC的中点,点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点,则该三棱锥外接球的表面积为( )
A.30π11 B.60π11 C.9π16 D.25π16
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、 填空题(每小题5分,共20分)
13. 曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=______.
14.记Sn为正项等比数列{an}的前n项和.若a2a4=1,S3=7,则S5=______.
15.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.
16. 已知双曲线的右顶点为,为坐标原点,以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点,.若,且,则双曲线的离心率为____.
1
1
2
正(主)视图
侧(左)视图
俯 视 图
2
1
1
2
正(主)视图
侧(左)视图
俯 视 图
2
三、解答题(共70分)
17.如图,在三棱锥中,侧面与侧面均为等边三角形,,为中点.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
18.在中, ,其中角的对边分别为;
(1)求的值;
(2)若,,求向量在方向上的投影.
19.《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;2020年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.选考科目成绩计入考生总成绩时,将至等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到、、、、、、、八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.
(1)求物理原始成绩在区间的人数;
(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记表示这3人中等级成绩在区间的人数,求的分布列和数学期望.
(附:若随机变量,则,,)
20.已知椭圆C:()的离心率为,且椭圆C的中心O关于直线的对称点落在直线上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P,M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点,连接交椭圆C于另一点E,求直线的斜率取值范围,并证明直线与x轴相交于定点.
21.已知函数,其中k∈R.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当k∈[1,2]时,求函数在[0,k]上的最大值的表达式,并求的最大值.
选考题:满分10分,请考生在22、23题中任选 一题作答,如果多选,则所做第一题计分.
22.在平面直角坐标系中,的方程为,的参数方程为,(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求和的极坐标方程;
(2)直线与交于点,与交于点(异于),求的最大值.
23.已知函数.
(1)解不等式;
(2)当,时,证明:
参考答案
1-12 BBACD CBDBB AB
13-16 -3 0.046 08 72
17. 略
18.解:(1)由已知得:,即
又,所以
(3)由正弦定理,有 ,所以,
由题知,则 ,故.
根据余弦定理,有 ,
解得 或 (负值舍去),
向量在方向上的投影为.
19.解:(Ⅰ)因为物理原始成绩,
所以
.
所以物理原始成绩在(47,86)的人数为(人).
(Ⅱ)由题意得,随机抽取1人,其成绩在区间[61,80]内的概率为.
所以随机抽取三人,则的所有可能取值为0,1,2,3,且,
所以 ,
,
,
.
所以的分布列为
0
1
2
3
所以数学期望.
20.解:(1)设点O关于直线的对称点为,则
,
解得,
依题意,得,
∴,,,
∴椭圆C的方程是;
(2)设直线的方程为,且,,
则,
由,消去y得,
,
解得,且,
∴直线的斜率取值范围是;
由韦达定理得:,
直线的方程为,
令,解得:
,
,
,
∴直线与x轴交于定点.
21.解:(1),
当时,令得,令得,故的单调递增区间为的单调递减区间为
当时,令得,或,
当时,当时或;当时;的单调递增区间为;减区间为.
当时,当时;当时;的单调递增区间为;
(2)当时,由(1)知,的单调递增区间为为
;减区间为.
令,,
故在上单调递减,故,
所以当[0,k]时函数单调减区间为,单调增区间为;
故函数
由于
对于,,即,当时等号成立,
故.
当时由(1)知;的单调递增区间为;所以当[0,k]时函数单调递增,故.
综上所述:函数在[0,k]上的最大值为,
,由于,
∴对恒成立
∴在上为增函数.
∴.
22. 解:(1)由得,即,
所以的极坐标方程为.
由得,即,
所以,即,
所以的极坐标方程为.
(2)由得,
由得,
所以,
所以当或时,的最大值为.
23.解:(1)由得,
当时,得,所以;
当时,得,所以;
当时,得,所以;
综上,此不等式的解集为:;
(2)由 ,
由绝对值不等式得,
又因为同号,所以,
由基本不等式得:,当且仅当时,等号成立,
所以.