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  • 2021-06-16 发布

【数学】山西省太原市第五中学2020届高三第二次模拟考试(6月)试卷(理)

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山西省太原市第五中学2020届高三第二次模拟考试(6月) 数学试卷(理)‎ 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案)‎ ‎1.设集合A={x|x2-x-2<0},集合B={x|-1<x≤1},则A∩B=(  )‎ A.[-1,1]B.(-1,1]C.(-1,2) D.[1,2)‎ ‎2.已知复数z满足(1+i)z=2,则复数z的虚部为(  )‎ A.1 B.-1 C.i D.-i ‎3.已知a=(),b=2,c=9,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b ‎4.若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为( )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎5.函数的图象大致为( )‎ ‎6.如图是一个边长为8的正方形苗圃图案,中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点,则该点取自黑色区域的概率为(  )‎ A. B. C.1- D.1- ‎7.向量a,b均为非零向量,若(a-2b)⊥a,(b-‎2a)⊥b,则a,b的夹角为(  )‎ A. B. C. D. ‎8. 已知一个几何体的三视图如图所示,则其体积为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎9. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若am=4,Sm=0,Sm+2=14(m≥2,且m∈N*),则a2019的值为(  )‎ A.2020 B.4032 C.5041 D.3019‎ ‎10.已知抛物线C的方程为x‎2‎‎=4y,F为其焦点,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点,则|AP||BQ|的取值范围为( )‎ A.‎(‎1‎‎2‎,+∞)‎ B.‎ [2,+∞)‎ C.‎ (2,+∞)‎ D.‎‎ [0,2)‎ ‎11.已知函数fx=‎sinx, &x≤‎π‎4‎cosx, &x>‎π‎4‎ ,给出下列四个结论:‎ ‎(1)f(x)不是周期函数 ‎ ‎(2)f(x)是奇函数 ‎(3)f(x)的图象关于直线x=‎π‎4‎对称 ‎ ‎(4)f(x)在x=‎‎5π‎2‎处取得最大值 其中所有正确结论的编号是( )‎ A.(1)(3) B.(2)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(4)‎ ‎12.已知三棱锥A-BCD中,AB=AC=BC=2,BD=CD=‎2‎,E是BC的中点,点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点,则该三棱锥外接球的表面积为( )‎ A.‎30π‎11‎ B.‎60π‎11‎ C.‎9π‎16‎ D.‎‎25π‎16‎ 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)‎ 二、 填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13. 曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=______.‎ ‎14.记Sn为正项等比数列{an}的前n项和.若a‎2a4=1,S3=7,则S5=______.‎ ‎15.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.‎ ‎16. 已知双曲线的右顶点为,为坐标原点,以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点,.若,且,则双曲线的离心率为____.‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ 正(主)视图 侧(左)视图 俯 视 图 ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ 正(主)视图 侧(左)视图 俯 视 图 ‎2‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17.如图,在三棱锥中,侧面与侧面均为等边三角形,,为中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值.‎ ‎18.在中, ,其中角的对边分别为;‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,,求向量在方向上的投影.‎ ‎19.《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;2020年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.选考科目成绩计入考生总成绩时,将至等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到、、、、、、、八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.‎ ‎(1)求物理原始成绩在区间的人数;‎ ‎(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记表示这3人中等级成绩在区间的人数,求的分布列和数学期望.‎ ‎(附:若随机变量,则,,)‎ ‎20.已知椭圆C:()的离心率为,且椭圆C的中心O关于直线的对称点落在直线上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设P,M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点,连接交椭圆C于另一点E,求直线的斜率取值范围,并证明直线与x轴相交于定点.‎ ‎21.已知函数,其中k∈R.‎ ‎(1)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)当k∈[1,2]时,求函数在[0,k]上的最大值的表达式,并求的最大值.‎ 选考题:满分10分,请考生在22、23题中任选 一题作答,如果多选,则所做第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,的方程为,的参数方程为,(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(1)求和的极坐标方程;‎ ‎(2)直线与交于点,与交于点(异于),求的最大值.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)当,时,证明:‎ 参考答案 ‎1-12 BBACD CBDBB AB ‎13-16 -3 0.046 08 ‎‎7‎‎2‎ ‎17. 略 ‎18.解:(1)由已知得:,即 ‎ 又,所以 ‎ ‎(3)由正弦定理,有 ,所以,‎ 由题知,则 ,故. ‎ 根据余弦定理,有 , ‎ 解得 或 (负值舍去), ‎ 向量在方向上的投影为.‎ ‎19.解:(Ⅰ)因为物理原始成绩,‎ 所以 ‎.‎ 所以物理原始成绩在(47,86)的人数为(人).‎ ‎(Ⅱ)由题意得,随机抽取1人,其成绩在区间[61,80]内的概率为.‎ 所以随机抽取三人,则的所有可能取值为0,1,2,3,且,‎ 所以 ,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ .‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以数学期望.‎ ‎20.解:(1)设点O关于直线的对称点为,则 ‎,‎ 解得,‎ 依题意,得,‎ ‎∴,,,‎ ‎∴椭圆C的方程是; ‎ ‎(2)设直线的方程为,且,,‎ 则,‎ 由,消去y得,‎ ‎,‎ 解得,且,‎ ‎∴直线的斜率取值范围是;‎ 由韦达定理得:,‎ 直线的方程为,‎ 令,解得:‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴直线与x轴交于定点.‎ ‎21.解:(1), ‎ 当时,令得,令得,故的单调递增区间为的单调递减区间为 当时,令得,或,‎ 当时,当时或;当时;的单调递增区间为;减区间为.‎ 当时,当时;当时;的单调递增区间为; ‎ ‎(2)当时,由(1)知,的单调递增区间为为 ‎;减区间为.‎ 令,,‎ 故在上单调递减,故, ‎ 所以当[0,k]时函数单调减区间为,单调增区间为;‎ 故函数 由于 对于,,即,当时等号成立, ‎ 故.‎ 当时由(1)知;的单调递增区间为;所以当[0,k]时函数单调递增,故.‎ 综上所述:函数在[0,k]上的最大值为,‎ ‎,由于,‎ ‎∴对恒成立 ‎∴在上为增函数.‎ ‎∴.‎ ‎22. 解:(1)由得,即,‎ 所以的极坐标方程为.‎ 由得,即,‎ 所以,即,‎ 所以的极坐标方程为.‎ ‎(2)由得,‎ 由得,‎ 所以,‎ 所以当或时,的最大值为.‎ ‎23.解:(1)由得,‎ 当时,得,所以;‎ 当时,得,所以;‎ 当时,得,所以;‎ 综上,此不等式的解集为:;‎ ‎(2)由 ,‎ 由绝对值不等式得,‎ 又因为同号,所以,‎ 由基本不等式得:,当且仅当时,等号成立,‎ 所以.‎