【数学】2018届一轮复习人教A版 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 学案 19页

专题20两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；‎ ‎2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；‎ ‎3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；‎ ‎4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．‎ ‎ ‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β．‎ cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β．‎ tan(α±β)＝．‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α．‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．‎ tan 2α＝．‎ ‎3．有关公式的逆用、变形等 ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β)．‎ ‎(2)cos2α＝，sin2α＝．‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，‎ ‎1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，‎ sin α±cos α＝sin.‎ ‎4．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).‎ 高频考点一、三角函数式的化简 ‎【例1】 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(　　)‎ A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β) D.cos α ‎(2)化简：(0<α<π)＝________.‎ ‎【方法规律】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.‎ ‎【变式探究】 (1)＋2的化简结果是________.‎ ‎(2)化简：＝________.‎ 解析　(1)原式＝＋2 ‎＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，‎ 因为π<4<π，所以cos 4<0，且sin 40，‎ 又α∈(0，π)，∴0<α<，‎ 又∵tan 2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 答案　(1)　(2)－　(3)－ ‎【方法规律】(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值.‎ ‎(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.‎ ‎【变式探究】 (1)4cos 50°－tan 40°＝(　　)‎ A. B. C. D.2－1‎ ‎(2)已知sin＋sin α＝－，－<α<0，则cos α的值为________.‎ ‎(3)已知cos α＝，cos(α－β)＝(0<β<α<)，则tan 2α＝________，β＝________.‎ 解析　(1)原式＝4sin 40°－ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝，故选C.‎ ‎(2)由sin＋sin α＝－，‎ 得sin α＋cos α＝－，sin＝－.‎ 又－<α<0，所以－<α＋<，‎ 于是cos＝.‎ 所以cos α＝cos＝.‎ ‎(3)∵cos α＝，0<α<，‎ ‎∴sin α＝，tan α＝4，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝－.‎ ‎∵0<β<α<，∴0<α－β<，‎ ‎∴sin(α－β)＝，‎ ‎∴cos β＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝，‎ ‎∴β＝.‎ 答案　(1)C　(2)　(3)－　 高频考点三　三角变换的简单应用 ‎【例3】 已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A，1＋sin A)是共线向量.‎ ‎(1)求角A；‎ ‎(2)求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.‎ 解　(1)因为p，q共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)‎ ‎＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，则sin2A＝.‎ 又A为锐角，所以sin A＝，则A＝.‎ ‎(2)y＝2sin2 B＋cos＝2sin2B＋cos ‎＝2sin2B＋cos＝1－cos 2B＋cos 2B＋‎ sin 2B＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin＋1.‎ 因为B∈，所以2B－∈，所以当2B－＝时，函数y取得最大值，此时B＝，ymax＝2.‎ ‎【方法规律】解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.‎ ‎【变式探究】 已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋cos 4x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；‎ ‎(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值.‎ 解　(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x ‎＝cos 2xsin 2x＋cos 4x ‎＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝.‎ 令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z，‎ 得＋≤x≤＋，k∈Z.‎ ‎∴f(x)的单调减区间为，k∈Z.‎ ‎1.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.‎ ‎3.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，得或，所以，故选A．‎ ‎【2015高考重庆，理9】若，则（　　）‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由已知，‎ ‎＝，选C.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ ‎)的最大值为________．‎ ‎【答案】1　‎ ‎【解析】 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin x，故其最大值为1.‎ ‎（2014·安徽卷）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求sin的值．‎ ‎【解析】 (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得cos B＝＝，所以由正弦定理可得a＝2b·.‎ 因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2 .‎ ‎(2)由余弦定理得cos A＝＝＝‎ ‎－.因为08 B．ab(a＋b)>16 ‎ C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】 因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由已知等式可得sin 2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋，即sin ‎2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋，‎ 所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋，‎ 所以2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋， ‎ 所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，所以sin Asin Bsin C＝.‎ 由1≤S≤2，得1≤bcsin A≤2.由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C ‎，所以1≤2R2·sin Asin Bsin C≤2，所以1≤≤2，即2≤R≤2　，所以bc(b＋c)>abc＝8R3sin Asin Bsin C＝R3≥8.‎ ‎（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：‎ f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差．‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于‎11℃‎，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎【解析】(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.‎ 故实验室这一天的最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎.‎ ‎（2014·辽宁卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：‎ ‎(1)a和c的值；‎ ‎(2)cos(B－C)的值．‎ ‎【解析】(1)由·＝2得c·a·cos B＝2，‎ 又cos B＝，所以ac＝6.‎ 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，‎ 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.‎ 解得或 因为a＞c，所以a＝3，c＝2.‎ ‎(2)在△ABC中，sin B＝＝＝.‎ 由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝.‎ 因为a＝b＞c，所以C为锐角，‎ 因此cos C＝＝＝.‎ 所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.‎ ‎（2014·全国卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.‎ ‎【解析】由题设和正弦定理得 ‎3sin Acos C＝2sin Ccos A，‎ 故3tan Acos C＝2sin C.‎ 因为tan A＝，所以cos C＝2sin C，‎ 所以tan C＝.‎ 所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]‎ ‎＝－tan(A＋C)‎ ‎＝ ‎＝－1，‎ 所以B＝135°.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ ‎【答案】C　‎ ‎（2014·四川卷）如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是‎46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)‎ 图13‎ ‎【答案】60　‎ ‎【解析】 过A点向地面作垂线，记垂足为D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝67°，AD＝‎46 m，∴AB＝＝＝50(m)，‎ 在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝67°－30°＝37°，AB＝‎50 m，‎ 由正弦定理得，BC＝＝60 (m)，‎ 故河流的宽度BC约为‎60 m.‎ ‎（2014·四川卷）已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．‎ ‎【解析】(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，‎ 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋≤x≤＋，k∈Z.‎ 所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，‎ 所以sin αcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，‎ 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．‎ 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，‎ 得α＝＋2kπ，k∈Z，‎ 此时，cos α－sin α＝－.‎ 当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.‎ 由α是第二象限角，得cos α－sinα<0，此时cos α－sin α＝－.‎ 综上所述，cos α－sin α＝－或－.‎ ‎（2014·天津卷）已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．‎ ‎ ‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，‎ 所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.‎ ‎1.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是(　　)‎ A.－1 B.0 C.1 D.2‎ 解析　原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°‎ ‎＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°‎ ‎＝1＋1＝2.‎ 答案　D ‎2.已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 解析　因为α是第二象限角，且tan α＝－，‎ 所以sin α＝，cos α＝－，‎ 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，故选C.‎ 答案　C ‎3.设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，则有(　　)‎ A.a＜c＜b B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 解析　由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°，‎ ‎∴c＜a＜b.‎ 答案　D ‎4.已知sin α＝且α为第二象限角，则tan＝(　　)‎ A.－ B.－ C.－ D.－ 解析　由题意得cos α＝－，则sin 2α＝－，‎ cos 2α＝2cos2α－1＝.‎ ‎∴tan 2α＝－，∴tan＝＝＝－.‎ 答案　D ‎5.cos·cos·cos＝(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　cos·cos·cos＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·‎ cos 40°·cos 80°＝－ ‎＝－ ‎＝－＝－＝－＝－.‎ 答案　A ‎6.设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(　　)‎ A.[－，1] B.[－1，]‎ C.[－1，1] D.[1，]‎ 解析　∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin(α－β)＝1，‎ ‎∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝，由⇒≤α≤π，‎ ‎∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝sin，∵≤α≤π，∴≤α＋≤π，∴－1≤sin≤1，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C.‎ 答案　C ‎7.已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.‎ ‎8.若cos＝，则sin的值是________.‎ 解析　sin＝sin＝‎ cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ 答案　－ ‎9.已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.‎ 解析　∵α∈，cos＝，‎ ‎∴sin＝－，‎ ‎∵sin＝－，∴sin＝，‎ 又∵β∈，∴cos＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos＝×－×＝－.‎ 答案　－ ‎10.已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝________.‎ 解析　sin＝，得sin θ－cos θ＝，①‎ θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.‎ 答案　－ ‎11.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(2，－1).‎ ‎(1)若a⊥b，求的值；‎ ‎(2)若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值.‎ 解　(1)由a⊥b可知，a·b＝2cos θ－sin θ＝0，‎ 所以sin θ＝2cos θ，‎ 所以＝＝.‎ ‎(2)由a－b＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得，‎ ‎|a－b|＝＝‎ ＝2，‎ 即1－2cos θ＋sin θ＝0.‎ 又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈，‎ 所以sin θ＝，cos θ＝.‎ 所以sin＝(sin θ＋cos θ)＝＝.‎ ‎12.设cos α＝－，tan β＝，π<α<，0<β<，求α－β的值.‎ 解　法一　由cos α＝－，π<α<，得sin α＝－，tan α＝2，又tan β＝，‎ 于是tan(α－β)＝＝＝1.‎ 又由π<α<，‎ ‎0<β<可得－<－β<0，<α－β<，‎ 因此，α－β＝.‎ 法二　由cos α＝－，π<α<得sin α＝－.‎ 由tan β＝，0<β<得sin β＝，cosβ＝.‎ 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝‎ －＝－.‎ 又由π<α<，0<β<可得－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝.‎ ‎13. 如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，‎ 设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.‎ ‎(1)求S关于θ的函数关系式.‎ ‎(2)求S的最大值及相应的θ角.‎ 解　(1)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边形QEDP为矩形.‎ 由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cos θ.在Rt△OEQ中，OE＝QE＝PD，MN ‎＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－sin θ，S＝MN·PD＝·sin θ＝sin θcos θ－·sin2θ，θ∈.‎