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  • 2021-06-16 发布

2019届二轮复习 三角函数的概念、三角恒等变换[小题提速练]学案(全国通用)

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第8练 三角函数的概念、三角恒等变换[小题提速练]‎ ‎[明晰考情] 1.命题角度:三角函数的概念和应用;利用三角恒等变换进行求值或化简.2.题目难度:单独考查概念和三角变换,难度为中低档;三角恒等变换和其他知识交汇命题,难度为中档.‎ 考点一 任意角的三角函数 要点重组 (1)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.‎ ‎(2)三角函数:角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0).‎ ‎(3)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.‎ ‎1.在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量,则点Q的坐标是(  )‎ A.(-7,-) B. (-7, )‎ C.(-4,-2) D.(-4,2)‎ 答案 A 解析  因为点O(0,0),P(6,8),所以=(6,8),‎ 设=(10cos θ,10sin θ),‎ 则cos θ=,sin θ=,‎ 因为向量绕点O按逆时针方向旋转后得到,‎ 设Q(x,y),则x=10cos ‎=10=-7,‎ y=10sin=10=-,‎ 所以点Q的坐标为,故选A.‎ ‎2.已知角α的终边经过点P(m,-3),且cos α=-,则m等于(  )‎ A.3 B.-3 C.-4 D.4‎ 答案 C 解析 由题意知, cos α==-,∴m<0,解得m=-4.‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=________.‎ 答案  解析 由角α与角β的终边关于y轴对称,‎ 可知α+β=π+2kπ(k∈Z),‎ 所以β=2kπ+π-α(k∈Z),‎ 所以sin β=sin α=.‎ ‎4.函数y=的定义域是__________________.‎ 答案 ,k∈Z 考点二 三角函数的求值与化简 要点重组 (1)同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α.‎ ‎(2)诱导公式:角±α(k∈Z)的三角函数口诀:‎ 奇变偶不变,符号看象限.‎ ‎(3)和差公式.‎ 方法技巧 (1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”;注意角的变形,看函数名称之间的关系;观察式子的结构特点.‎ ‎(2)公式的变形使用尤其是二倍角余弦的变形是高考的热点,sin2α=,cos2α=.‎ ‎5.若sin=,则sin的值为(  )‎ A. B.- C. D.- 答案 D 解析 ∵sin=,‎ ‎∴sin=cos ‎=cos=cos 2 ‎=1-2sin2 ‎=1-2×=-.‎ ‎6.若tan α=2tan ,则等于(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案 C 解析 cos=cos ‎=cos=sin, ‎ 所以原式=====3.‎ ‎7.若cos=,sin=,α∈,β∈,则sin(α+β)=________.‎ 答案  解析 ∵α∈,且cos>0,‎ ‎∴-<-α<0,∵β∈,‎ ‎∴<+β<,‎ 又cos=,sin=,‎ ‎∴sin=-,cos=,‎ ‎∴sin(α+β)=sin ‎=sincos-cossin ‎=×-×=.‎ ‎8.已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,0<β<<α<,则α+β=________.‎ 答案  解析 因为0<β<<α<,‎ 所以<2α<π,-<-β<0,‎ 所以<2α-β<π.‎ 又因为cos(2α-β)=-,‎ 所以sin(2α-β)=.‎ 因为0<β<<α<,‎ 所以-<-2β<0,‎ 所以-<α-2β<.‎ 又因为sin(α-2β)=,‎ 所以cos(α-2β)=.‎ 所以cos(α+β)‎ ‎=cos[(2α-β)-(α-2β)]‎ ‎=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)‎ ‎=-×+×=.‎ 又因为<α+β<,‎ 所以α+β=.‎ 考点三 三角恒等变换的应用 要点重组 辅助角公式:asin α+bcos α=·sin(α+φ),其中cos φ=,sin φ= .‎ ‎9.函数f(x)=(sin x+cos x)·(cos x-sin x)的最小正周期是(  )‎ A. B.π C. D.2π 答案 B 解析 ∵f(x)=2sin xcos x+(cos2x-sin2x)‎ ‎=sin 2x+cos 2x=2sin,∴T=π,故选B.‎ ‎10.(2018·全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|等于(  )‎ A. B. C. D.1‎ 答案 B 解析 由cos 2α=,得cos2α-sin2α=,‎ ‎∴=,又cos α≠0,∴=,‎ ‎∴tan α=±,即=±,∴|a-b|=.故选B.‎ ‎11.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=________.‎ 答案 - 解析 f(x)=sin x-2cos x ‎==sin(x-φ),‎ 其中sin φ=,cos φ=.‎ 当x-φ=2kπ+(k∈Z)时,函数f(x)取到最大值,‎ 即当θ=2kπ++φ(k∈Z)时,函数f(x)取到最大值,‎ 所以cos θ=-sin φ=-.‎ ‎12.函数f(x)=sin x-cos的值域为________.‎ 答案 [-,]‎ 解析 f(x)=sin x-cos ‎=sin x- ‎=sin x-cos x ‎= ‎=sin∈[-,].‎ ‎1.若sin=,A∈,则sin A的值为(  )‎ A. B. C.或 D. 答案 B 解析 ∵ A∈,∴A+∈,‎ ‎∴cos<0,‎ ‎∴cos=-=-,‎ ‎∴sin A=sin ‎=sincos -cossin ‎=×-×=.‎ ‎2.若tan=,且-<α<0,则=________.‎ 答案 - 解析 由tan==,得tan α=-.‎ 又-<α<0,所以sin α=-.‎ 故==2sin α=-.‎ ‎3.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则tan θ的值为________.‎ 答案 - 解析 ∵sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),‎ ‎∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,‎ ‎∴sin θcos θ=-,‎ ‎∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=.‎ 又θ∈(0,π),∴sin θ>0,cos θ<0,‎ ‎∴sin θ-cos θ=,‎ ‎∴sin θ=,cos θ=-,‎ ‎∴tan θ=-.‎ 解题秘籍 (1)使用平方关系求函数值,要注意角所在的象限和三角函数值的符号.‎ ‎(2)利用三角函数值求角要解决两个要素:①角的某一个三角函数值;②角的范围(尽量缩小).‎ ‎1.已知点A的坐标为(4,1),将OA绕坐标原点O按逆时针方向旋转至OB,则点B 的纵坐标为(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 由题意知|OA|=|OB|=7,设射线OA与x轴正方向所成的角为α,显然sin α=,cos α=,‎ 故sin=sin αcos +cos α sin =×+×=,‎ 故点B的纵坐标为|OB|sin=.‎ ‎2.已知P(m,2)为角α的终边上一点,且sin α=-,则tan α的值为(  )‎ A. B.- C.1 D.-1‎ 答案 D 解析 由题意知,=-,‎ 所以故m=-2,所以tan α=-1.‎ ‎3.(2018·全国Ⅲ)若sin α=,则cos 2α等于(  )‎ A. B. C.- D.- 答案 B 解析 ∵sin α=,∴cos 2α=1-2sin2α=1-2×2=.‎ ‎4.等于(  )‎ A.- B.- C. D. 答案 C 解析 由题意得 ‎= ‎==sin 30°=.‎ ‎5.已知函数f(x)=cos2x-sin2x,下列说法错误的是(  )‎ A.f(x)的最小正周期为π B.直线x=是f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)在上单调递增 D.|f(x)|的值域是[0,1]‎ 答案 C 解析 f(x)=cos 2x,f(x)在上不单调,‎ ‎∴选项C中的结论错误.‎ ‎6.记a=sin(cos 2 010°),b=sin(sin 2 010°),c=cos(sin 2 010°),d=cos(cos 2 010°),则a,b,c,d中最大的是(  )‎ A.a B.b C.c D.d 答案 C 解析 注意到2 010°=360°×5+180°+30°,因此 sin 2 010°=-sin 30°=-,cos 2 010°=-cos 30°=-,因为-<-<0,-<-<0,0<<<,所以cos >cos >0,所以a=sin=-sin <0,b=sin=-sin <0,c=cos=cos >d=cos=cos >0,因此c最大.‎ ‎7.设α∈,β∈,且tan α=,则(  )‎ A.3α-β= B.2α-β= C.3α+β= D.2α+β= 答案 B 解析 由tan α=,得=,即sin αcos β=cos α+cos αsin β,‎ ‎∴sin(α-β)=cos α=sin.‎ ‎∵α∈,β∈,‎ ‎∴α-β∈,-α∈,‎ ‎∴由sin(α-β)=sin,得α-β=-α,∴2α-β=.‎ ‎8.定义2×2矩阵=a1a4-a2a3,若f(x)=,则(  )‎ A.f(x)图象关于(π,0)中心对称 B.f(x)图象关于直线x=对称 C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)是周期为π的奇函数 答案 C 解析 由题中所给定义可知,f(x)=cos2x-sin2x-‎ cos=cos 2x+sin 2x=2cos.‎ 令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,‎ 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,‎ 所以f(x)在区间上单调递增.‎ ‎9.函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则tan θ=________.‎ 答案 - 解析 因为函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,所以f(0)=cos θ+sin θ=0,得tan θ=-.‎ ‎10.已知sin=,则cos=________.‎ 答案 - 解析 因为sin=sin ‎=cos=cos=,‎ 所以cos=2cos2-1=2×2-1=-.‎ ‎11.(2018·全国Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________.‎ 答案 - 解析 ∵sin α+cos β=1,①‎ cos α+sin β=0,②‎ ‎∴①2+②2得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1,‎ ‎∴sin αcos β+cos αsin β=-,‎ ‎∴sin(α+β)=-.‎ ‎12.若α∈,则的最大值为______________________________.‎ 答案  解析 ∵α∈,‎ ‎∴==,且tan α>0,‎ ‎∴=≤=,‎ 当且仅当tan α=,即tan α=2(舍负)时,等号成立.‎ 故的最大值为.‎

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