- 474.85 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第8练 三角函数的概念、三角恒等变换[小题提速练]
[明晰考情] 1.命题角度:三角函数的概念和应用;利用三角恒等变换进行求值或化简.2.题目难度:单独考查概念和三角变换,难度为中低档;三角恒等变换和其他知识交汇命题,难度为中档.
考点一 任意角的三角函数
要点重组 (1)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
(2)三角函数:角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0).
(3)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
1.在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量,则点Q的坐标是( )
A.(-7,-) B. (-7, )
C.(-4,-2) D.(-4,2)
答案 A
解析 因为点O(0,0),P(6,8),所以=(6,8),
设=(10cos θ,10sin θ),
则cos θ=,sin θ=,
因为向量绕点O按逆时针方向旋转后得到,
设Q(x,y),则x=10cos
=10=-7,
y=10sin=10=-,
所以点Q的坐标为,故选A.
2.已知角α的终边经过点P(m,-3),且cos α=-,则m等于( )
A.3 B.-3 C.-4 D.4
答案 C
解析 由题意知, cos α==-,∴m<0,解得m=-4.
3.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=________.
答案
解析 由角α与角β的终边关于y轴对称,
可知α+β=π+2kπ(k∈Z),
所以β=2kπ+π-α(k∈Z),
所以sin β=sin α=.
4.函数y=的定义域是__________________.
答案 ,k∈Z
考点二 三角函数的求值与化简
要点重组 (1)同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α.
(2)诱导公式:角±α(k∈Z)的三角函数口诀:
奇变偶不变,符号看象限.
(3)和差公式.
方法技巧 (1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”;注意角的变形,看函数名称之间的关系;观察式子的结构特点.
(2)公式的变形使用尤其是二倍角余弦的变形是高考的热点,sin2α=,cos2α=.
5.若sin=,则sin的值为( )
A. B.-
C. D.-
答案 D
解析 ∵sin=,
∴sin=cos
=cos=cos 2
=1-2sin2
=1-2×=-.
6.若tan α=2tan ,则等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 cos=cos
=cos=sin,
所以原式=====3.
7.若cos=,sin=,α∈,β∈,则sin(α+β)=________.
答案
解析 ∵α∈,且cos>0,
∴-<-α<0,∵β∈,
∴<+β<,
又cos=,sin=,
∴sin=-,cos=,
∴sin(α+β)=sin
=sincos-cossin
=×-×=.
8.已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,0<β<<α<,则α+β=________.
答案
解析 因为0<β<<α<,
所以<2α<π,-<-β<0,
所以<2α-β<π.
又因为cos(2α-β)=-,
所以sin(2α-β)=.
因为0<β<<α<,
所以-<-2β<0,
所以-<α-2β<.
又因为sin(α-2β)=,
所以cos(α-2β)=.
所以cos(α+β)
=cos[(2α-β)-(α-2β)]
=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)
=-×+×=.
又因为<α+β<,
所以α+β=.
考点三 三角恒等变换的应用
要点重组 辅助角公式:asin α+bcos α=·sin(α+φ),其中cos φ=,sin φ= .
9.函数f(x)=(sin x+cos x)·(cos x-sin x)的最小正周期是( )
A. B.π
C. D.2π
答案 B
解析 ∵f(x)=2sin xcos x+(cos2x-sin2x)
=sin 2x+cos 2x=2sin,∴T=π,故选B.
10.(2018·全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|等于( )
A. B. C. D.1
答案 B
解析 由cos 2α=,得cos2α-sin2α=,
∴=,又cos α≠0,∴=,
∴tan α=±,即=±,∴|a-b|=.故选B.
11.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=________.
答案 -
解析 f(x)=sin x-2cos x
==sin(x-φ),
其中sin φ=,cos φ=.
当x-φ=2kπ+(k∈Z)时,函数f(x)取到最大值,
即当θ=2kπ++φ(k∈Z)时,函数f(x)取到最大值,
所以cos θ=-sin φ=-.
12.函数f(x)=sin x-cos的值域为________.
答案 [-,]
解析 f(x)=sin x-cos
=sin x-
=sin x-cos x
=
=sin∈[-,].
1.若sin=,A∈,则sin A的值为( )
A. B.
C.或 D.
答案 B
解析 ∵ A∈,∴A+∈,
∴cos<0,
∴cos=-=-,
∴sin A=sin
=sincos -cossin
=×-×=.
2.若tan=,且-<α<0,则=________.
答案 -
解析 由tan==,得tan α=-.
又-<α<0,所以sin α=-.
故==2sin α=-.
3.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则tan θ的值为________.
答案 -
解析 ∵sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),
∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,
∴sin θcos θ=-,
∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=.
又θ∈(0,π),∴sin θ>0,cos θ<0,
∴sin θ-cos θ=,
∴sin θ=,cos θ=-,
∴tan θ=-.
解题秘籍 (1)使用平方关系求函数值,要注意角所在的象限和三角函数值的符号.
(2)利用三角函数值求角要解决两个要素:①角的某一个三角函数值;②角的范围(尽量缩小).
1.已知点A的坐标为(4,1),将OA绕坐标原点O按逆时针方向旋转至OB,则点B
的纵坐标为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意知|OA|=|OB|=7,设射线OA与x轴正方向所成的角为α,显然sin α=,cos α=,
故sin=sin αcos +cos α sin =×+×=,
故点B的纵坐标为|OB|sin=.
2.已知P(m,2)为角α的终边上一点,且sin α=-,则tan α的值为( )
A. B.-
C.1 D.-1
答案 D
解析 由题意知,=-,
所以故m=-2,所以tan α=-1.
3.(2018·全国Ⅲ)若sin α=,则cos 2α等于( )
A. B. C.- D.-
答案 B
解析 ∵sin α=,∴cos 2α=1-2sin2α=1-2×2=.
4.等于( )
A.- B.- C. D.
答案 C
解析 由题意得
=
==sin 30°=.
5.已知函数f(x)=cos2x-sin2x,下列说法错误的是( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.直线x=是f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在上单调递增
D.|f(x)|的值域是[0,1]
答案 C
解析 f(x)=cos 2x,f(x)在上不单调,
∴选项C中的结论错误.
6.记a=sin(cos 2 010°),b=sin(sin 2 010°),c=cos(sin 2 010°),d=cos(cos 2 010°),则a,b,c,d中最大的是( )
A.a B.b C.c D.d
答案 C
解析 注意到2 010°=360°×5+180°+30°,因此
sin 2 010°=-sin 30°=-,cos 2 010°=-cos 30°=-,因为-<-<0,-<-<0,0<<<,所以cos >cos >0,所以a=sin=-sin <0,b=sin=-sin <0,c=cos=cos >d=cos=cos >0,因此c最大.
7.设α∈,β∈,且tan α=,则( )
A.3α-β= B.2α-β=
C.3α+β= D.2α+β=
答案 B
解析 由tan α=,得=,即sin αcos β=cos α+cos αsin β,
∴sin(α-β)=cos α=sin.
∵α∈,β∈,
∴α-β∈,-α∈,
∴由sin(α-β)=sin,得α-β=-α,∴2α-β=.
8.定义2×2矩阵=a1a4-a2a3,若f(x)=,则( )
A.f(x)图象关于(π,0)中心对称
B.f(x)图象关于直线x=对称
C.f(x)在区间上单调递增
D.f(x)是周期为π的奇函数
答案 C
解析 由题中所给定义可知,f(x)=cos2x-sin2x-
cos=cos 2x+sin 2x=2cos.
令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)在区间上单调递增.
9.函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则tan θ=________.
答案 -
解析 因为函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,所以f(0)=cos θ+sin θ=0,得tan θ=-.
10.已知sin=,则cos=________.
答案 -
解析 因为sin=sin
=cos=cos=,
所以cos=2cos2-1=2×2-1=-.
11.(2018·全国Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________.
答案 -
解析 ∵sin α+cos β=1,①
cos α+sin β=0,②
∴①2+②2得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1,
∴sin αcos β+cos αsin β=-,
∴sin(α+β)=-.
12.若α∈,则的最大值为______________________________.
答案
解析 ∵α∈,
∴==,且tan α>0,
∴=≤=,
当且仅当tan α=,即tan α=2(舍负)时,等号成立.
故的最大值为.