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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版高考专题突破二三角函数与解三角形问题学案

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高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题 题型一 三角函数的图象和性质 例1 (2016·山东)设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.‎ 解 (1)由f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2‎ ‎=2sin2x-(1-2sin xcos x)‎ ‎=(1-cos 2x)+sin 2x-1‎ ‎=sin 2x-cos 2x+-1‎ ‎=2sin+-1.‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),‎ 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).‎ ‎(2)由(1)知f(x)=2sin+-1,‎ 把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),‎ 得到y=2sin+-1的图象,‎ 再把得到的图象向左平移个单位长度,‎ 得到y=2sin x+-1的图象,‎ 即g(x)=2sin x+-1.‎ 所以g=2sin +-1=.‎ 思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点,通常先将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后将t=ωx+φ视为一个整体,结合y=sin t的图象求解.‎ 跟踪训练1 已知函数f(x)=5sin xcos x-5cos2x+(其中x∈R),求:‎ ‎(1)函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)函数f(x)的单调区间;‎ ‎(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.‎ 解 (1)因为f(x)=sin 2x-(1+cos 2x)+ ‎=5=5sin,‎ 所以函数的最小正周期T==π.‎ ‎(2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),‎ 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ 由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),‎ 得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).‎ ‎(3)由2x-=kπ+(k∈Z),‎ 得x=+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈Z).‎ 由2x-=kπ(k∈Z),‎ 得x=+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z).‎ 题型二 解三角形 例2 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.‎ ‎(1)求角A和边长c;‎ ‎(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.‎ 解 (1)∵sin A+cos A=0,‎ ‎∴tan A=-,‎ 又00,故A=2.‎ 周期T=×=×=π,‎ 又T==π,∴ω=2.‎ ‎∴f(x)=2sin(2x+φ),‎ 由题干图象知f=2sin=2,‎ ‎∴+φ=+2kπ,k∈Z,φ=-+2kπ,k∈Z,‎ 又|φ|<,∴φ=-,‎ 故f(x)=2sin.‎ ‎(2)∵x∈,∴2x-∈,‎ ‎∴sin∈,2sin∈.‎ 当2x-=,‎ 即x=时,f(x)取得最大值,‎ f(x)max=f=2.‎ 当2x-=-,‎ 即x=0时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(0)=-1.‎ ‎2.设函数f(x)=2tan ·cos2-2cos2+1.‎ ‎(1)求f(x)的定义域及最小正周期.‎ ‎(2)求f(x)在[-π,0]上的最值.‎ 解 (1)f(x)=2sin cos -cos ‎=sin -cos=sin -cos +sin ‎=sin.‎ 由≠+kπ(k∈Z),‎ 得f(x)的定义域为{x|x≠2π+4kπ(k∈Z)},‎ 故f(x)的最小正周期为T==4π.‎ ‎(2)∵-π≤x≤0,∴-≤-≤-.‎ ‎∴当-∈,‎ 即x∈时,f(x)单调递减,‎ 当-∈,‎ 即x∈时,f(x)单调递增,‎ ‎∴f(x)min=f=-,‎ 又f(0)=-,f(-π)=-,‎ ‎∴f(x)max=f(0)=-.‎ ‎3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象过点P,图象上与P点最近的一个最高点坐标为.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)若f(x)<3,求x的取值范围.‎ 解 (1)由题意得A=6,=-=,∴T=π,‎ ‎∴=π,∴ω=2.∴f(x)=6sin(2x+φ),‎ 又f(x)过点,∴6sin=6,‎ ‎∴2×+φ=2kπ+,k∈Z,‎ ‎∴φ=2kπ-,k∈Z.‎ 又|φ|<,∴φ=-,‎ ‎∴f(x)=6sin.‎ ‎(2)6sin<3,即sin<,‎ 在区间中,要使sin<,‎ 则-<2x-<,‎ 所以-+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z,‎ 解得kπ-0),‎ 则在△ABD中,AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B,‎ 即=25x2+×49x2-2×5x××7x×,‎ 解得x=1(负值舍去),‎ 所以a=7,c=5,‎ 故S△ABC=acsin B=10.‎ ‎6.已知函数f(x)=cos 2ωx+sin 2ωx+t(ω>0),若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为,图象过点(0,0).‎ ‎(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间;‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,若函数F(x)=g(x)+k在区间上有且只有一个零点,求实数k的取值范围.‎ 解 (1)f(x)=cos 2ωx+sin 2ωx+t ‎=2sin+t,‎ f(x)的最小正周期为=,∴ω=2,‎ ‎∵f(x)的图象过点(0,0),‎ ‎∴2sin +t=0,‎ ‎∴t=-1,即f(x)=2sin-1.‎ 令2kπ-≤4x+≤2kπ+,k∈Z,‎ 求得-≤x≤+,k∈Z,‎ 故f(x)的单调增区间为,k∈Z.‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得 y=2sin-1=2sin-1的图象,‎ 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin-1的图象.‎ ‎∵x∈,‎ ‎∴2x-∈,‎ ‎∴sin∈,‎ 故g(x)=2sin-1在区间上的值域为.‎ 若函数F(x)=g(x)+k在区间上有且只有一个零点,‎ 由题意可知,函数g(x)=2sin-1的图象和直线y=-k有且只有一个交点,‎ 根据图象(图略)可知,k=-1或1-