【数学】重庆市沙坪坝区第八中学2019-2020学年高二上学期12月月考试题（解析版） 14页

www.ks5u.com 重庆市沙坪坝区第八中学2019-2020学年 高二上学期12月月考试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.直线过点且与直线平行，则直线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意设直线的方程为,将点代入方程,求得,故选A.‎ ‎2.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】命题“，”为全称命题，故其否定为：，‎ 故选：D.‎ ‎3.对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与（ ）‎ A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 异面 ‎【答案】C ‎【解析】对于任意的直线l与平面α，分两种情况 ‎①l在平面α内,l与m共面直线,则存在直线m⊥l或m∥l；‎ ‎②l不在平面α内，且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l；  若l于α不垂直，‎ 则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直；若l∥α，则存在直线m⊥l.‎ 故选C.‎ ‎4.已知圆为坐标原点，则以为直径的圆的方程( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得OC中点坐标为（3,4），圆的半径为，‎ 所以圆的方程为.‎ 故选C ‎5.“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】解不等式得 当时，得不到，故充分性不成立；‎ 当时，可以得到，故必要性成立；‎ 故“”是“”的必要而不充分条件 故选：B.‎ ‎6.已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. 200 C. D. 240‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，‎ 底面面积为，故体积为：.‎ 故选B.‎ ‎7.已知两点，且是与的等差中项.则动点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】、，，‎ 是与的等差中项，‎ ‎，即，‎ 点在以，为焦点的椭圆上，‎ ‎，，，，‎ 椭圆的方程是：．‎ 故选：B．‎ ‎8.古希腊数学家阿基米德的墓碑上，刻着一个“圆柱容球”的几何图形，就是圆柱容器里放了一个球，这个球顶天立地，四周碰边（如图）.若记这个球的表面积和体积分别为和，圆柱的表面积和体积分别为和，则（ ）‎ ‎ ‎ A. B. ‎ C. D. 与的大小关系不确定 ‎【答案】B ‎【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，‎ ‎，．‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎，，，即 故选：B．‎ ‎9.已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意，故，，‎ 两边除以得，解得.‎ ‎10.若圆上至少有三个不同的点，到直线的距离为，则取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆整理为，‎ 所以圆心坐标为，半径为，‎ 要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，‎ 则圆心到直线的距离为，所以的范围是，故选B.‎ ‎11.正方体上中，点平面，，垂足为，，垂足为.若，则点的轨迹为（ ）‎ A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 ‎【答案】D ‎【解析】如图建立空间直角坐标系，‎ 设正方体的棱长为，，依题意，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故点的轨迹为双曲线 故选：D.‎ ‎12.三棱柱中，，，，，.则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎，即异面直线与所成角，‎ 故选：A. ‎ 二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎13.已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是 ‎__________.‎ ‎【答案】1≤m≤2.‎ ‎【解析】由已知可得，逆命题为“若1＜x＜2，则m－1＜x＜m＋1”，为真命题．‎ ‎∴，∴1≤m≤2.‎ 故答案为1≤m≤2.‎ ‎14.已知平面，，，，，，若，，则与的位置关系是________.‎ ‎【答案】平行（或）‎ ‎【解析】，，，， ‎ ‎，‎ 故答案为：平行（或）‎ ‎15.已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于，两点，且，则点的横坐标为________.；______.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). 2‎ ‎【解析】由抛物线的定义．抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．‎ 已知，则到准线的距离也为2．根据图形，是正方形．‎ 可知，轴 故，点的横坐标为 故答案为：；.‎ ‎16.正方体的棱长为1.，分别是线段和上的动点.则长度的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要求长度的最小值，即求异面直线和之间的距离.‎ 如图建立空间直角坐标系，则，，，‎ 则，‎ 设异面直线和的法向量为 即令，则，，‎ ‎，‎ 故答案为：‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡相应作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设：实数满足，其中；：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【解】（1）由，得，‎ 又，所以，当时，，‎ 即为真时实数的取值范围是.‎ 为真时等价于，得，‎ 即为真时实数的取值范围是.‎ 若为真，则实数取值范围是.‎ ‎（2）是的必要不充分条件，则； ‎ 设，， ‎ 则，‎ 可得实数的取值范围是.‎ ‎18.如图，正三棱柱中，，，是延长线上一点，且.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【解】（1）因为，且 又四边形是平行四边形，可得.‎ 又，‎ 所以.‎ ‎（2）过作于，又，‎ 则且 又，所以，即为点到平面的距离.‎ 因为正三角形中，，‎ 所以三棱锥的体积.‎ ‎19.平面直角坐标系中，圆.点，.‎ ‎（1）直线，且与圆交于、两点，，求直线的方程；‎ ‎（2）若在圆上存在点，使得，试判断满足条件的的个数.‎ ‎【解】（1）斜率为，.‎ 设直线方程为，圆，‎ 圆心到直线的距离，‎ 由得，则或，‎ 故直线或；‎ ‎（2）若圆上存在点，则，‎ ‎，‎ 即，即，‎ 因为，‎ 所以圆与圆相交.‎ 故点的个数为2.‎ ‎20.已知直线与抛物线有一个公共点.‎ ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）斜率不为0的直线经过抛物线的焦点，交抛物线于两点，.抛物线上是否存在两点，关于直线对称？若存在，求出的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解】（1）由题联立方程组消去得 因为直线与抛物相切，所以解得或（舍）‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 所以可设直线的方程为.‎ 假设抛物线上存在两点，关于直线对称，‎ 可设直线的方程为，‎ 联立方程组消去得 由，得，‎ 设，，中点为.‎ 则，，‎ 因为在直线上，所以将其代入方程，‎ 得，即，代入，得，‎ 所以无解，故不存在.‎ 即抛物线上不存在两点，关于过焦点的直线对称.‎ ‎21.如图，矩形中，，，沿对角线将向上折起至，使得平面平面.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【解】（1）因为为矩形，所以，.‎ 又平面平面，平面平面 所以平面，且平面 则，又，平面，平面；‎ 故平面；‎ ‎（2）过作交于点，则平面 在中，‎ 即 以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则，，，‎ 所以，，‎ 令为平面的一个法向量，则，‎ 取得，即 记与平面所成的角为，则 故：直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎22.已知圆的圆心为，为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）记点的轨迹为曲线，点，.若点为直线上一动点，且不在轴上，直线、分别交曲线于、两点，求四边形面积的最大值.‎ ‎【解】（1）由题意，线段的垂直平分线交于点，则.‎ 所以，‎ 即点在以、为焦点，长轴长为4的椭圆上，‎ 所以，，‎ 故点的轨迹方程为：；‎ ‎（2）设，由于椭圆关于轴对称，所以不妨设 则直线的方程为：，直线的方程为：.‎ 设，‎ 由得，‎ 则，即，于是.‎ 同理可得：，‎ 所以 设，则，则 在单调递减，故.‎