【数学】2018届一轮复习人教A版圆的方程学案 9页

‎1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．‎ ‎2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．‎ 知识点一　圆的方程 ‎ ‎1．圆的定义 在平面内，到______的距离等于______的点的______叫圆．‎ ‎2．圆的标准方程 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中______为圆心，__为半径．‎ ‎3．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是____________，其中圆心为____________，半径为________________．‎ 答案 ‎1．定点　定长　集合　2.(a，b)　r ‎3．D2＋E2－‎4F>0　(－，－)‎ ‎1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________．‎ 解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．‎ 答案：(2，－3)‎ ‎2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为________．‎ 解析：易得线段AB的中点，即圆心为(1,1)，圆的半径r＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ ‎3．“方程x2＋y2＋4mx－2y＋‎5m＝0表示圆”的充要条件是________．‎ 解析：方程x2＋y2＋4mx－2y＋‎5m＝0可化为(x＋‎2m)2＋(y－1)2＝‎4m2‎－‎5m＋1，它表示圆的充要条件是‎4m2‎－‎5m＋1>0，即m<或m>1.‎ 答案：m<或m>1‎ 知识点二　点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋)(y－b)2＝r2的位置关系 ‎ ‎1．若M(x0，y0)在圆外，则__________________．‎ ‎2．若M(x0，y0)在圆上，则__________________．‎ ‎3．若M(x0，y0)在圆内，则__________________．‎ 答案 ‎1．(x0－a)2＋(y0－b)2>r2‎ ‎2．(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2‎ ‎3．(x0－a)2＋(y0－b)20)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)‎ A．1 B．3‎ C．2 D． ‎(2)(2017·长春模拟)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是________．‎ 解析：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，因为四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为，即＝，解得k＝±2，又k>0，所以k＝2.‎ ‎(2)由y＝3－，得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)．所以曲线y＝3－是半圆，如图中实线所示．‎ 当直线y＝x＋b与圆相切时，＝2.所以b＝1±2.由图可知b＝1－2.所以b的取值范围是[1－2，3]．‎ 答案：(1)C　(2)1－2≤b≤3‎ ‎1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．‎ ‎2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．‎ ‎3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．‎ 用化归思想求与圆有关的最值问题 ‎【例】　已知圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4，过点A(－1,0)作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交圆于E，F两点，l2交圆于G，H两点．‎ ‎(1)求|EF|＋|GH|的最大值；‎ ‎(2)求四边形EGFH面积的最大值．‎ ‎【分析】　(1)将|EF|＋|GH|用圆心到两弦的弦心距表示，再利用基本不等式求最值；‎ ‎(2)四边形EGFH的面积即|EF|·|GH|，求其最大值的问题也需要转化为圆心到两弦的弦心距问题．‎ ‎【解】　(1)设圆心C到EF的距离为d1，到GH的距离为d2，则|EF|＋|GH|＝2(＋)，‎ 又d＋d＝|CA|2＝1，‎ ‎∴≤＝＝，‎ 当且仅当d1＝d2＝时等号成立，‎ ‎∴|EF|＋|GH|≤2，‎ 即|EF|＋|GH|的最大值为2.‎ ‎(2)∵EF⊥GH，∴S四边形EGFH＝|EF|·|GH|＝2·≤(4－d)＋(4－d)＝8－(d＋d)＝7，当且仅当d1＝d2＝时等号成立．故四边形EGFH面积的最大值为7.‎ 解题策略：与圆有关的最值问题，一般需要转化为熟知的内容或问题求解，常见的转化方式有四种：一是化归为三角函数求最值，一般可设圆上任一点的坐标为(a＋rcosθ，b＋rsinθ)(θ为参数)；二是利用几何图形的性质求最值；三是化归为函数问题求最值；四是化归为基本不等式求最值.‎ ‎ ‎ ‎(1)已知a，b，c成等差数列且公差不为零，则直线ax－by＋c＝0被圆x2＋y2－2x－2y＝0截得的弦长的最小值为____‎ ‎.‎ ‎(2)已知圆C：x2＋y2＝1，过点P(0,2)作圆C的切线，交x轴正半轴于点Q.若M(m，n)为线段PQ上的动点(不含端点)，则＋的最小值为________．‎ 解析：(1)由题可知2b＝a＋c，且圆心坐标为(1,1)，半径为，圆心到直线的距离d＝＝，弦长l＝2＝2＝2≥2＝2，当a＝0时等号成立，故弦长的最小值为2.‎ ‎(2)设切线的斜率为k(k<0)，则切线方程为y＝kx＋2，由圆心到切线的距离为＝1，得k＝－，于是PQ的方程为y＝－x＋2.点M(m，n)在线段PQ上，所以m＋n＝2，且0