【数学】2018届一轮复习北师大版　不等式选讲学案 5页

‎　　　　　　　　　　不等式选讲[学生用书P255]‎ 年份 ‎ 卷别 具体考查内容及命题位置 ‎2016‎ 甲卷 含绝对值不等式的解法及比较法证明不等式·T24‎ 乙卷 绝对值不等式的解法及分段函数的图象·T24‎ 丙卷 绝对值不等式的解法·T24‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 绝对值不等式的求解、数形结合求三角形面积·T24‎ Ⅱ卷 不等式的证明、充要条件的判断·T24‎ ‎2014‎ Ⅰ卷 基本不等式、函数最值·T24‎ Ⅱ卷 绝对值的三角不等式、基本不等式、一元二次不等式·T24‎ ‎[命题分析]‎ ‎1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．‎ ‎2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．‎ 题示 参数 真题呈现 考题溯源 题示对比 ‎(2016·高考全国卷甲，T24)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集.‎ ‎(1)求M；‎ ‎1.(选修45 P20习题1.2T8(3))解不等式.‎ ‎|x－1|＋|x－2|<2.‎ ‎2.(选修45 P26习题2.2T9)‎ 已知|a|<1，|b|<1，求证 ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.‎ ‎|1－ab|>|a－b|.‎ 题材评说 考题将教材的两个重点知识问题巧妙结合，以不等式的解集M将两个问题有机链接，是教材问题的升华，是考题命制的主要方法之一．考题第(2)问可以说就是教材的原问题，这类问题是十分重要的常规问题，事实上，考题与教材问题即是：若a，b∈(－1，1)，则|a±b|＜|1±ab|，而且诸如这类问题，若|a|≤1，|b|≤1，则|a±b|≤|1±ab|.升华为求证：|sin α＋sin β|≤|1＋sin αsin β|‎ ‎1．(选修45 P16例3，P35例3改编)已知函数f(x)＝|3x－1|.‎ ‎(1)设f(x)≤2的解集为M，记集合M中的最大元素为amax，最小元素为amin，求amax－amin；‎ ‎(2)若a，b为正实数，且a＋b＝amax，求＋的最小值．‎ ‎[解] (1)f(x)≤2，即为|3x－1|≤2，‎ 所以－2≤3x－1≤2，即－≤x≤1.‎ 所以M＝.‎ 即amax＝1，amin＝－，amax－amin＝1－＝.‎ ‎(2)由(1)知，a＋b＝1，且a，b为正实数，‎ 所以(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.‎ 当且仅当a＝b＝时取等号，‎ 即＋≥4，所以＋的最小值为4.‎ ‎2．(选修45 P20习题1.2T9，P37习题3.1T8改编)(1)若关于x的不等式|x－3|＋|x－4|≤a的解集不是空集，求a的范围；‎ ‎(2)若g(x)＝，且p>0，q>0，p＋q＝1，x1，x2∈[0，＋∞)，求证：pg(x1)＋qg(x2)≤g(px1＋qx2)．‎ ‎[解] (1)法一：|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1.‎ 即|x－3|＋|x－4|的最小值为1.‎ 所以|x－3|＋|x－4|≤a的解集不是空集时，a≥1.‎ 法二：设f(x)＝|x－3|＋|x－4|＝ 函数f(x)的图象为 所以f(x)min＝1.‎ 则f(x)≤a的解集不是空集时，a≥1.‎ ‎(2)证明：由p>0，q>0，p＋q＝1，要证 不等式pg(x1)＋qg(x2)≤g(px1＋qx2)成立，即为证明 p＋q≤ 成立．(*)‎ 法一：(分解法)要证(*)成立，即证 ‎(p＋q)2≤()2成立．‎ 即证：p2x1＋2pq＋q2x2≤px1＋qx2，‎ 即证px1(1－p)＋qx2(1－q)－2pq≥0.‎ 因为p＋q＝1.‎ 只需证pqx1＋pqx2－2pq≥0成立．‎ 即证(－)2≥0.‎ 因为(－)2≥0显然成立．‎ 所以原不等式成立．‎ 法二：(柯西不等式法)‎ 因为(p＋q)2＝(·＋·)2‎ ‎≤[()2＋()2][()2＋()2]‎ ‎＝(p＋q)(px1＋qx2)‎ 因为p＋q＝1.‎ 所以(p＋q)2≤px1＋qx2.‎ 所以p＋q≤.‎ 即pg(x1)＋qg(x2)≤g(px1＋qx2)．‎ ‎3．(选修45 P19习题1.2T5，P45习题3.3T4改编)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.‎ ‎(1)求f(x)的最小值m；‎ ‎(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.‎ ‎[解] (1)当x<－1时，‎ f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；‎ 当－1≤x<2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3，6)；‎ 当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．‎ 综上，f(x)的最小值m＝3.‎ ‎(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，‎ 因为＋＋＋(a＋b＋c)‎ ‎＝＋＋ ‎≥2＝2(a＋b＋c)．‎ ‎(当且仅当a＝b＝c＝1时，取“＝”)‎ 所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.‎ ‎4．(选修45 P17例5，P26习题2.2T9改编)已知函数f(x)＝|x＋1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)<|2x＋1|－1的解集M；‎ ‎(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)－f(－b)．‎ ‎[解] (1)①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1<－2x－2，解得x<－1；‎ ‎②当－11.‎ 综上，M＝{x|x<－1或x>1}．‎ ‎(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，‎ 所以，要证f(ab)>f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|>|a＋b|，‎ 即证|ab＋1|2>|a＋b|2，‎ 即证a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，‎ 即证a2b2－a2－b2＋1>0，即证(a2－1)(b2－1)>0.‎ 因为a，b∈M，所以a2>1，b2>1，所以(a2－1)(b2－1)>0成立，‎ 所以原不等式成立．‎