【数学】2018届一轮复习北师大版（理）数列的概念与简单表示法教案 14页

‎1．数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．‎ ‎2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1__>_an 其中n∈N＋‎ 递减数列 an＋1__<_an 常数列 an＋1＝an ‎3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法．‎ ‎4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子来表示成an＝f(n)，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，‎ 则an＝ ‎2．在数列{an}中，若an最大，则 若an最小，则 ‎3．数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　×　)‎ ‎(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　√　)‎ ‎(3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(　×　)‎ ‎(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　×　)‎ ‎(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　√　)‎ ‎1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．‎ 则第7个三角形数是(　　)‎ A．27 B．28‎ C．29 D．30‎ 答案　B 解析　由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.‎ ‎2．已知数列，，，…，，…，下列各数中是此数列中的项的是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B ‎3．(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.‎ ‎4．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是________．‎ 答案　30‎ 解析　an＝－n2＋11n＝－(n－)2＋，‎ ‎∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.‎ ‎5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.‎ 答案　 解析　当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，‎ 故an＝ 题型一　由数列的前几项求数列的通项公式 例1　(1)(2016·太原模拟)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是(　　)‎ A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1‎ C．an＝ D．an＝ ‎(2)数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________.‎ 答案　(1)C　(2) 解析　(1)观察数列1,3,6,10，…可以发现 ‎1＝1，‎ ‎3＝1＋2，‎ ‎6＝1＋2＋3，‎ ‎10＝1＋2＋3＋4，‎ ‎…‎ 第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝.‎ ‎∴an＝.‎ ‎(2)数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.‎ 思维升华　由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 ‎(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．‎ ‎(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N＋处理．‎ ‎　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．‎ ‎(1)－1,7，－13,19，…；‎ ‎(2)0.8,0.88,0.888，…；‎ ‎(3)，，－，，－，，….‎ 解　(1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．‎ ‎(2)数列变为，，，…，‎ 故an＝.‎ ‎(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3.‎ 因此把第1项变为－，‎ 原数列化为－，，－，，…，‎ 故an＝(－1)n.‎ 题型二　由an与Sn的关系求通项公式 例2　(1)(2016·南昌模拟)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.‎ 答案　(－2)n－1‎ 解析　由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1‎ 时，S1＝a1＝a1＋，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.‎ ‎(2)已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．‎ ‎①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b.‎ 解　①a1＝S1＝2－3＝－1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1‎ ‎＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，‎ 由于a1也适合此等式，‎ ‎∴an＝4n－5.‎ ‎②a1＝S1＝3＋b，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)‎ ‎＝2·3n－1.‎ 当b＝－1时，a1适合此等式；‎ 当b≠－1时，a1不适合此等式．‎ ‎∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；‎ 当b≠－1时，an＝ 思维升华　已知Sn，求an的步骤 ‎(1)当n＝1时，a1＝S1；‎ ‎(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．‎ ‎　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________．‎ ‎(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于(　　)‎ A．2n－1 B．()n－1‎ C．()n D. 答案　(1)an＝　(2)B 解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]‎ ‎＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．‎ 故数列的通项公式为an＝ ‎(2)由an＋1＝Sn＋1－Sn，得Sn＝Sn＋1－Sn，‎ 即Sn＋1＝Sn(n≥1)，又S1＝a1＝1，‎ 所以数列{Sn}是首项为1，公比为的等比数列，‎ 所以Sn＝()n－1，故选B.‎ 题型三　由数列的递推关系求通项公式 例3　根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)；‎ ‎(2)a1＝1，an＋1＝2nan；‎ ‎(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.‎ 解　(1)∵an＋1＝an＋ln(1＋)，‎ ‎∴an－an－1＝ln(1＋)＝ln (n≥2)，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝ln＋ln＋…＋ln ＋ln 2＋2‎ ‎＝2＋ln(··…··2)‎ ‎＝2＋ln n(n≥2)．‎ 又a1＝2适合上式，故an＝2＋ln n(n∈N＋)．‎ ‎(2)∵an＋1＝2nan，∴＝2n－1 (n≥2)，‎ ‎∴an＝··…··a1‎ ‎＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝.‎ 又a1＝1适合上式，故an＝.‎ ‎(3)∵an＋1＝3an＋2，‎ ‎∴an＋1＋1＝3(an＋1)，‎ 又a1＝1，∴a1＋1＝2，‎ 故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，‎ ‎∴an＋1＝2·3n－1，故an＝2·3n－1－1.‎ 思维升华　已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 ‎(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；(3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；(4)当出现＝f(n)时，用累乘法求解．‎ ‎　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝·an－1(n≥2且n∈N＋)，则an＝________.‎ ‎(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N＋)，则a5等于(　　)‎ A．－16 B．16 C．31 D．32‎ 答案　(1)　(2)B 解析　(1)∵an＝an－1 (n≥2)，‎ ‎∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.‎ 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1···…·＝＝.‎ 当n＝1时也满足此等式，∴an＝.‎ ‎(2)当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.‎ 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.‎ ‎∴{an}是等比数列且a1＝1，q＝2，‎ 故a5＝a1×q4＝24＝16.‎ 题型四　数列的性质 命题点1　数列的单调性 例4　已知an＝，那么数列{an}是(　　)‎ A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．不确定 答案　B 解析　an＝1－，将an看作关于n的函数，n∈N＋，易知{an}是递增数列．‎ 命题点2　数列的周期性 例5　数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝_________________.‎ 答案　 解析　∵an＋1＝，‎ ‎∴an＋1＝＝＝ ‎＝＝1－ ‎＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，n≥3，‎ ‎∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.‎ 而a2＝，∴a1＝.‎ 命题点3　数列的最值 例6　数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项是(　　)‎ A．3 B．19 C. D. 答案　C 解析　令f(x)＝x＋(x>0)，运用基本不等式得f(x)≥2，当且仅当x＝3时等号成立．因为an＝，所以≤，由于n∈N＋，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝最大．‎ 思维升华　(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ‎①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．‎ ‎②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．‎ ‎③结合相应函数的图像直观判断．‎ ‎(2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．‎ ‎(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．‎ ‎　(1)(2016·哈尔滨模拟)数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2 015项为________．‎ ‎(2)设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)‎ A. B. C．4 D．0‎ 答案　(1)　(2)D 解析　(1)由已知可得，a2＝2×－1＝，‎ a3＝2×＝，‎ a4＝2×＝，‎ a5＝2×－1＝，‎ ‎∴{an}为周期数列且T＝4，‎ ‎∴a2 015＝a503×4＋3＝a3＝.‎ ‎(2)∵an＝－32＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0.‎ ‎12．解决数列问题的函数思想 典例　(1)数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·()n，则此数列的最大项是第________项．‎ ‎(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N＋，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是__________．‎ 思想方法指导　(1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析．‎ 解析　(1)∵an＋1－an ‎＝(n＋2)()n＋1－(n＋1)()n ‎＝()n×，‎ 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；‎ 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；‎ 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1an知该数列是一个递增数列，‎ 又通项公式an＝n2＋kn＋4，‎ ‎∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，‎ 即k>－1－2n，又n∈N＋，所以k>－3.‎ 答案　(1)9或10　(2)(－3，＋∞)‎ ‎1．数列，－，，－，…的第10项是(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　C 解析　所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{an}的通项公式an＝(－1)n＋1·，故a10＝－.‎ ‎2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则(　　)‎ A．3不是数列{an}中的项 B．3只是数列{an}中的第2项 C．3只是数列{an}中的第6项 D．3是数列{an}中的第2项和第6项 答案　D 解析　令an＝3，即n2－8n＋15＝3，整理得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6.‎ ‎3．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式是(　　)‎ A．2n－1 B．()n－1‎ C．n2 D．n 答案　D 解析　∵an＝n(an＋1－an)，∴＝，‎ ‎∴an＝···…···a1‎ ‎＝···…···1＝n.‎ ‎4．若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N＋)，则a2 018等于(　　)‎ A．3 B．2‎ C. D. 答案　A 解析　由已知a3＝＝，a4＝＝，‎ a5＝＝，a6＝＝，‎ a7＝＝2，a8＝＝3，‎ ‎∴数列{an}具有周期性，T＝6，‎ ‎∴a2 018＝a336×6＋2＝a2＝3.‎ ‎5．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N＋)，a2＝2，若Sn是数列{an}的前n项和，则S21为(　　)‎ A．5 B. C. D. 答案　B 解析　∵an＋an＋1＝，a2＝2，‎ ‎∴an＝ ‎∴S21＝11×＋10×2＝.故选B.‎ ‎6．(2016·开封一模)已知函数y＝f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x，y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝ (n∈N＋)，则a2 015的值为(　　)‎ A．4 029 B．3 029‎ C．2 249 D．2 209‎ 答案　A 解析　根据题意，不妨设f(x)＝()x，则a1＝f(0)＝1，∵f(an＋1)＝，∴an＋1＝an＋2，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1，‎ ‎∴a2 015＝4 029.‎ ‎7．数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)，则a7＝________.‎ 答案　1‎ 解析　由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，‎ 能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.‎ ‎8．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝________.‎ 答案　2n－1‎ 解析　当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，得a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，‎ 即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，‎ ‎∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.‎ ‎9．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·()n，则数列{an}的项取最大值时，n＝____________.‎ 答案　4或5‎ 解析　假设第n项为最大项，则 即 解得　即4≤n≤5，‎ 又n∈N＋，所以n＝4或n＝5，‎ 故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.‎ ‎10．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，则该数列的前2 019项的乘积a1·a2·a3·…·a2 019＝________.‎ 答案　3‎ 解析　由题意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，‎ ‎∴数列{an}是以4为周期的数列，而2 019＝4×504＋3，a1a2a3a4＝1，‎ ‎∴前2 019项的乘积为1504·a1a2a3＝3.‎ ‎11．已知数列{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；‎ ‎(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.‎ 解　(1)因为a5＋a6＝S6－S4‎ ‎＝(－6)－(－4)＝－2，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1，‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)‎ ‎＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]‎ ‎＝(－1)n＋1·(2n－1)，‎ 又a1也适合此式，‎ 所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．‎ ‎(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]‎ ‎＝2×3n－1＋2，‎ 由于a1不适合此式，‎ 所以an＝ ‎12．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N＋)．‎ ‎(1)求a1，a2，a3，a4的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 解　(1)由Sn＝a＋an (n∈N＋)可得 a1＝a＋a1，解得a1＝1，‎ S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2，‎ 同理，a3＝3，a4＝4.‎ ‎(2)Sn＝＋a，①‎ 当n≥2时，Sn－1＝＋a，②‎ ‎①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.‎ 由于an＋an－1≠0，‎ 所以an－an－1＝1，‎ 又由(1)知a1＝1，‎ 故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列，‎ 故an＝n.‎ ‎ 13.已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0)．‎ ‎(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；‎ ‎(2)若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求a的取值范围．‎ 解　(1)∵an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0)，‎ 又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N＋)．‎ 结合函数f(x)＝1＋的单调性，‎ 可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，‎ a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N＋)．‎ ‎∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.‎ ‎(2)an＝1＋＝1＋，‎ 已知对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，‎ 结合函数f(x)＝1＋的单调性，‎ 可知5＜＜6，即－10＜a＜－8.‎