2018届二轮复习（理）专题四　数列、推理与证明第4讲　推理与证明课件（全国通用） 51页

第 4 讲 　 推理与证明 专题四 　 数列、推理与证明 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　归纳推理 1. 归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 . n 个根号 答案 解析 (2)(2017· 山西省大同市灵丘豪洋中学模拟 ) 下面图形由小正方形组成，请观察图 1 至图 4 的规律，并依此规律，写出第 15 个图形中小正方形的个数是 ______. 120 答案 解析 思维升华 解析　 ∵ a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 3 ， a 3 ＝ 6 ， a 4 ＝ 10 ， 思维升华　 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用 . 其思维模式是 “ 观察 — 归纳 — 猜想 — 证明 ” ，解题的关键在于正确的归纳猜想 . 答案 解析 (2) 用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第 100 个图形中有白色地砖 ______ 块；现将一粒豆子 随机 撒 在第 100 个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是 _____. 答案 503 解析 解析　 按拼图的规律，第 1 个图有白色地砖 (3 × 3 － 1) 块，第 2 个图有白色地砖 (3 × 5 － 2) 块，第 3 个图有白色地砖 (3 × 7 － 3) 块， … ， 则第 100 个图中有白色地砖 3 × 201 － 100 ＝ 503( 块 ). 第 100 个图中黑白地砖共有 603 块，则将一粒豆子随机撒在第 100 个图中 ， 豆子 落在白色地砖上的概率 是 . 热点二　类比推理 1. 类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 . 2. 类比推理的思维过程如下： 例 2 　 (1)(2017 届江西省鹰潭市模拟 ) 我们知道： “ 平面中到定点等于定长的点轨迹是圆 ” 拓展至空间： “ 空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球 ” ，类似可得：已知 A ( － 1,0,0) ， B (1,0,0) ，则点集 { P ( x ， y ， z )|| PA | － | PB | ＝ 1} 在空间中的轨迹描述正确的是 A. 以 A ， B 为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面 B. 以 A ， B 为焦点的椭球体 C. 以 A ， B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面 D. 以上都不对 √ 答案 解析 解析　 由特殊到特殊进行类比推理可得：点集 { P ( x ， y ， z )|| PA | － | PB | ＝ 1} 在空间中的轨迹描述正确的是以 A ， B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面 . 故选 C. 答案 解析 思维升华 解析　 设 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) ， P 0 ( x 0 ， y 0 ) ， 因为 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 在这两条切线上， 思维升华　 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起 . 当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比 . 答案 解析 ch( x － y ) ＝ ch x ch y － sh x sh y ( 答案不唯一 ) 答案 解析 解析　 ch x ch y － sh x sh y 同理可得 ch( x ＋ y ) ＝ ch x ch y ＋ sh x sh y ， sh( x － y ) ＝ sh x ch y － ch x sh y ， sh( x ＋ y ) ＝ sh x ch y ＋ ch x sh y . 热点三　直接证明和间接证明 直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法 . 例 3 　 已知 { a n } 是正数组成的数列， a 1 ＝ 1 ，且点 ( ， a n ＋ 1 )( n ∈ N * ) 在函数 y ＝ x 2 ＋ 1 的图象上 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ； 解答 解　 由已知得 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 1 ， 则 a n ＋ 1 － a n ＝ 1 ，又 a 1 ＝ 1 ， 所以数列 { a n } 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列 . 故 a n ＝ 1 ＋ ( n － 1) × 1 ＝ n . (2) 若数列 { b n } 满足 b 1 ＝ 1 ， b n ＋ 1 ＝ b n ＋ 2 a n ，求证： b n · b n ＋ 2 < b . 证明 证明　 由 (1) 知， a n ＝ n ，从而 b n ＋ 1 － b n ＝ 2 n . b n ＝ ( b n － b n － 1 ) ＋ … ＋ ( b 2 － b 1 ) ＋ b 1 又 b 1 ＝ 1 ＝ 2 1 － 1 ，所以 b n ＝ 2 n － 1 ( n ∈ N * ). ＝ (2 2 n ＋ 2 － 2 n ＋ 2 － 2 n ＋ 1) － (2 2 n ＋ 2 － 2·2 n ＋ 1 ＋ 1) ＝－ 2 n <0 ， 思维升华 思维升华　 (1) 有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可 . (2) 综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法写出证明过程，有时候分析法和综合法交替使用 . 跟踪演练 3 　 (1) 已知 △ ABC 的三个内角 A ， B ， C 成等差数列， A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c . 证明 只需证 c ( b ＋ c ) ＋ a ( a ＋ b ) ＝ ( a ＋ b )( b ＋ c ) ， 需证 c 2 ＋ a 2 ＝ ac ＋ b 2 ， 又 △ ABC 三个内角 A ， B ， C 成等差数列，故 B ＝ 60° ， 由余弦定理，得 b 2 ＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ac cos 60° ， 即 b 2 ＝ c 2 ＋ a 2 － ac ， 故 c 2 ＋ a 2 ＝ ac ＋ b 2 成立 . 于是原等式成立 . 证明 证明　 假设 x 0 是 f ( x ) ＝ 0 的负根， 热点四　数学归纳法 数学归纳法证明的步骤 (1) 证明当 n 取第一个值 n 0 ( n 0 ∈ N * ) 时结论成立； (2) 假设当 n ＝ k ( k ∈ N * ，且 k ≥ n 0 ) 时结论成立，证明 n ＝ k ＋ 1 时结论也成立 . 由 (1)(2) 可知，对任意 n ≥ n 0 ，且 n ∈ N * ，结论都成立 . 例 4 　 (2017 届江苏徐州等四市模拟 ) 设 n ∈ N * ， f ( n ) ＝ 3 n ＋ 7 n － 2. (1) 求 f (1) ， f (2) ， f (3) 的值； 解答 解　 代入求出 f (1) ＝ 8 ， f (2) ＝ 56 ， f (3) ＝ 368. (2) 证明：对任意正整数 n ， f ( n ) 是 8 的倍数 . 证明 证明　 ① 当 n ＝ 1 时， f (1) ＝ 8 是 8 的倍数，命题成立 . ② 假设当 n ＝ k 时命题成立， 即 f ( k ) ＝ 3 k ＋ 7 k － 2 是 8 的倍数 ，那么 当 n ＝ k ＋ 1 时， f ( k ＋ 1) ＝ 3 k ＋ 1 ＋ 7 k ＋ 1 － 2 ＝ 3(3 k ＋ 7 k － 2) ＋ 4(7 k ＋ 1) ， 因为 7 k ＋ 1 是偶数，所以 4(7 k ＋ 1) 是 8 的倍数， 又由归纳假设知 3(3 k ＋ 7 k － 2) 是 8 的倍数， 所以 f ( k ＋ 1) 是 8 的倍数， 所以当 n ＝ k ＋ 1 时，命题也成立 . 由 ①② 知命题对任意 n ∈ N * 成立 . 思维升华 思维升华　 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 等式的两边会增加多少项，增加怎样的项 . 难点在于寻求等式在 n ＝ k 和 n ＝ k ＋ 1 时的联系 . 解答 (1) 计算 f (1) ， f (2) ， f (3) 的值； 解答 (2) 比较 f ( n ) 与 1 的大小，并用数学归纳法证明你的结论 . 解　 由 (1) 知， f (1)>1 ， f (2)>1. 下面用数学归纳法证明：当 n ≥ 3 时， f ( n )<1. ① 由 (1) 知当 n ＝ 3 时， f ( n )<1. ② 假设当 n ＝ k ( k ≥ 3) 时， f ( n )<1 ， 所以当 n ＝ k ＋ 1 时， f ( n )<1 也成立 . 因此，当 n ≥ 3 时， f ( n )<1. 综上，当 n ＝ 1 和 n ＝ 2 时， f ( n )>1 ； 当 n ≥ 3 时， f ( n )<1. Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 全国 Ⅱ 改编 ) 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩 . 老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩 . 看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩 . 根据以上信息，则可推断知道自己成绩的是 _______. 乙、丁 答案 解析 1 2 3 1 2 解析　 由甲说： “ 我还是不知道我的成绩 ” 可推知甲看到乙、丙的成绩为 “ 1 个优秀， 1 个良好 ”. 乙 看丙的成绩，结合甲的说法，丙为 “ 优秀 ” 时，乙为 “ 良好 ” ； 丙 为 “ 良好 ” 时，乙为 “ 优秀 ” ，可得乙可以知道自己的成绩 . 丁 看甲的成绩，结合甲的说法，甲为 “ 优秀 ” 时，丁为 “ 良好 ” ； 甲 为 “ 良好 ” 时，丁为 “ 优秀 ” ，可得丁可以知道自己的成绩 . 3 1 2 答案 解析 3 1 2 3 3.(2016· 全国 Ⅱ ) 有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说： “ 我与乙的卡片上相同的数字不是 2 ” ，乙看了丙的卡片后说： “ 我与丙的卡片上相同的数字不是 1 ” ，丙说： “ 我的卡片上的数字之和不是 5 ” ，则甲的卡片上的数字是 ________. 1 2 1 和 3 答案 解析 解析　 由丙说： “ 我的卡片上的数字之和不是 5 ” 可知，丙为 “ 1 和 2 ” 或 “ 1 和 3 ” ， 又乙说 “ 我与丙的卡片上相同的数字不是 1 ” ，所以乙只可能为 “ 2 和 3 ” ， 所以由甲说 “ 我与乙的卡片上相同的数字不是 2 ” ，所以甲只能为 “ 1 和 3 ”. 3 押题预测 1. 将正整数作如下分组： (1) ， (2,3) ， (4,5,6) ， (7,8,9,10) ， (11,12,13,14,15) ， (16,17,18,19,20,21) ， (22,23,24,25,26,27,28) ， … 1 2 3 分别 计算各组包含的正整数的和如下： S 1 ＝ 1 ， S 2 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5 ， S 3 ＝ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＝ 15 ， S 4 ＝ 7 ＋ 8 ＋ 9 ＋ 10 ＝ 34 ， S 5 ＝ 11 ＋ 12 ＋ 13 ＋ 14 ＋ 15 ＝ 65 ， S 6 ＝ 16 ＋ 17 ＋ 18 ＋ 19 ＋ 20 ＋ 21 ＝ 111 ， S 7 ＝ 22 ＋ 23 ＋ 24 ＋ 25 ＋ 26 ＋ 27 ＋ 28 ＝ 175 ， … ， 试猜测 S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＋ … ＋ S 2 015 ＝ ________. 1 008 4 答案 解析 押题依据 1 2 3 押题依据　 数表 ( 阵 ) 是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想以及数学归纳法的应用等，考查考生归纳猜想能力以及对数学归纳法逻辑推理证明步骤的掌握程度 . 1 2 3 解析　 由题意知，当 n ＝ 1 时， S 1 ＝ 1 ＝ 1 4 ； 当 n ＝ 2 时， S 1 ＋ S 3 ＝ 16 ＝ 2 4 ； 当 n ＝ 3 时， S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＝ 81 ＝ 3 4 ； 当 n ＝ 4 时， S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＋ S 7 ＝ 256 ＝ 4 4 ； …… ， 猜想： S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＋ … ＋ S 2 n － 1 ＝ n 4 . ∴ S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＋ … ＋ S 2 015 ＝ 1 008 4 . 1 2 3 押题依据　 根据 n 个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年的高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大 . 答案 解析 押题依据 1 2 3 显然式子中的分子与分母是对应的，分母为 x n ，分子是 n n ， 所以不等式左边的式子为 x ＋ ， 显然不等式右边的式子为 n ＋ 1 ， 1 2 3 3. 设数列 { a n } 是公比为 q 的等比数列， S n 是它的前 n 项和，证明：数列 { S n } 不是等比数列 . 押题依据　 反证法是一种重要的证明方法，直接证明不易证明时常采用反证法 . 因为 a 1 ≠ 0 ，所以 (1 ＋ q ) 2 ＝ 1 ＋ q ＋ q 2 ，即 q ＝ 0 ，这与 q ≠ 0 矛盾，故 { S n } 不是等比数列 . 证明 押题依据 1 2 3