【数学】2020届一轮复习人教B版推理与证明全章复习与巩固学案 9页

‎《推理与证明》全章复习与巩固 ‎ ‎ ‎【学习目标】 ‎ ‎1. 了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；体会它们的重要性，并能运用它们进行一些简单的推理；‎ ‎2. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；‎ ‎3. 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；‎ ‎4. 了解间接证明的一种基本方法：反证法；了解反证法的思考过程、特点；‎ ‎5. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.‎ ‎【知识网络】‎ ‎【要点梳理】 ‎ 要点一：有关推理概念 归纳推理：‎ 又称归纳法，是从特殊到一般、部分到整体的推理．根据归纳对象是否完备，分为完全归纳法和不完全归纳法．完全归纳法是根据某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况作出的关于该类事物的一般性结论的推理；不完全归纳法是根据某类事物中的一部分对象具有某种特征而作出该类事物都具有这一特征的一般性结论的推理．由于仅列举了归纳对象中的一小部分，因此得出的结论与前提未必有必然的联系，故其结论未必正确，必须经过理论的证明和实践的检验．‎ 类比推理：‎ 又称类比法，是由特殊到特殊的推理．这是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的“开拓型”“发散型”‎ 思维方式．和归纳推理一样，能由已知推测未知，推理的结论也不一定为真，有待进一步证明，通常情况下，类比的相似性越多，类比得出的结论就越可靠．‎ 演绎推理：‎ 又称演绎法．是从一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式．演绎推理的结论完全蕴涵于前提之中．它是“封闭型”的思维方法，只要前提真实，逻辑形式正确，则结论必然真实，但由它一般不能取得突破性进展．故合情推理与演绎推理各有侧重，相辅相成．合情推理有助于发现新事物、新结论、新规律，演绎推理保证结论的可靠性，去伪存真．‎ 要点诠释：‎ 演绎推理更注重推理的形式规则，常见的有假言推理、关系推理、三段论推理．‎ 三段论推理：其一般形式为：大前提：所有M都是P；小前提：S是M；结论：S是P．‎ 要点二：有关证明方法 综合法 综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法，是数学推理证明中的主要方法．即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待征结论或需求问题．如果要证明的命题是，那么证明步骤用符号表示为p(已知)…．‎ 分析法 分析法就是从待征结论出发，一步一步探索下去，寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．用分析法证明的逻辑关系：q(结论)…(已知)．‎ 间接证法 间接证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真，间接达到目的．反证法就是间接证法的一种．‎ ‎ 反证法证题步骤为：‎ ‎ (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．‎ ‎ (2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾．‎ ‎ (3)由矛盾判断假设不成立．从而肯定命题的结论成立．‎ ‎ 反证法导出矛盾常见的有以下几种情况：‎ ‎ ①导出非p为真，即与原命题的条件矛盾．‎ ‎ ②导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾．‎ ‎ ③导出一个与定义、公理、定理等矛盾的命题．‎ ‎ 数学归纳法 数学归纳法是证明一个与正整数n有关的命题时，常采用的一种方法，它是一种完全归纳法，其步骤为：‎ 第一步：证明n取第一个值时命题成立．‎ 第二步：假设n＝k(k≥，k∈N+)时命题成立，证明n＝k+1时命题成立．‎ ‎ 第三步：下结论，命题对从开始的所有自然数n都成立．‎ 要点诠释：‎ ‎（1）用数学归纳法证明与自然数n有关的命题时，如果证明恒等式或不等式应特别注意项及项数的变化规律；证明几何命题时，要特别注意从n＝k到n＝k+1的几何图形中几何元素的变化规律；证明整除性命题时，要特别注意凑配项的变形技巧；证明与奇、偶数有关的命题要注意过渡时的特点，如一个命题对所有奇数n成立，应假设n＝2k-1时命题成立，推证n＝2k+1时命题成立或假设n＝k(k为奇数)时命题成立，推证n＝k+2时命题成立．‎ ‎ （2）“归纳一猜想—证明”的论题，要特别关注项的构成规律，作出合理的猜想后再证明．‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：合情推理与演绎推理 例1. 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：‎ ‎ 充要条件①________________________________；‎ ‎ 充要条件②________________________________．‎ ‎ (写出你认为正确的两个充要条件)‎ ‎【思路点拨】由平面几何图形的性质类比立体几何图形的性质时要做到点类比线、线类比面、面类比体． ‎ ‎【解析】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点，底面是平行四边形(填任意两个即可)‎ ‎【总结升华】本题考查类比推理，其关键是掌握由平面几何图形的性质类比立体几何图形的性质时，元素间的对应关系．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为，‎ 把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【变式2】将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示：‎ ‎ 根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右第3个数是________．‎ ‎【答案 】 ‎ ‎【解析】前n-1行共有正整数1+2+3+…+n-1个，即共有个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个数，即．‎ 例2. 在数列中，，，n∈N+．‎ ‎ (1)证明数列是等比数列；‎ ‎ (2)求数列的前n项和；‎ ‎ (3)证明不等式≤，对任意n∈N+皆成立．‎ ‎【解析】 (1)由题设得 ‎，n∈N+．‎ ‎ 又，所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列．‎ ‎ (2)由(1)可知，于是数列的通项公式为．‎ ‎ 所以数列的前n项和．‎ ‎ (3)对任意的n∈N+，‎ ‎ ≤0．‎ ‎ 所以不等式≤，对任意n∈N+皆成立．‎ ‎ 【总结升华】本题属于递推数列问题，是高考考查的热点．解题的关键是转化为等差、等比数列．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是 ( )‎ ‎ A．南 B．北 C．西 D．下 ‎ 【答案】 B ‎【解析】将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，‎ 将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．‎ 类型二：直接证明与间接证明 例3. 设a＞0，b＞0，a+b＝1，求证：．‎ ‎【解析】 证法一(综合法)：‎ ‎∵ a＞0，b＞0，a+b＝1，‎ ‎∴ ，，ab≤，‎ ‎∴ ≥4．‎ 又≥4，‎ ‎∴ ≥8．‎ 证法二(分析法)：‎ ‎∵ a＞0，b＞0，∴ 要证≥8，‎ 只需证≥18，‎ 即证≥8，‎ 即证≥4，即证≥4，‎ 即证≥2．‎ 由基本不等式可知，当a＞0，b＞0时，≥2成立，所以原不等式成立．‎ ‎ 【总结升华】本题既可用综合法，也可用分析法来解，解题时应灵活运用．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.‎ ‎【答案】证法一：‎ ‎3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．‎ 因为a≥b>0，‎ 所以a－b≥0,3a2－2b2>0，‎ 从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，‎ 所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.‎ 证法二：‎ 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，‎ 只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，‎ 只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，‎ ‎∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0，‎ ‎∴上式成立．‎ 例4. 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a、b、c都为整数，已知f(0)、f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．‎ ‎【思路点拨】考虑用反证法.‎ ‎【解析】假设方程f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＋c＝0①‎ ‎∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都为奇数，∴a＋b必为偶数．‎ 当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，与①式矛盾；‎ 当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与①式矛盾．‎ 综上可知方程f(x)＝0无整数根．‎ ‎【总结升华】反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是(　　)‎ A．假设是有理数 B．假设是有理数 C．假设或是有理数 D．假设＋是有理数 ‎【答案】D ‎【变式2】已知a、b∈R，|a|+|b|＜1，求证：方程的两根的绝对值都小于1．‎ ‎ 【答案】假设是的根，且≥1，‎ 由得，‎ 所以，‎ 所以≥≥＝1，‎ 这与矛盾，故两根绝对值都小于1．‎ 类型三：数学归纳法 例5. （2015 兴安盟二模）已知数列{an}的前n项和Sn，，．‎ ‎（1）计算S1，S2，S3，猜想Sn的表达式并用数学归纳法证明；‎ ‎（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．‎ ‎【答案】（1），，；（2）‎ ‎【思路点拨】（1）利用已知条件计算S1，S2，S3，猜想Sn的表达式，然后用数学归纳法证明步骤证明即可；‎ ‎（2）化简，利用裂项法求解数列的{bn}的前n项和为Tn，即可证明．‎ ‎【解析】（1）因为an=Sn―Sn―1（n≥2），所以，由此整理得，于是有：，，，‎ 猜想：‎ 证明：①当n=1时，，猜想成立．‎ ‎②假设n=k时猜想成立，即，‎ 那么，‎ 所以当n=k+1时猜想成立，由①②n∈N*都成立．‎ ‎（2）由（1），于是：‎ ‎，‎ 又因为，‎ 所以．‎ ‎【总结升华】本小题主要考查利用数学归纳法解决关于数列问题，虽存在着一定的难度，但是考试大纲规定考查内容，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】（2015春 武汉校级期末）用数学归纳法证明某命题时，左式为（n为正偶数），从“n=2k”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________．‎ ‎【解析】∵n=2k时，左式为，‎ n=2k+2时，左式为，‎ ‎∴从“n=2k”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为 故答案为：‎ ‎【变式2】求证： .‎ ‎【答案】(1)当n＝2时，左边，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ‎，‎ 所以当n＝k＋1时不等式也成立．‎ 由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．‎