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- 2021-06-16 发布
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第5讲 指数与指数函数
[考纲解读] 1.理解有理指数幂的含义,掌握指数幂的运算,并能通过具体实例了解实数指数幂的意义.
2.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性并掌握指数函数的图象及其通过的特殊点.(重点、难点)
3.通过具体实例,了解指数函数模型的实际背景,并体会指数函数是一类重要的函数模型.
[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的命题热点.预测2020年高考主要与函数的图象、最值、比较大小、指数函数图象过定点为命题方向;也有可能与其他知识相结合进行考查.
1.根式
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:a=(a>0,m,n∈N*且n>1).
②正数的负分数指数幂:a-==(a>0,m,n∈N*且n>1).
③0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的性质
①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
y=ax (a>0且a≠1)
a>1
00,且a≠1),则m0,且a≠1)的图象可能是( )
答案 C
解析 函数y=ax-a的图象过点(1,0),排除A,B,D.
(2)化简 的结果是________.
答案 -
解析 由题意得x<0,所以====-.
(3)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点A,则f(-1)=________.
答案
解析 依题意可知a2=,解得a=,
所以f(x)=x,所以f(-1)=-1=.
(4)若指数函数f(x)=(a+2)x为减函数,则实数a的取值范围为________.
答案 (-2,-1)
解析 因为指数函数f(x)=(a+2)x为减函数,所以00,a≠1)的图象恒过点A,下列函数中图象不经过点A的是( )
A.y= B.y=|x-2|
C.y=2x-1 D.y=log2(2x)
答案 A
解析 函数f(x)=ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒过点A(1,1),经检验知,只有选项A中函数的图象不经过点A.
2.(2018·青岛模拟)函数f(x)=21-x的大致图象为( )
答案 A
解析 函数f(x)=21-x在R上是减函数,其图象过点(0,2),故选A.
条件探究1 举例说明2中函数改为f(x)=2|x-1|,其图象是( )
答案 B
解析 f(x)=2|x-1|=
所以f(x)在(-∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故排除A,C,D.
条件探究2 举例说明2中函数改为y=21-x+m,若此函数的图象不经过第一象限,则m的取值范围如何?
解 因为y=21-x+m=x-1+m,函数y=x-1的图象如图所示,
则要使函数y=21-x+m的图象不经过第一象限,则m≤-2.
(1)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.如举例说明1.
(2)指数函数图象的应用
①已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除.
②对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
(3)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系
如图所示,其中0b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a
答案 A
解析 因为a=(22)0.8=21.6,b=(23)0.46=21.38,c=(2-1)-1.2=21.2,
函数y=2x在R上单调递增,且1.2<1.38<1.6,
所以21.2<21.38<21.6,即c0,即a<1时,41-a=2a-(a-1),解得a=;当1-a<0,即a>1时,2a-(1-a)=4a-1,此方程无解.综上所述,a=.
3.不等式2-x2+2x>x+4的解集为________.
答案 {x|-1x+4,
∴ x2-2x >x+4,
∴x2-2x0,且a≠1)型函数最值问题多用换元法,即令t=ax转化为y=t2+bt+c的最值问题,注意根据指数函数求t的范围.
(2)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)型函数最值问题,可令t=f(x),则y=at,先由x的取值范围求t的取值范围,再求y=at的最值.如举例说明4.
4.对于形如y=af(x)的函数的单调性
(1)若a>1,函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调增(减)区间;
(2)若0b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
答案 A
解析 ∵指数函数y=0.4x为减函数,0.2<0.6,
∴0.40.2>0.40.6,∴b>c.
∵幂函数y=x0.2为增函数,2>0.4,
∴20.2>0.40.2,
∴a>b,∴a>b>c.
2.函数f(x)=-x2+2x+1的单调减区间为________.
答案 (-∞,1]
解析 设u=-x2+2x+1,
因为y=u在R上为减函数,
所以函数f(x)=-x2+2x+1的单调减区间即为函数u=-x2+2x+1的单调增区间.
又u=-x2+2x+1的单调增区间为(-∞,1],
所以f(x)的单调减区间为(-∞,1].
3.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是________.
答案 (-3,1)
解析 当a<0时,不等式f(a)<1可化为a-7<1,
即a<8,即a<-3,
∴a>-3.又a<0,∴-3