• 291.50 KB
  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习人教B版 独立重复试验与二项分布(理) 学案

  • 10页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
独立重复试验与二项分布 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1.理解n次独立重复试验模型及二项分布.‎ ‎ 2.能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题.‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、n次独立重复试验 每次试验只考虑两种可能结果与,并且事件发生的概率相同。在相同的条件下重复地做次试验,各次试验的结果相互独立,称为次独立重复试验。‎ 要点诠释:‎ 在次独立重复试验中,一定要抓住四点:‎ ‎①每次试验在同样的条件下进行;‎ ‎②每次试验只有两种结果与,即某事件要么发生,要么不发生; ‎ ‎③每次试验中,某事件发生的概率是相同的;‎ ‎④各次试验之间相互独立。‎ 总之,独立重复试验,是在同样的条件下重复的,各次之间相互独立地进行的一种试验,在这种试验中,每一次的试验结果只有两种,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。‎ 要点二、独立重复试验的概率公式 ‎1.定义 如果事件A在一次试验中发生的概率为P,那么n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为:‎ ‎(k=0,1,2,…,n).‎ 令得,在n次独立重复试验中,事件A没有发生的概率为 令得,在n次独立重复试验中,事件A全部发生的概率为。‎ 要点诠释:‎ ‎1. 在公式中,n是独立重复试验的次数,p是一次试验中某事件A发生的概率,k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数,只有弄清公式中n,p,k的意义,才能正确地运用公式.‎ ‎2. 独立重复试验是相互独立事件的特例,就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便.‎ 要点三、n次独立重复试验常见实例:‎ ‎1.反复抛掷一枚均匀硬币 ‎2.已知产品率的抽样 ‎3.有放回的抽样 ‎4.射手射击目标命中率已知的若干次射击 要点诠释:‎ 抽样问题中的独立重复试验模型:‎ ‎①从产品中有放回地抽样是独立事件,可按独立重复试验来处理;‎ ‎②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件,只能用等可能事件计算;‎ ‎③从大批量的产品中无放回地抽样,每次得到某种事件的概率是不一样的,但由于差别太小,相当于是独立事件,所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。‎ 要点四、离散型随机变量的二项分布 ‎1. 定义:‎ 在一次随机试验中,事件A可能发生也可能不发生,在次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量.如果在一次试验中事件A发生的概率是,则此事件不发生的概率为,那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是 ‎,().‎ 于是得到离散型随机变量的概率分布如下:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ k ‎…‎ n P ‎…‎ ‎…‎ 由于表中第二行恰好是二项展开式 中各对应项的值,所以称这样的随机变量服从参数为,的二项分布,记作.‎ 要点诠释:‎ 判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三:‎ 其一是独立性。即每次试验的结果是相互独立的;‎ 其二是重复性。即试验独立重复地进行了n次;‎ 其三是试验的结果的独特性。即一次试验中,事件发生与不发生,二者必居其一。‎ ‎2.如何求有关的二项分布 ‎(1)分清楚在n次独立重复试验中,共进行了多少次重复试验,即先确定n的值,然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少,即确定p的值,最后再确定某事件A恰好发生了多少次,即确定k的值;‎ ‎(2)准确算出每一种情况下,某事件A发生的概率;‎ ‎(3)用表格形式列出随机变量的分布列。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、独立重复试验的概率 例1. 有一批种子,每粒发芽的概率为0.90,播下5粒种子,计算:‎ ‎ (1)其中恰有4粒发芽的概率(结果保留两个有效数字);‎ ‎ (2)其中至少有4粒发芽的概率(结果保留两个有效数字).‎ ‎ 【思路点拨】 播下5粒种子相当于做了5次独立重复试验.利用独立重复试验公式即可.‎ ‎ 【解析】 (1)播下5粒种子相当于做了5次独立重复试验,根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式,5粒种子恰好4粒发芽的概率为 ‎ .‎ ‎ (2)5粒种子至少有4粒发芽的概率,就是5粒种子恰有4粒发芽与5粒种子都发芽的概率的和,‎ ‎ 即.‎ ‎【总结升华】 解决此类问题,首先应明确是否是n次独立重复试验,其次要弄清公式中n和k的值以及p的值.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】某气象站天气预报的准确率为,计算(结果保留两个有效数字):‎ ‎(1)5次预报中恰有4次准确的概率;‎ ‎(2)5次预报中至少有4次准确的概率 ‎【答案】‎ ‎(1)记“预报1次,结果准确”为事件.则,‎ 且预报5次相当于5次独立重复试验,‎ 故5次预报中恰有4次准确的概率;‎ ‎(2)5次预报中至少有4次准确的概率:‎ ‎ ‎ ‎ 【变式2】(2015秋 青海校级期末)若,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎。‎ ‎【变式3】某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是,求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少?(结果保留两个有效数字)‎ ‎【答案】记事件=“1小时内,1台机器需要人照管”,1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验 ‎1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率,‎ ‎1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率,‎ 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为 答:1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为.‎ ‎【高清课堂:独立重复试验与二项分布409089 例题1】‎ 例2.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定5局3胜(即5局内谁先赢3局就算胜出,并停止比赛)‎ ‎(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率;‎ ‎(2)按比赛规则甲获胜的概率。‎ ‎【思路点拨】首先要真正弄明白打完4局、5局才能取胜的比赛具体情况。‎ ‎【解析】(1)甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲、乙获胜的概率均为,‎ 记事件A=“甲打完3局就取胜”,‎ 记事件B=“甲打完4局才能取胜”,‎ 记事件C=“甲打完5局才能取胜”。‎ ‎①甲打完3局取胜,相当于进行3次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜 ‎∴甲打完3局取胜的概率为.‎ ‎②甲打完4局才能取胜,相当于进行4次独立重复试验,且甲第4局比赛取胜,前3局为2胜1负 ‎∴甲打完4局才能取胜的概率为.‎ ‎③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验,且甲第5局比赛取胜,前4局恰好2胜2负 ‎∴甲打完5局才能取胜的概率为.‎ ‎(2)事件=“按比赛规则甲获胜”,则,‎ 又因为事件、、彼此互斥,‎ ‎∴按比赛规则甲获胜的概率为. ‎ ‎【总结升华】在“五局三胜制”的规则下,比赛不一定要打满五局,这就要根据实际比赛情况分类讨论,切不可盲目套用n次独立重复试验概率公式,否则会得到错误的结论。‎ 本题中,无论比赛几局,只要甲获胜,必须甲在最末一局胜,如比赛4局,甲以3:1获胜,须前三局中甲胜二局负一局,第四局甲胜. ‎ 举一反三:‎ ‎【变式】甲乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,那么采取三局两胜制还是五局三胜制对甲更有利?你对局制长短的设置有何认识?‎ ‎【答案】三局两胜制中,甲获胜分三种情形:甲连胜两局;甲前两局中胜一局,第三局胜.‎ 故P(甲获胜)=0.62+×0.62×0.4=0.648.‎ 五局三胜制中,甲获胜分三种情形:甲连胜三局;甲前三局中胜两局,第四局胜;甲前四局中胜两局,第五局胜.‎ 故P(甲获胜)=0.63+×0.63×0.4+×0.63×0.42≈0.683.‎ 可以看出五局三胜制对甲有利,并由此可以猜测比赛的总局数越多甲获胜的概率越大.因此,为使比赛公平,比赛的局数不能太少.‎ 类型二、离散型随机变量的二项分布 例3.已知一袋中装有6个黑球,4个白球,有放回地依次取出3个球,求取到的白球个数X的分布列。‎ ‎【思路点拨】有放回地依次取出3个球,相当于三次独立重复试验,其取到的白球个数X服从二项分布,即,故可用n次独立重复试验的概率公式来计算,从而写出分布列。‎ ‎【解析】设“取一次球,取到白球”为事件A,可得,,‎ 因为这三次摸球互不影响,所以 ‎。‎ 所以离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【总结升华】‎ ‎①本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验,然后确定每次试验的结果相互独立,从而可知离散型随机变量X服从二项分布,即,然后运用n次独立重复试验的概率公式计算。‎ ‎②注意n次独立重复试验中,离散型随机变量X服从二项分布,即,这里n是独立重复试验的次数,p是每次试验中某事件发生的概率。‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】(2015春 葫芦岛期末)设随机变量服从X~B(2,P),Y~B(3,P),若,则P(Y=2)=________‎ ‎【答案】 ‎ ‎∵随机变量服从X~B(2,P),‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为:‎ ‎【变式2】9粒种子分别种在3个坑内,每个坑内种3粒种子,每粒种子发芽的概率为0.5,若一个坑内至少有一粒种子发芽,则这个坑就不需要补种,若一个坑内的种子都没有发芽,则这个坑就需要补种,假定每个坑至多补种一次,每补种子1次需10元,写出补种费用X的分布列。(精确到0.01)‎ ‎【答案】因为单个坑内3粒子种都不发芽的概率为,‎ 所以单个坑内不需要补种的概率为;‎ ‎3个坑都不需要补种的概率为;‎ 恰有1个坑需要补种的概率为;‎ 恰有2个坑需要补种的概率为;‎ ‎3个坑都需要补种的概率为。‎ 所以补种费用X的分布列为 X ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ P ‎0.670‎ ‎0.287‎ ‎0.041‎ ‎0.002‎ ‎【变式3】 某射手击中目标的概率为0.8,现有4发子弹,击中目标或打完子弹就停止射击,求射击次数X的概率分布.‎ ‎ 【答案】‎ 错解: X的可能取值是1,2,3,4.‎ ‎ P(X=1)=0.8;;‎ ‎ ;‎ ‎ .‎ ‎ 所以X的概率分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.8‎ ‎0.32‎ ‎0.096‎ ‎0.0256‎ ‎ 错解分析: 错将本题理解为二项分布,本题实质上不是二项分布,而是求事件A首次发生出现在第k次试验中的概率,要使首次发生出现在第k次试验,必须而且只需在前(k-1)次试验中都出现.‎ ‎ 正解 X的可能取值是1,2,3,4.‎ ‎ P(X=1)=0.8;P(X=2)=0.2×0.8=0.16;‎ ‎ P(X=3)=0.22×0.8=0.032;P(X=4)=0.23=0.008.‎ 所以X的概率分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.8‎ ‎0.16‎ ‎0.032‎ ‎0.008‎ 类型三、独立重复试验与二项分布综合应用 例4.某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为,且每次射击的结果互不影响,已知射手射击了5次,求:‎ ‎(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率;‎ ‎(2)其中恰有3次击中目标的概率;‎ ‎(3)其中恰有3次连续击中目标,而其他两次没有击中目标的概率。‎ ‎【思路点拨】由于“每次射击击中目标”的概率相同,各次射击的结果互不影响,相互独立,所以射击5次,即为5次独立重复试验。‎ ‎【解析】‎ ‎(1)该射手射击了5次,其中只在第一、三、五次击中目标,‎ 相当于射击了5次,在第一、三、五次击中目标,在第二、四次没有击中目标,所以只有一种情况,‎ 又因为各次射击的结果互不影响,‎ 故所求概率为;‎ ‎(2)法一:该射手射击了5次,其中恰有3次击中目标。‎ 相当于5次当中选3次击中,其余两次未击中,共有种情况。‎ 故所求概率为;‎ 法二:因为各次射击的结果互不影响,所以符合n次独立重复试验概率模型。‎ 该射手射击了5次,其中恰有3次击中目标的概率为 ‎;‎ ‎(3)该射手射击了5次,其中恰有3次连续击中目标,而其他两次没有目标,‎ 把3次连续击中目标看成一个整体,可得共有种情况。‎ 故所求概率为。‎ ‎【总结升华】注意“恰有k次发生”和“某指定的k次发生”的差异。‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】某人对一目标进行射击,每次命中率都是0.25,若使至少命中1次的概率不小于0.75,至少应射击几次?‎ ‎【答案】设要使至少命中1次的概率不小于0.75,应射击次 记事件=“射击一次,击中目标”,则.‎ ‎∵射击次相当于次独立重复试验,‎ ‎∴事件至少发生1次的概率为.‎ 由题意,令,∴,∴,‎ ‎∴至少取5.‎ 答:要使至少命中1次的概率不小于0.75,至少应射击5次 ‎【变式2】甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 .假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响; 每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响. ‎ ‎(1)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;‎ ‎(2)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?‎ ‎【答案】‎ ‎(1)记“甲连续射击4次,至少1次未击中目标”为事件A1,由题意,射击4次,相当于4次独立重复试验,故P(A1)=‎ 答:甲射击4次,至少1次未击中目标的概率为 ;‎ ‎(2) 记“乙恰好射击5次后,被中止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中” 为事件Di,(i=1,2,3,4,5),则 ,由于各事件相互独立,‎ 故 答:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是 ‎ ‎【高清课堂:独立重复试验与二项分布409089 例题5】‎ ‎【变式3】某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。‎ ‎(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;‎ ‎(Ⅱ)求中奖人数ξ的分布列.‎ ‎【答案】(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么 P(A)=P(B)=P(C)=‎ P()=P(A)P()P()=‎ 答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分 ‎(2)ξ的可能值为0,1,2,3‎ P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)‎ 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 例6.一袋中装有分别标记着1、2、3、4 数字的4个球, 从这只袋中每次取出1个球, 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为ξ.(1) 求ξ=3时的概率; (2) 求ξ的概率分布列.‎ ‎【思路点拨】取出的三个球中数字最大者为3的事件分为三类,每类为典型的独立重复试验。‎ ‎【答案】‎ ‎ (1) ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3‎ ‎①三次取球均出现最大数字为3的概率 P1=‎ ‎②三取取球中有2次出现最大数字3的概率 ‎③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率 三次取出的球中数字最大的数为3的概率 ‎(2) 在ξ=k时, 利用(1)的原理可知: ‎ ‎ (k=1,2,3,4). ξ 的概率分布列为: ‎ ξ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【总结升华】本题主要考查限制条件下的概率计算.处理离散型变量时,注意正确判断随机变量的取值,全面剖析各个随机变量所包含的各种事件及相互关系,准确计算变量的每个取值的概率。‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】一厂家向用户提供的一箱产品共10件,其中有2件次品,用户先对产品进行抽检以决定是否接收.抽检规则是这样的:一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子),若前三次没有抽查到次品,‎ 则用户接收这箱产品;若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检,并且用户拒绝接收这箱产品.‎ ‎(1)求这箱产品被用户接收的概率;‎ ‎(2)记抽检的产品件数为,求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1)设“这箱产品被用户接收”为事件,. ‎ 即这箱产品被用户接收的概率为. ‎ ‎(2)的可能取值为1,2,3. ‎ ‎=, ‎ ‎=, ‎ ‎=, ‎ ‎∴的概率分布列为:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ∴=. ‎ ‎【变式2】厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品。‎ ‎ (I)若厂家库房中的每件产品合格率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率。‎ ‎ (Ⅱ)若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任意取2件进行检验,只有2件产品都合格才接收这批产品,否则拒收,求该商家检验出不合格产品数X的分布列,并求该商家拒收这批产品的概率。‎ ‎【答案】‎ ‎(I)记“厂家任意取出4件产品检验,其中至少有一件是合格品“为事件A,‎ 则 ‎(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,‎ 所以的概率分布为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎

相关文档