【数学】2020届一轮复习人教B版 独立重复试验与二项分布（理） 学案 10页

独立重复试验与二项分布 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．理解n次独立重复试验模型及二项分布．‎ ‎ 2．能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题．‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、n次独立重复试验 每次试验只考虑两种可能结果与，并且事件发生的概率相同。在相同的条件下重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，称为次独立重复试验。‎ 要点诠释：‎ 在次独立重复试验中，一定要抓住四点：‎ ‎①每次试验在同样的条件下进行；‎ ‎②每次试验只有两种结果与，即某事件要么发生，要么不发生； ‎ ‎③每次试验中，某事件发生的概率是相同的；‎ ‎④各次试验之间相互独立。‎ 总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。‎ 要点二、独立重复试验的概率公式 ‎1.定义 如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：‎ ‎（k=0，1，2，…，n）．‎ 令得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为 令得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为。‎ 要点诠释：‎ ‎1. 在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n，p，k的意义，才能正确地运用公式．‎ ‎2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．‎ 要点三、n次独立重复试验常见实例：‎ ‎1.反复抛掷一枚均匀硬币 ‎2.已知产品率的抽样 ‎3.有放回的抽样 ‎4.射手射击目标命中率已知的若干次射击 要点诠释：‎ 抽样问题中的独立重复试验模型：‎ ‎①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理；‎ ‎②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；‎ ‎③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。‎ 要点四、离散型随机变量的二项分布 ‎1. 定义：‎ 在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是 ‎，（）．‎ 于是得到离散型随机变量的概率分布如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ k ‎…‎ n P ‎…‎ ‎…‎ 由于表中第二行恰好是二项展开式 中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作．‎ 要点诠释：‎ 判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：‎ 其一是独立性。即每次试验的结果是相互独立的；‎ 其二是重复性。即试验独立重复地进行了n次；‎ 其三是试验的结果的独特性。即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。‎ ‎2．如何求有关的二项分布 ‎（1）分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，即确定k的值；‎ ‎（2）准确算出每一种情况下，某事件A发生的概率；‎ ‎（3）用表格形式列出随机变量的分布列。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、独立重复试验的概率 例1． 有一批种子，每粒发芽的概率为0.90，播下5粒种子，计算：‎ ‎ （1）其中恰有4粒发芽的概率（结果保留两个有效数字）；‎ ‎ （2）其中至少有4粒发芽的概率（结果保留两个有效数字）．‎ ‎ 【思路点拨】 播下5粒种子相当于做了5次独立重复试验．利用独立重复试验公式即可．‎ ‎ 【解析】 （1）播下5粒种子相当于做了5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式，5粒种子恰好4粒发芽的概率为 ‎ ．‎ ‎ （2）5粒种子至少有4粒发芽的概率，就是5粒种子恰有4粒发芽与5粒种子都发芽的概率的和，‎ ‎ 即．‎ ‎【总结升华】 解决此类问题，首先应明确是否是n次独立重复试验，其次要弄清公式中n和k的值以及p的值．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留两个有效数字）：‎ ‎（1）5次预报中恰有4次准确的概率；‎ ‎（2）5次预报中至少有4次准确的概率 ‎【答案】‎ ‎（1）记“预报1次，结果准确”为事件．则，‎ 且预报5次相当于5次独立重复试验，‎ 故5次预报中恰有4次准确的概率；‎ ‎（2）5次预报中至少有4次准确的概率：‎ ‎ ‎ ‎ 【变式2】（2015秋 青海校级期末）若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎。‎ ‎【变式3】某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）‎ ‎【答案】记事件＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验 ‎1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率，‎ ‎1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率，‎ 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为 答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为．‎ ‎【高清课堂：独立重复试验与二项分布409089 例题1】‎ 例2．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜（即5局内谁先赢3局就算胜出，并停止比赛）‎ ‎（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；‎ ‎（2）按比赛规则甲获胜的概率。‎ ‎【思路点拨】首先要真正弄明白打完4局、5局才能取胜的比赛具体情况。‎ ‎【解析】（1）甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲、乙获胜的概率均为，‎ 记事件A=“甲打完3局就取胜”，‎ 记事件B=“甲打完4局才能取胜”，‎ 记事件C=“甲打完5局才能取胜”。‎ ‎①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜 ‎∴甲打完3局取胜的概率为．‎ ‎②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负 ‎∴甲打完4局才能取胜的概率为．‎ ‎③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负 ‎∴甲打完5局才能取胜的概率为．‎ ‎(2)事件＝“按比赛规则甲获胜”，则，‎ 又因为事件、、彼此互斥，‎ ‎∴按比赛规则甲获胜的概率为． ‎ ‎【总结升华】在“五局三胜制”的规则下，比赛不一定要打满五局，这就要根据实际比赛情况分类讨论，切不可盲目套用n次独立重复试验概率公式，否则会得到错误的结论。‎ 本题中，无论比赛几局，只要甲获胜，必须甲在最末一局胜，如比赛4局，甲以3：1获胜，须前三局中甲胜二局负一局，第四局甲胜． ‎ 举一反三：‎ ‎【变式】甲乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采取三局两胜制还是五局三胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？‎ ‎【答案】三局两胜制中，甲获胜分三种情形：甲连胜两局；甲前两局中胜一局，第三局胜．‎ 故P(甲获胜)＝0.62＋×0.62×0.4＝0.648.‎ 五局三胜制中，甲获胜分三种情形：甲连胜三局；甲前三局中胜两局，第四局胜；甲前四局中胜两局，第五局胜．‎ 故P(甲获胜)＝0.63＋×0.63×0.4＋×0.63×0.42≈0.683.‎ 可以看出五局三胜制对甲有利，并由此可以猜测比赛的总局数越多甲获胜的概率越大．因此，为使比赛公平，比赛的局数不能太少．‎ 类型二、离散型随机变量的二项分布 例3.已知一袋中装有6个黑球，4个白球，有放回地依次取出3个球，求取到的白球个数X的分布列。‎ ‎【思路点拨】有放回地依次取出3个球，相当于三次独立重复试验，其取到的白球个数X服从二项分布，即，故可用n次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。‎ ‎【解析】设“取一次球，取到白球”为事件A，可得，，‎ 因为这三次摸球互不影响，所以 ‎。‎ 所以离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【总结升华】‎ ‎①本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量X服从二项分布，即，然后运用n次独立重复试验的概率公式计算。‎ ‎②注意n次独立重复试验中，离散型随机变量X服从二项分布，即，这里n是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】（2015春 葫芦岛期末）设随机变量服从X～B（2，P），Y～B（3，P），若，则P（Y=2）=________‎ ‎【答案】 ‎ ‎∵随机变量服从X～B（2，P），‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【变式2】9粒种子分别种在3个坑内，每个坑内种3粒种子，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有一粒种子发芽，则这个坑就不需要补种，若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑就需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种子1次需10元，写出补种费用X的分布列。（精确到0.01）‎ ‎【答案】因为单个坑内3粒子种都不发芽的概率为，‎ 所以单个坑内不需要补种的概率为；‎ ‎3个坑都不需要补种的概率为；‎ 恰有1个坑需要补种的概率为；‎ 恰有2个坑需要补种的概率为；‎ ‎3个坑都需要补种的概率为。‎ 所以补种费用X的分布列为 X ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ P ‎0.670‎ ‎0.287‎ ‎0.041‎ ‎0.002‎ ‎【变式3】 某射手击中目标的概率为0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X的概率分布．‎ ‎ 【答案】‎ 错解： X的可能取值是1，2，3，4．‎ ‎ P（X=1）=0.8；；‎ ‎ ；‎ ‎ ．‎ ‎ 所以X的概率分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.8‎ ‎0.32‎ ‎0.096‎ ‎0.0256‎ ‎ 错解分析： 错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A首次发生出现在第k次试验中的概率，要使首次发生出现在第k次试验，必须而且只需在前（k－1）次试验中都出现．‎ ‎ 正解 X的可能取值是1，2，3，4．‎ ‎ P（X=1）=0.8；P（X=2）=0.2×0.8=0.16；‎ ‎ P（X=3）=0.22×0.8=0.032；P（X=4）=0.23=0.008．‎ 所以X的概率分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.8‎ ‎0.16‎ ‎0.032‎ ‎0.008‎ 类型三、独立重复试验与二项分布综合应用 例4．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：‎ ‎（1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率；‎ ‎（2）其中恰有3次击中目标的概率；‎ ‎（3）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率。‎ ‎【思路点拨】由于“每次射击击中目标”的概率相同，各次射击的结果互不影响，相互独立，所以射击5次，即为5次独立重复试验。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，‎ 相当于射击了5次，在第一、三、五次击中目标，在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，‎ 又因为各次射击的结果互不影响，‎ 故所求概率为；‎ ‎（2）法一：该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标。‎ 相当于5次当中选3次击中，其余两次未击中，共有种情况。‎ 故所求概率为；‎ 法二：因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型。‎ 该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率为 ‎；‎ ‎（3）该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有目标，‎ 把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有种情况。‎ 故所求概率为。‎ ‎【总结升华】注意“恰有k次发生”和“某指定的k次发生”的差异。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？‎ ‎【答案】设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次 记事件＝“射击一次，击中目标”，则．‎ ‎∵射击次相当于次独立重复试验，‎ ‎∴事件至少发生1次的概率为．‎ 由题意，令，∴，∴，‎ ‎∴至少取5．‎ 答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次 ‎【变式2】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. ‎ ‎（１）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；‎ ‎（２）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？‎ ‎【答案】‎ ‎（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=‎ 答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为 ；‎ ‎(2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则 ，由于各事件相互独立，‎ 故 答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是 ‎ ‎【高清课堂：独立重复试验与二项分布409089 例题5】‎ ‎【变式3】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。‎ ‎（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列.‎ ‎【答案】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么 P(A)=P(B)=P(C)=‎ P()=P(A)P()P()=‎ 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分 ‎（2）ξ的可能值为0,1,2,3‎ P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)‎ 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 例6．一袋中装有分别标记着1、2、3、4 数字的4个球, 从这只袋中每次取出1个球, 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为ξ.(1) 求ξ=3时的概率; (2) 求ξ的概率分布列.‎ ‎【思路点拨】取出的三个球中数字最大者为3的事件分为三类，每类为典型的独立重复试验。‎ ‎【答案】‎ ‎ (1) ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3‎ ‎①三次取球均出现最大数字为3的概率 P1=‎ ‎②三取取球中有2次出现最大数字3的概率 ‎③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率 三次取出的球中数字最大的数为3的概率 ‎(2) 在ξ=k时, 利用(1)的原理可知: ‎ ‎ (k=1,2,3,4). ξ 的概率分布列为: ‎ ξ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【总结升华】本题主要考查限制条件下的概率计算.处理离散型变量时，注意正确判断随机变量的取值，全面剖析各个随机变量所包含的各种事件及相互关系，准确计算变量的每个取值的概率。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，‎ 则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.‎ ‎（1）求这箱产品被用户接收的概率；‎ ‎（2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）设“这箱产品被用户接收”为事件，. ‎ 即这箱产品被用户接收的概率为． ‎ ‎（2）的可能取值为1，2，3． ‎ ‎=， ‎ ‎=， ‎ ‎=， ‎ ‎∴的概率分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ∴=． ‎ ‎【变式2】厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。‎ ‎ （I）若厂家库房中的每件产品合格率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格的概率。‎ ‎ （Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任意取2件进行检验，只有2件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数X的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率。‎ ‎【答案】‎ ‎（I）记“厂家任意取出4件产品检验，其中至少有一件是合格品“为事件A，‎ 则 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，‎ 所以的概率分布为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎