【数学】2018届一轮复习人教A版第十章计数原理、概率第3讲二项式定理学案 6页

第3讲　二项式定理 最新考纲　1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.二项式定理 ‎(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；‎ ‎(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；‎ ‎(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.‎ ‎2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N*)时，是递增的 当k＞(n∈N*)时，是递减的 二项式 系数最 大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与取最大值 ‎3.各二项式系数和 ‎(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)Can－kbk是二项展开式的第k项.(　　)‎ ‎(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　)‎ ‎(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　)‎ ‎(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.(　　)‎ 解析　二项式展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)‎ A.C B.C C.C D.(－1)m－‎1C 解析　(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1.‎ 答案　D ‎3.(选修2－3P35练习T1(3)改编)‎ 的值为(　　)‎ A.2 B.4‎ C.2 017 D.2 016×2 017‎ 解析　原式＝＝22＝4.‎ 答案　B ‎4.(2017·瑞安市质检)的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________.‎ 解析　展开式通项为Tr＋1＝Cx2(9－r) ‎＝(－1)rCx18－3r(其中r＝0，1，…，9)‎ ‎∴T4＝(－1)‎3Cx9，‎ 故第4项的二项式系数为C＝84，第4项的系数为 ‎(－1)‎3‎C＝－.‎ 答案　84　－ ‎5.(2017·石家庄调研)(1＋x)n的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n＝________.‎ 解析　(1＋x)n的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以＋1＝6，n＝10.‎ 答案　10‎ ‎6.展开式中的常数项为________.‎ 解析　Tk＋1＝C(x2)5－k＝C(－2)kx10－5k.令10－5k＝0，则k＝2.∴常数项为T3＝C(－2)2＝40.‎ 答案　40‎ 考点一　求展开式中的特定项或特定项的系数 ‎【例1】 已知在的展开式中，第6项为常数项.‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)求含x2的项的系数；‎ ‎(3)求展开式中所有的有理项.‎ 解　(1)通项公式为 Tk＋1＝Cxx－＝Cx.‎ 因为第6项为常数项，所以k＝5时，＝0，即n＝10.‎ ‎(2)令＝2，得k＝2，‎ 故含x2的项的系数是C＝.‎ ‎(3)根据通项公式，由题意 令＝r (r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，‎ ‎∵k∈N，∴r应为偶数.‎ ‎∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，‎ ‎∴第3项，第6项与第9项为有理项，‎ 它们分别为x2，－，x－2.‎ 规律方法　(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.‎ ‎(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.‎ ‎【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A.10 B‎.20 ‎ C.30 D.60‎ ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________(用数字作答).‎ ‎(3)(2014·全国Ⅰ卷)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字作答).‎ 解析　(1)法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，‎ 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.‎ 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC＝30.‎ 法二　(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.‎ ‎∴x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x2，一个取x.因此x5y2的系数为CCC＝30.‎ ‎(2)由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝‎ ‎25－rCx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10.‎ ‎(3)(x－y)(x＋y)8＝x(x＋y)8－y(x＋y)8，‎ ‎∵x(x＋y)8中含x2y7的项为x·Cxy7，y(x＋y)8中含x2y7的项为y·Cx2y6.‎ 故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C－C＝C－C＝－20.‎ 答案　(1)C　(2)10　(3)－20‎ 考点二　二项式系数的和与各项的系数和问题 ‎【例2】 在(2x－3y)10的展开式中，求：‎ ‎(1)二项式系数的和；‎ ‎(2)各项系数的和；‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；‎ ‎(4)奇数项系数和与偶数项系数和；‎ ‎(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.‎ 解　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)‎ 各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.‎ 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.‎ ‎(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.‎ ‎(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，‎ 偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.‎ ‎(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①‎ 令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，‎ 得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②‎ ‎①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，‎ ‎∴奇数项系数和为；‎ ‎①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，‎ ‎∴偶数项系数和为.‎ ‎(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；‎ x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.‎ 规律方法　(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.‎ ‎(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为(　　)‎ A.－‎27C B‎.27C C.－‎9C D‎.9C ‎(2)(2017·义乌调研)(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝(　　)‎ A.1 024 B‎.243 ‎ C.32 D.24‎ 解析　(1)令x＝1得2n＝512，所以n＝9，故的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x2)9－r＝(－1)rC·39－rx18－3r，令18－3r＝0得r＝6，所以常数项为T7＝(－1)‎6C·33＝‎27C.‎ ‎(2)令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.‎ 答案　(1)B　(2)A 考点三　二项式定理的应用 ‎【例3】 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除；‎ ‎(2)用二项式定理证明2n>2n＋1(n≥3，n∈N*).‎ 证明　(1)∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝ ‎＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1‎ ‎＝C×31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋C－1‎ ‎＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，‎ 显然C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C为整数，‎ ‎∴原式能被31整除.‎ ‎(2)当n≥3，n∈N*.‎ ‎2n＝(1＋1)n＝C＋C＋…＋C＋C≥C＋C＋C＋C＝2n＋2>2n＋1，∴不等式成立.‎ 规律方法　(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.‎ ‎(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.‎ ‎(3)由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.‎ ‎【训练3】 求S＝C＋C＋…＋C除以9的余数.‎ 解　S＝C＋C＋…＋C＝227－1＝89－1‎ ‎＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1‎ ‎＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2.‎ ‎∵C×98－C×97＋…＋C是整数，‎ ‎∴S被9除的余数为7.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.‎ ‎2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.通项Tk＋1＝Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，n.‎ ‎2.区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.‎ ‎3.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念. ‎