【数学】2018届一轮复习人教A版（理）8-1空间几何体的结构特征、三视图、直观图学案 13页

‎§8.1　空间几何体的结构特征、三视图、直观图 考纲展示►　1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．‎ ‎2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．‎ ‎3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．‎ 考点1　空间几何体的结构特征 空间几何体的结构特征 多面体 ‎(1)棱柱的侧棱都______，上、下底面是______且平行的多边形．‎ ‎(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．‎ ‎(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是________多边形 旋转体 ‎(1)圆柱可以由________绕其任一边所在直线旋转得到．‎ ‎(2)圆锥可以由直角三角形绕其________所在直线旋转得到．‎ ‎(3)圆台可以由直角梯形绕________所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．‎ ‎(4)球可以由半圆面或圆面绕________所在直线旋转得到 答案：(1)平行且相等　全等　(3)相似 ‎(1)矩形　(2)直角边　(3)直角腰　(4)直径 ‎(1)[教材习题改编]一个几何体由5个面围成，其中两个面是互相平行且全等的三角形，其他面都是全等的矩形，则该几何体是________；一个等腰直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周后形成的封闭曲面所围成的几何体是________．‎ 答案：三棱柱　两个同底的圆锥 解析：根据多面体和旋转体的概念知，第一个几何体是三棱柱，第二个几何体是两个同底的圆锥．‎ ‎(2)[教材习题改编]如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，若图①是正视图，则图②是________，图③是________．‎ ‎　‎ 答案：侧视图　俯视图 解析：根据三视图的概念知，图②是侧视图，图③是俯视图.‎ 空间几何体的认识误区．‎ 给出下面四种说法：①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；④棱台各侧棱的延长线交于一点．其中错误说法的序号为________．‎ 答案：①②③‎ 解析：①如果上、下两个面平行，但不全等，即使其余各面是四边形，那也不可能是棱柱．②如图所示，平面ABC∥平面A1B‎1C1，但图中的几何体不是棱柱．‎ ‎③棱锥的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．‎ ‎④棱台是由棱锥截得的，故侧棱延长线交于一点．‎ ‎ [典题1]　(1)给出下列四个命题：‎ ‎①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．3‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组 成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．‎ ‎(2)下列说法中正确的是________．‎ ‎①有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面组成的几何体是棱锥；‎ ‎②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；‎ ‎③用一个平面去截棱锥，可得到一个棱锥和一个棱台；‎ ‎④棱锥的各侧棱长相等．‎ ‎[答案]　②‎ ‎[解析]　棱锥的侧面三角形有一个公共顶点，故①错误；三棱锥又叫四面体，其各个面都是三角形，都可以作为棱锥的底面，故②正确；用平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分叫做棱台，故③错误；④明显错误．‎ ‎[点石成金]　解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 ‎(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．‎ ‎(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．‎ ‎(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．‎ 考点2　空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用________得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是________的，三视图包括________、________、________.‎ 答案：正投影　完全相同　正视图　侧视图　‎ 俯视图 三视图：注意三个视图之间的长度关系．‎ 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．‎ 答案：48‎ 解析：由三视图可知，上面是一个长为4、宽为2、高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是上、下底分别为2,6，高为2的梯形．又长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4××2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48.‎ 角度一 由三视图还原几何体 ‎[典题2]　[2017·河南郑州模拟]若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)‎ ‎　‎ ‎　 A　　　　 B　 　　　 C　　　 　D ‎[答案]　D ‎[解析]　A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.‎ 角度二 由空间几何体的直观图判断三视图 ‎[典题3]　一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)‎ ‎　‎ ‎　 A　　　 　 　B　　　　 C　　　　　 D ‎[答案]　B ‎[解析]　由直观图可知，该几何体是由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．故选B.‎ 角度三 由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图 ‎[典题4]　[2017·吉林长春模拟]已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中 AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________．(把你认为正确的图的序号都填上)‎ ‎[答案]　①②③④‎ ‎[解析]　直观图如图①的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为题图①；直观图如图②的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为题图②；直观图如图③的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为题图③；直观图如图④的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为题图④.‎ ‎　‎ ‎　①　　　 　　②　　　 ③　　　 　　④‎ ‎[点石成金]　三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ 考点3　空间几何体的直观图 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：‎ ‎(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．‎ ‎(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．‎ ‎ [典题5]　已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)‎ A.a2 B.a2 ‎ C.a2 D.a2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　图①所示的是△ABC的实际图形，图②是△ABC的直观图．‎ ‎　‎ 由图①②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.‎ ‎[点石成金]　用斜二测画法画直观图的技巧 ‎(1)在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行；‎ ‎(2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线；‎ ‎(3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出．‎ 如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC的面积．‎ 解：建立如图所示的坐标系xOy′，‎ ‎△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，边A′B′在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．‎ 已知A′B′＝A′C′＝a，‎ 在△OA′C′中，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 所以OC′＝a＝a，‎ 所以原三角形ABC的高OC＝a，‎ 所以S△ABC＝×a×a＝a2.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·天津卷]将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ ‎ A　　　　 B　　 　C　　　　 D 答案：B 解析：由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.‎ ‎2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)‎ A．6 B. 4 ‎ C．6 D．4‎ 答案：C 解析：如图，侧面SBC⊥底面ABC.‎ 点S在底面ABC的射影点O是BC的中点，△ABC为直角三角形．‎ ‎∵AB＝4，BO＝2，∴AO＝，SO⊥底面ABC，∴SO⊥AO，SO＝4，∴最长的棱AS＝＝6.‎ ‎3．[2015·北京卷]某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(　　)‎ A．1 B. ‎ C. D．2‎ 答案：C 解析：根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝，在Rt△VBD中，VD＝＝.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 三视图识图中的易误辨析 ‎ [典例]　在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)‎ ‎　‎ A．①和② B．③和① ‎ C．④和③ D．④和②‎ ‎[错解]　由已知该几何体正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别为(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)，且内有一实线，故正视图为①，俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别为(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图为②.‎ ‎[错因分析]　(1)不能由点的坐标确定点在空间直角坐标系中的位置．(2)不能借助于正方体，由空间几何体的直观图得到它的三视图．(3)受思维定势的影响，直观感觉正视图为三角形，而无法作出选择．‎ ‎[解析]　在空间直角坐标系中，构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②，故选D.‎ ‎[自我矫正]　D 答题启示 对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，再画其三视图．另外要注意交线的位置，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出， 但要画成虚线，即一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．‎