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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版(文)1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案

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‎ 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解命题的概念.‎ ‎2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.‎ ‎3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.‎ 命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式,多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇,考查学生的推理能力,题型为选择、填空题,低档难度.‎ ‎1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.‎ ‎2.四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性;‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 知识拓展 从集合的角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为:‎ ‎(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;‎ ‎(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;‎ ‎(3)若A=B,则p是q的充要条件;‎ ‎(4)若AB,则p是q的充分不必要条件;‎ ‎(5)若AB,则p是q的必要不充分条件;‎ ‎(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)“对顶角相等”是命题.( √ )‎ ‎(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( × )‎ ‎(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )‎ ‎(4)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( √ )‎ ‎(5)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P8T3]下列命题是真命题的是( )‎ A.矩形的对角线相等 B.若a>b,c>d,则ac>bd C.若整数a是素数,则a是奇数 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题 答案 A ‎3.[P12T2(2)]“x-3=0”是“(x-3)(x-4)=0”的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 答案 充分不必要 题组三 易错自纠 ‎4.命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是( )‎ A.若xy,则x2>y2 D.若x≥y,则x2≥y2‎ 答案 B 解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.‎ ‎5.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 x>y⇏x>|y|(如x=1,y=-2),‎ 但当x>|y|时,能有x>y.‎ ‎∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.‎ ‎6.已知p:x>a是q:2<x<3的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 (-∞,2]‎ 解析 由已知,可得{x|2<x<3}{x|x>a},‎ ‎∴a≤2.‎ 题型一 命题及其关系 ‎1.下列命题是真命题的是( )‎ A.若=,则x=y B.若x2=1,则x=1‎ C.若x=y,则= D.若x<y,则x2<y2‎ 答案 A ‎2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( )‎ A.不拥有的人们会幸福 B.幸福的人们不都拥有 C.拥有的人们不幸福 D.不拥有的人们不幸福 答案 D ‎3.原命题为“△ABC中,若cosA<0,则△ABC为钝角三角形”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )‎ A.真,真,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.真,假,假 答案 B 解析 若cosA<0,A为钝角,则△ABC为钝角三角形,所以原命题为真,则逆否命题也为真;△ABC为钝角三角形,可能是B或者C为钝角,A可能为锐角,cosA>0.所以逆命题为假,则否命题也为假.故选B.‎ ‎4.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是______________.‎ 答案 若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0‎ 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:‎ ‎①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;‎ ‎②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.‎ ‎(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例即可.‎ ‎(3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.‎ 题型二 充分必要条件的判定 典例 (1)“0≤m≤1”是“函数f(x)=cosx+m-1有零点”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 方法一 若0≤m≤1,则0≤1-m≤1,‎ ‎∴cosx=1-m有解.‎ 要使函数f(x)=cosx+m-1有零点,‎ 只需|m-1|≤1,解得0≤m≤2,故选A.‎ 方法二 函数f(x)=cosx+m-1有零点,‎ 则|m-1|≤1,解得0≤m≤2,‎ ‎∵{m|0≤m≤1}{m|0≤m≤2}.‎ ‎∴“0≤m≤1”是“函数f(x)=cosx+m-1”有零点的充分不必要条件.‎ ‎(2)已知条件p:x>1或x<-3,条件q:5x-6>x2,则綈p是綈q的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由5x-6>x2,得21且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 答案 充分不必要 解析 当x>1,y>1时,x+y>2一定成立,即p⇒q,‎ 当x+y>2时,可令x=-1,y=4,即q⇏p,‎ 故p是q的充分不必要条件.‎ ‎11.已知命题p:a≤x≤a+1,命题q:x2-4x<0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________.‎ 答案 (0,3)‎ 解析 令M={x|a≤x≤a+1},‎ N={x|x2-4x<0}={x|0<x<4}.‎ ‎∵p是q的充分不必要条件,∴MN,‎ ‎∴解得0<a<3.‎ ‎12.有下列几个命题:‎ ‎①“若a>b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.‎ 其中真命题的序号是________.‎ 答案 ②③‎ 解析 ①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,错误;②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,正确;③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,正确.‎ ‎13.(2017·邵阳二模)“m>1”是“函数f(x)=3x+m-3在区间[1,+∞)上无零点”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 函数f(x)=3x+m-3在区间[1,+∞)上无零点,则31+m>3,即m+1>,解得m>,‎ 故“m>1”是“函数f(x)=3x+m-3在区间[1,+∞)上无零点”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎14.已知条件p:2x2-3x+1≤0,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 解析 方法一 命题p为,‎ 命题q为{x|a≤x≤a+1}.‎ 綈p对应的集合A=,‎ 綈q对应的集合B={x|x>a+1或x0,即2n+1>2λ对任意的n∈N*都成立,于是可得3>2λ,即λ<.‎ 故所求λ的取值范围是.‎ ‎16.设a,b为正数,则“a-b>1”是“a2-b2>1”的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 答案 充分不必要 解析 ∵a-b>1,即a>b+1.又∵a,b为正数,‎ ‎∴a2>(b+1)2=b2+1+2b>b2+1,即a2-b2>1成立;反之,当a=,b=1时,满足a2-b2>1,但a-b>1不成立.所以“a-b>1”是“a2-b2>1”的充分不必要条件.‎

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