【数学】2018届一轮复习人教A版坐标系学案 7页

‎1.了解在平面直角坐标系下的伸缩变换．‎ ‎2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．‎ 知识点一　平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ‎ 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ 答案 λ·x　μ·y ‎1．(选修4－4P4例题改编)设平面内伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为____________．‎ 解析：由已知得代入y＝sinx，得y′＝sin2x′，即y′＝3sin2x′，所以y＝sinx的方程变为y＝3sin2x.‎ 答案：y＝3sin2x 知识点二　极坐标系 ‎ ‎1．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做______，从O点引一条射线Ox，叫做______，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．‎ 设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的______，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．‎ ‎2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝______，y＝______.另一种关系为ρ2＝______，tanθ＝______.‎ 答案 ‎1．极点　极轴　极径 ‎2．ρcosθ　ρsinθ　x2＋y2　 ‎2．(选修4－4P11例4改编)点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．‎ 解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.‎ 答案： ‎3．在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．‎ 解析：圆ρ＝8sinθ的直角坐标方程为x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16.直线θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x，即x－y＝0，∴圆上的点到直线的距离最大值为＋4＝6.‎ 答案：6‎ 知识点三　常见曲线的极坐标方程 ‎ 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ‎______(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ‎____________‎ ‎(－≤θ<)‎ 圆心为(r，)，半径为r的圆 ‎____________‎ ‎(0≤θ<π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R)‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ‎__________‎ ‎(－<θ<)‎ 过点(a，)，与极轴平行的直线 ‎__________‎ ‎(0<θ<π)‎ 答案 ρ＝r　ρ＝2rcosθ　ρ＝2rsinθ　ρcosθ＝a　ρsinθ＝a ‎4．圆ρ＝5cosθ－5sinθ的圆心的极坐标为________．‎ 解析：将方程ρ＝5cosθ－5sinθ两边都乘以ρ得：ρ2＝5ρcosθ－5ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋5y＝0.圆心的坐标为，化成极坐标为.‎ 答案：(答案不唯一)‎ ‎5．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________，过(0，－1)与极轴平行的直线方程是________．‎ 解析：过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ‎＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1.过(0，－1)且与极轴平行的直线，在直角坐标系中是y＝－1，所以其极坐标方程为ρsinθ＝－1.‎ 答案：ρcosθ＝1　ρsinθ＝－1‎ ‎6．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程是________．‎ 解析：如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－90°，OB＝2＝，化简得ρ＝－2cosθ.‎ 答案：ρ＝－2cosθ 热点一　平面直角坐标系中的伸缩变换 ‎ ‎【例1】　在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1.‎ ‎【解】　设伸缩变换为 由题知＋＝1，‎ 即2x2＋2y2＝1.‎ 与x2＋y2＝1比较系数，‎ 得故 所以伸缩变换为即先使圆x2＋y2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆＋y2＝1，再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆＋＝1.‎ ‎【总结反思】‎ 平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下得到的方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程.‎ ‎ ‎ 若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．‎ 解：由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sin得3y＝3sin，整理得y＝sin，故f(x)＝sin.所以y＝f(x)的最小正周期为＝π.‎ 热点二　极坐标与直角坐标的互化 ‎ ‎【例2】　在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|‎ ‎＝4，记点P的轨迹为C2.‎ ‎(1)求曲线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C2上的点到直线ρcos＝距离的最大值．‎ ‎【解】　(1)设P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)，由|OP|·|OM|＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝.因为M是C1上任意一点，所以ρ2sinθ＝2，即sinθ＝2，ρ1＝2sinθ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.‎ ‎(2)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，即x2＋y2－2y＝0，化为标准方程为x2＋(y－1)2＝1，则曲线C2表示圆心坐标为(0,1)，半径为1的圆，由直线ρcos＝，得：ρcosθcos－ρsinθsin＝，即x－y＝2，圆心(0,1)到直线x－y＝2的距离为d＝＝，所以曲线C2上的点到直线ρcos＝距离的最大值为1＋.‎ ‎【总结反思】‎ 极坐标方程问题的处理思路 曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－‎ ‎2ρcos＝2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.因为ρ2－2ρcos＝2，所以ρ2－2ρ＝2，所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsin＝.‎ 热点三　极坐标方程的应用 ‎ ‎【例3】　在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎【解】　(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.由于圆C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ ‎1．本例条件不变，求直线C1与C3的交点的极坐标．‎ 解：联立两直线方程得解得 所以交点的极坐标为.‎ ‎2．本例条件不变，求圆C2关于极点的对称圆的方程．‎ 解：因为点(ρ，θ)与(－ρ，θ)关于极点对称，所以由C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0得圆C2关于极点的对称圆方程是ρ2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0.‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程，就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程f(ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点．‎ ‎(2)极坐标方程涉及的是长度与角度，因此列方程的实质是解三角形.‎ ‎ ‎ ‎(2016·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ 解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±.所以l的斜率为或－.‎ ‎1．在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．‎ ‎2．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．‎ ‎3．求曲线的极坐标方程的步骤 ‎(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；‎ ‎(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；‎ ‎(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．‎