2018届二轮复习（理）专题五　解析几何第3讲课件（全国通用） 41页

第 3 讲　圆锥曲线中的热点问题 高考定位　 1. 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一 ， 主要以解答题形式考查 ， 往往作为试卷的压轴题之一； 2. 以椭圆或抛物线为背景 ， 尤其是与条件或结论相关存在性开放问题 . 对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求 ， 并突出数学思想方法考查 . 真 题 感 悟 答案　 A 1. 圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题 ( 以所求式子或参数为函数值 ) ，或者利用式子的几何意义求解 . 温馨提醒 　 圆锥曲线上点的坐标是有范围的 ， 在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响 . 2. 定点、定值问题 (1) 定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题 . 考 点 整 合 若得到了直线方程的点斜式： y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) ，则直线必过定点 ( x 0 ， y 0 ) ；若得到了直线方程的斜截式： y ＝ kx ＋ m ，则直线必过定点 (0 ， m ). (2) 定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题 . 3. 存在性问题的解题步骤： (1) 先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ). (2) 解此方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) ，若有解则存在，若无解则不存在 . (3) 得出结论 . 热点一　圆锥曲线中的最值、范围 【例 1 】 (2016· 浙江卷 ) 如图所示，设抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) 的焦点为 F ，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 | AF | － 1. (1) 求 p 的值； (2) 若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N ， AN 与 x 轴交于点 M ，求 M 的横坐标的取值范围 . 探究提高　 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法： (1) 几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义 ， 则考虑利用图形性质数形结合求解 . (2) 代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系 ， 或者不等关系 ， 或者已知参数与新参数之间的等量关系等 ， 则利用代数法求参数的范围 . 热点二　定点、定值问题 命题角度 1 　圆锥曲线中的定值 探究提高　 1. 求定值问题常见的方法有两种： ( 1) 从特殊入手 ， 求出定值 ， 再证明这个值与变量无关 . (2) 直接推理、计算 ， 并在计算推理的过程中消去变量 ， 从而得到定值 . 2 . 定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题 ， 然后证明与参数无关 ， 这类问题选择消元的方向是非常关键的 . 命题角度 2 　圆锥曲线中的定点问题 探究提高　 1. 动直线 l 过定点问题 . 设动直线方程 ( 斜率存在 ) 为 y ＝ kx ＋ t ， 由题设条件将 t 用 k 表示为 t ＝ mk ， 得 y ＝ k ( x ＋ m ) ， 故动直线过定点 ( － m ， 0). 2 . 动曲线 C 过定点问题 . 引入参变量建立曲线 C 的方程 ， 再根据其对参变量恒成立 ， 令其系数等于零 ， 得出定点 . 热点三　圆锥曲线中的存在性问题 探究提高　 1. 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种 . 若探究条件 ， 则可先假设条件成立 ， 再验证结论是否成立 ， 成立则存在 ， 不成立则不存在；若探究结论 ， 则应先求出结论的表达式 ， 再针对其表达式进行讨论 ， 往往涉及对参数的讨论 . 2 . 求解步骤：假设满足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在 ， 用待定系数法设出 ， 列出关于待定系数的方程组 ，若方程组有实数解，则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在，否则，元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 . 解 　 (1) ∵ 直线 2 x － y ＋ 2 ＝ 0 与 y 轴的交点为 (0 ， 2) ， ∴ F (0 ， 2) ，则抛物线 C 的方程为 x 2 ＝ 8 y ，准线 l ： y ＝－ 2. 设过 D 作 DG ⊥ l 于 G ，则 | DF | ＋ | DE | ＝ | DG | ＋ | DE | ， 当 E ， D ， G 三点共线时， | DF | ＋ | DE | 取最小值 2 ＋ 3 ＝ 5. (2) 假设存在，抛物线 x 2 ＝ 2 py 与直线 y ＝ 2 x ＋ 2 联立方程组得： x 2 － 4 px － 4 p ＝ 0 ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， Δ ＝ (4 p ) 2 ＋ 16 p ＝ 16( p 2 ＋ p )>0 ，则 x 1 ＋ x 2 ＝ 4 p ， x 1 x 2 ＝－ 4 p ， ∴ Q (2 p ， 2 p ). 1. 解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握： (1) 从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关： (2) 直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值； (3) 在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标 . 2. 圆锥曲线的范围问题的常见求法 (1) 几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2) 代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值 . 3. 存在性问题求解的思路及策略 (1) 思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在 . (2) 策略： ① 当条件和结论不唯一时要分类讨论； ② 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件 .