北京市延庆区2021届高三数学9月考试试题（Word版附答案） 14页

高三年级（数学） 第 1页（共 4 页） 2020-2021 学年第一学期高三年级统测试卷 数学 2020.09 本试卷共 4页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试 卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回. 第一部分（选择题，共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项. （1）已知集合 A={x||x|<3}，B={x||x|>1}，则 A B= （A）R （B） (1,3) （C） ( 3, 1) (1,3)   （D）{–2，2} （2）已知向量 (1, )a k  ， ( , 2)b k  ，若 a  与b  方向相反，则 k 等于 （A）1 （B） 2 （C） 2 （D） 2 （3）圆    2 23 4 1x y    上一点到原点的距离的最大值为 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （4）下列函数中，在其定义域上是减函数的是 （A） 1y x   （B） tan( )y x  （C） e xy   （D） 2, 0 2, 0 x x y x x        （5）若 为第三象限角，则 高三年级（数学） 第 2页（共 4 页） （A）cos2 0  （B） cos2 0  （C） sin 2 0  （D） sin 2 0  （6）设抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，准线为 l．P是抛物线上的一点，过 P作PQ x 轴 于Q，若 3PF  ，则线段 PQ的长为 （A） 2 （B） 2 （C） 2 2 （D）3 2 （7）已知函数 2( ) 1 logf x x x    ，则不等式 ( ) 0f x  的解集是 （A） (0,2) （B） ( ,1) (2, )  （C） (1,2) （D） (0,1) (2, ) （8）已知直线 ,a b，平面 ,  ， / /a  ，那么“ a  ”是“  ”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）在平面直角坐标系 xOy中，将点 (2,1)A 绕原点O逆时针旋转90到点B，设直线 OB与 x轴正半轴所成的最小正角为，则sin 等于 （A） 2 5 5  （B） 5 5  （C） 5 5 （D） 2 5 5 （10）某企业生产 ,A B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和 20万支，为了扩 大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的 ,A B两种产品的 年产量的增长率分别为 50%和 20%，那么至少经过多少年后， A产品的年产量会 超过 B产品的年产量（取 lg 2 0.3010 ） （A） 2 年 （B）3年 （C）4年 （D）5年 高三年级（数学） 第 3页（共 4 页） 第二部分（非选择题，共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. （11）已知复数 2i 2 iz a a   是负实数，则实数a的值为 ． （12）已知正方形 ABCD的边长为 2，点 P满足 1 ( ) 2 AP AC AD     ，则 PA PB    ____． （13）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前 4项的和 为 ． （14）将函数 y= πsin(2 ) 4 3 x﹢ 的图象向右平移 π 3 个单位长度后得到函数 ( )g x 的图象，给出 下列四个结论： ① 3( ) 8 2 g    ； ② ( )g x 在 (0, ) 2  上单调递增； ③ ( )g x 在 ( , ) 2 2    上有两个零点； ④ ( )g x 的图象中与 y轴最近的对称轴的方程是 11 24 x   . 其中所有正确结论的序号是____________________． （15）设O为坐标原点，直线 x a 与双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a b a b     的两条渐近线分 别交于 ,D E两点，若 ODE 的面积为 4，则C的焦距的最小值为 ． 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （16）（本小题 14分） A，B，C三个班共有 180名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部 高三年级（数学） 第 4页（共 4 页） 分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）： A班 12 13 13 18 20 21 B班 11 11.5 12 13 15.5 17.5 20 C班 11 13.5 15 16 16.5 19 21 （Ⅰ）试估计 B班的学生人数； （Ⅱ）从这 180名学生中任选 1名学生，估计这名学生一周上网时长超过 15小时的概 率; （Ⅲ）从 A 班抽出的 6 名学生中随机选取 2 人，从 C 班抽出的 7 名学生中随机选取 1 人，求这 3人中恰有 2人一周上网时长超过 15小时的概率. （17）（本小题 14分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1CC 平面 , , 2ABC AC BC AC BC   ， 1 3CC  ，点 ,D E分别在棱 1AA 和棱 1CC 上，且 1 2,AD CE M  为棱 1 1AB 的中点． （Ⅰ）求证：DE BC ； （Ⅱ）求证： 1C M //平面 1DB E； （Ⅲ）求二面角 1A DE B  的余弦值． 高三年级（数学） 第 5页（共 4 页） （18）（本小题 14分） 设{ }na 是公比不为 1的等比数列， 3 4a  ，再从条件①、条件②这两个条件中选择 一个作为已知，求： （Ⅰ）求{ }na 的公比； （Ⅱ）求数列{2 }nn a 的前 n项和． 条件①： 1a 为 2a ， 3a 的等差中项；条件②：设数列{ }na 的前 n项和为 nS ， 3 1 2S S  . 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. （19）（本小题 14分） ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 B=60°. （Ⅰ）若 sin 2sinA C ， 3b  ，求 ABC 的面积； （Ⅱ）若 2sin sin 2 C A  ，求角 C. （20）（本小题 14分） 已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     过点 A（-2，0）, 点 B为其上顶点，且直线 AB 斜率为 3 2 . 高三年级（数学） 第 6页（共 4 页） （Ⅰ）求椭圆 C的方程； （Ⅱ）设 P为第四象限内一点且在椭圆C上，直线 PA与 y 轴交于点M ，直线 PB与 x轴 交于点 N ，求四边形 ABNM 的面积. （21）（本小题 15分） 已知函数 ( ) 2 ) cos sinf x a x x x  （ . （Ⅰ）当 =0a 时，求函数 ( )f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当 4a  ， π[0, ] 2 x 时，求函数 ( )f x 的最大值； （Ⅲ）当1 2a  ， π π[ , ] 2 2 x  时，判断函数 ( )f x 的零点个数，并说明理由. 延庆区 2020-2021 学年度高三数学统测试卷评分参考 一、选择题: （每小题 4 分，共 10 小题，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1. A 2.C 3.C 4.D 5. C 6.C 7.D 8. A 9.D 10. C 二、填空题: （每小题 5 分，共 5 小题，共 25 分） 11．1； 12. 3； 13． 40； 14①③； 15．4 2 14 题选对一个给 3分，有错误不给分 三、解答题：（共 6 小题，共 85 分. 解答应写出文字说明、演算步骤.） 16. （Ⅰ）由题意知，抽出的 20名学生中，来自B班的学生有 7名．根据分层抽样 方法，B班的学生人数估计为 7180 63 20   人. …………3 分 高三年级（数学） 第 7页（共 4 页） 只有结果 63 扣 1 分 （Ⅱ）设从选出的 20 名学生中任选 1 人，共有 20 种选法，…………4分 设此人一周上网时长超过 15 小时为事件 D, 其中 D包含的选法有 3+3+4=10 种， …………6 分 10 1( ) 20 2 P D   . …………7分 由此估计从 180 名学生中任选 1 名，该生一周上网时长超过 15 小时的 概率为 1 2 . ……………8分 只有结果 1 2 而无必要的文字说明和运算步骤，扣 2 分. （Ⅲ）从 A 班的 6 人中随机选 2 人，有 2 6C 种选法，从 C 班的 7 人中随机选 1 人，有 1 7C 种选法， 故选法总数为： 2 1 6 7 15 7 105C C    种 ……………10 分 设事件“此 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时”为 E， 则 E中包含以下情况： （1）从 A 班选出的 2 人超 15 小时，而 C 班选出的 1 人不超 15 小时， （2）从 A 班选出的 2 人中恰有 1 人超 15 小时，而 C 班选出的 1 人 超 15 小时， ……………11 分 所以 2 1 1 1 1 3 3 3 3 4 2 1 6 7 9 36 3( ) 15 7 7 C C C C CP E C C       . ……………14 分 高三年级（数学） 第 8页（共 4 页） 只有 2 1 1 1 1 3 3 3 3 4 2 1 6 7 9 36 3( ) 15 7 7 C C C C CP E C C       ，而无文字说明，扣 1 分 17.解： （Ⅰ） 因为 1CC 平面 ,ABC 所以 1CC BC …………1分 因为 AC BC 所以 1 1BC ACC A平面 ， …………2 分 因为 DE 平面 1 1ACC A ，所以BC DE ， …………3 分 即DE BC （Ⅱ） 设 1A D的中点为 N ，连接MN，则MN // 1B D， …………4 分 连接 1C N ，因为 1C E //ND且 1C E =ND， 所以 1C NDE 是平行四边形， …………5分 所以 1C N //DE， …………6分 所以平面 1C MN //平面 1B ED …………7 分 所以 1C M //平面 1DB E …………8分 （Ⅲ）以C为原点，分别以CA  、CB  、 1CC  的方向为 x轴、y 轴、 z轴的正方向建立空间直角坐标系（如 图）， …………9 分 可得  0,0,0C 、  0,2,0B 、  1 0,2,3B 、  2,0,1D 、 高三年级（数学） 第 9页（共 4 页）  0,0, 2E .依题意，  0,2,0CB   是平面 ADE 的一个法向 量， …………10 分  1 0,2,1EB   ，  2,0, 1ED    ． 设  , ,n x y z  为平面 1DB E的法向量， 则 1 0 0 n EB n ED           ，即 2 0 2 0 y z x z      ， …………11 分 不妨设 1x  ，可得  1, 1, 2n    ． …………12 分 2 6cos , 62 6CB n CB nCB n              ， …………13 分 因为二面角 1A DE B  的平面角是钝角, …………14 分 所以，二面角 1A DE B  的余弦值为 6 6  . 结果为 6 6 扣一分 18. 解：选① （Ⅰ）因为 1a 为 2 3a a、 的等差中项， 所以 1 2 32a a a  …………2 分 所以 2 1 1 12a a q a q  ， …………3 分 高三年级（数学） 第 10页（共 4 页） 因为 1 0a  …………4 分 所以 22 q q  所以 2q   ， 1q  （舍） …………6 分 不能只看结果；没有 1 0a  扣一分，没舍 1q  扣一分 选② （Ⅰ）因为 3 1 2S S  ，所以 1 2 3 1 2 3 2a a a a a a      ，…2 分 因为 3 4a  ，所以 2 2a   ，所以 3 2 2aq a    …………6 分 （Ⅱ）设数列{2 }nn a 的前 n项和为 nS ，因为数列{2 }n 是以 2为首项， 2为公差的等差数列， …………8 分 等比数列{ }na 的首项 3 1 2 4 1 4 aa q    ， …………9分 所以 (2 2 ) 1(1 ( 2) ) 2 1 ( 2) n n n nS        …………13 分 1 ( 2)( 1) 3 n n n      …………14 分 没有证明或指明等差数列扣 2 分。 19.解： （Ⅰ）在 ABC 中，因为 sin sin a c A C  ，所以 sinsin 2sina CA C c   ，…1 分 高三年级（数学） 第 11页（共 4 页） 所以 2a c ， …………2 分 由余弦定理可得 2 2 2 22 cos60 3 3b a c ac c       ， …………3分 1, 2,c a   …………4分 所以 ABC 的面积为 1 1 3 3sin 2 1 2 2 2 2 S ac B      ； …………6分 （Ⅱ）在 ABC 中，因为 120A C  ， …………7 分 0sin sin sin sin(120 )C A C C    ， …………8分 3 1 1 3 2sin cos sin sin cos sin( 60 ) 2 2 2 2 2 C C C C C C         ，……10 分 0 120 , 60 60 60C C           ， …………12 分 60 45 , 105C C       .…………14 分 直接写 2a c 扣一分，无角 C 范围叙述的扣 2 分 20.解： 高三年级（数学） 第 12页（共 4 页） （Ⅰ）由题意: 设直线 AB： 30 ( 2) 2 y x   ，. …………1 分 令 0x  ，则 3y  ，于是 (0, 3)B ，. …………2 分 所以 2, 3a b  ，. …………4分 椭圆方程为 2 2 1 4 3 x y   . . …………5分 （Ⅱ）设 0 0 0 0( , )( 0, 0)P x y x y  ，且 2 2 0 03 4 12x y  ， ……………6分 又 ( 2,0), (0, 3)A B ，所以直线 0 0 0 2: 0 2 y xAP y x      ， ……………7 分 令 0 0 20, 2M yx y x    ， ……………8 分 则 0 0 0 0 0 2 3 2 3 23 3 2 2M y x yBM y x x          ， ……………9 分 直线 00 3 0: 03 y xBP xy     ，令 0 0 30, 3N xy x y     ， ……………10 分 则 0 0 0 0 0 3 2 2 3 32 2 3 3N x y xAN x y y           ， ……………11 分 所以四边形 ABNM 的面积为 1 2 S     ……………12 分 0 0 0 0 0 0 3 2 3 2 2 2 3 31 2 2 3 x y y x x y          2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 12 4 3 12 8 3 2( 3 2 2 3) x y x y x y x y x y           0 0 0 0 0 0 0 0 4 3( 3 2 2 3) 2 3 2( 3 2 2 3) x y x y x y x y         ， ……………14 分 高三年级（数学） 第 13页（共 4 页） 所以四边形 ABNM 的面积为 2 3 . 结果不对最后 2 分全扣 21.解： （Ⅰ）当 0a  时，函数 ( ) 2cos sinf x x x x  ， (0) 2f  ，……………1分 ( ) 2sin sin cos 3sin cosf x x x x x x x x        ， ……………2分 切线的斜率 (0) 0k f   ， ……………3分 曲线 )(xfy  在原点处的切线方程为 2y  ……………4 分 （Ⅱ） ( ) (2 )( sin ) sin cos ( 3)sin cosf x a x x x x a x x x         ，……5 分 令 ( ) ( 3)sin cosg x a x x x   ， 则 ( ) ( 3) cos cos sin ( 4)cos sing x a x x x x a x x x        ， ……6 分 当 4a  ， π[0, ] 2 x 时， ( ) 0g x  ，所以 ( )g x 在[0, ] 2  上单调递增，……7分 所以 ( ) (0) 0g x g  ，即 ( ) 0f x  ，仅在 0x  处 ( ) 0f x  ，其余各处 ( ) 0f x  ， 所以 ( )f x 在[0, ] 2  上单调递增， ……8分 所以当 2 x   时， ( )f x 的最大值为 ( ) 2 2 f     . ……………9分 高三年级（数学） 第 14页（共 4 页） （Ⅲ）由（Ⅱ）知， ( ) ( 3)sin cosf x a x x x    ， 因为1 2a  ，当 π[0, ] 2 x 时， ( ) 0f x  ，仅在 0x  处 ( ) 0f x  ，其余各处 ( ) 0f x  ， 所以 ( )f x 在[0, ] 2  上单调递减， ……………10 分 因为 (0) 2 0, ( ) 0 2 2 f a f         ， ……………11 分 所以存在唯一 0 [0, ] 2 x   ，使得 0( ) 0f x  ， 即 ( )f x 在[0, ] 2  上有且只有一个零点， ……………12 分 因为 ( ) (2 ) cos( ) sin( ) (2 ) sin ( )f x a x x x a x x f x          ，………13 分 所以 ( )f x 是偶函数，其图像关于 y轴对称， 所以在[ ,0] 2   上有且只有一个零点， ……14 分 所以 ( )f x 在[ , ] 2 2    上有 2 个零点. ……………15 分