【数学】2018届一轮复习人教A版选修4－1　几何证明选讲学案 16页

‎　‎ 第1课时　相似三角形的进一步认识(对应学生用书(理)186～188页)‎ 应用平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理解决有关三角形问题．‎ ‎① 理解平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理，能运用它们解决三角形中的计算与证明问题.② 了解直角三角形的射影定理．‎ ‎1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD＝5，DB＝3，FC＝2，求BF的长．‎ 解：由平行线的性质可得＝＝＝，所以BF＝FC＝.‎ ‎2. (改编题)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC且＝2，求△ADE与四边形DBCE的面积比．‎ 解：∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC，‎ ‎∴ ＝.‎ ‎∵ ＝2，∴ ＝，∴ ＝，‎ ‎∴ ＝.‎ ‎3. 已知a∥b∥c，直线m，n分别与直线a，b，c交于点A，B，C和点A′，B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝，求A′C′的长．‎ 解：∵ AB＝BC，‎ ‎∴ 由平行线等分线段定理知B′C′＝A′B′＝，‎ ‎∴ A′C′＝A′B′＋B′C′＝＋＝3.‎ ‎4. 如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，求AB的长．‎ 解：由题意知，AB2＝BE·EC＝4，∴ AB＝2.‎ ‎5. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB ‎＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求AC∶BC.‎ 解：∵ AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，‎ ‎∴ AC2∶BC2＝AD∶BD＝9∶4，‎ ‎∴ AC∶BC＝3∶2. ‎ ‎1. 平行截割定理 ‎(1) 平行线等分线段定理及其推论 ‎① 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．‎ ‎② 推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一腰．‎ ‎(2) 平行截割定理及其推论 ‎① 定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．‎ ‎② 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的边与原三角形的对应边成比例．‎ ‎(3) 三角形角平分线的性质 三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．‎ ‎(4) 梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．‎ ‎2. 相似三角形 ‎(1) 相似三角形的判定 ‎① 判定定理 a. 两角对应相等的两个三角形相似．‎ b. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．‎ c. 三边对应成比例的两个三角形相似．‎ ‎② 推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．‎ ‎③ 直角三角形相似的特殊判定．‎ 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．‎ ‎(2) 相似三角形的性质 相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．‎ ‎(3) 直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．‎ ‎[备课札记]‎ ‎,　　　　　　　　　1　平行线分线段成比例问题)‎ ‎,　　　　　1)　如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB边的中点，求证：ED＝EC.‎ 证明： 如图，过E点作EF∥BC交DC于点F.在梯形ABCD中，∵ AD∥BC，∴ AD∥EF∥BC.‎ ‎∵ E是AB的中点，∴ F是DC的中点．‎ ‎∵ ∠ADC＝90°，∴ ∠DFE＝90°.‎ ‎∴ EF是DC的垂直平分线，‎ ‎∴ ED＝EC.‎ 如图，在△ABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB于点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N.求证：AD∶AB＝AE∶AC.‎ 证明：∵ AM∥EN，‎ ‎∴ AD∶AB＝NM∶MB，NM∶MC＝AE∶AC.‎ ‎∵ MB＝MC，∴ AD∶AB＝AE∶AC.‎ ‎,　　　　　　　　　2　相似的三角形判定及性质)‎ ‎,　　　　　2)　(2016·南通、扬州、泰州、淮安二模)在△ABC中，∠CAB＝2∠B，∠C的平分线交AB于点D，∠A的平分线交CD于点E.求证：AD·BC＝BD·AC.‎ 证明：∵ ∠CAB＝2∠B，AE为∠CAB的平分线，‎ ‎∴ ∠CAE＝∠B.‎ ‎∵ CD是∠C的平分线，∴ ∠ECA＝∠DCB，‎ ‎∴ △ACE∽△BCD，‎ ‎∴ ＝，即AE·BC＝BD·AC.‎ ‎∵ ∠AED＝∠CAE＋∠ECA，∠ADE＝∠B＋∠DCB，‎ ‎∴ ∠AED＝∠ADE，∴ AD＝AE，‎ ‎∴ AD·BC＝BD·AC.‎ 变式训练 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M.若DB＝9，求BM的长．　‎ 解：∵ E是AB的中点，∴ AB＝2EB.‎ ‎∵ AB＝2CD，∴ CD＝EB.‎ 又AB∥CD，∴ 四边形CBED是平行四边形．‎ ‎∴ CB∥DE，∴ ‎∴ △EDM∽△FBM.∴ ＝.‎ ‎∵ F是BC的中点，∴ DE＝2BF.‎ ‎∴ DM＝2BM，∴ BM＝DB＝3.‎ ‎,　　　　　　　　　3　射影定理及其应用)‎ ‎,　　　　　3)　(2016·郑州一模)如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC.‎ 证明：∵ ∠BAC＝90°，且AD⊥BC，‎ ‎∴ 由射影定理得AC2＝CD·BC，∴ ＝　①.‎ ‎∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD，‎ ‎∴ ＝.‎ 又BE平分∠ABC，且EA⊥AB，EF⊥BC，‎ ‎∴ AE＝EF，∴ ＝　②.‎ 由①②得＝，即EF∶DF＝BC∶AC.‎ 如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F，求证：＝.‎ 证明：由三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比得，‎ 在△ABD中，＝　①，在△ABC中，＝　②，‎ 在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即＝　③.‎ 由①③得＝　④，‎ 由②④得＝.‎ ‎1. (2016·鞍山模拟改编)如图，在ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，求BF∶FD的值．‎ 解：∵ AD＝BC，BE∶EC＝2∶3，‎ ‎∴ BE∶AD＝2∶5.‎ ‎∵ AD∥BC，‎ ‎∴ BF∶FD＝BE∶AD＝2∶5，‎ ‎∴ BF∶FD的值为.‎ ‎2. (2016·大连模拟)如图，已知D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F.若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，求AE的长．‎ 解：∵ AE∥BC，D为AC的中点，‎ ‎∴ AE＝CF，＝＝.‎ 设AE＝x，又BC＝8，∴ ＝，∴ x＝4.∴ AE＝4.‎ ‎3. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB＝AF·AC.‎ 证明：∵ AD⊥BC，∴ △ADB为直角三角形．‎ 又DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB，‎ 同理可得AD2＝AF·AC，‎ ‎∴ AE·AB＝AF·AC.‎ ‎4. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的三等分点，AE的延长线交BC于F，求的值．‎ 解：如图，过D点作DM∥AF交BC于点M.‎ ‎∵ DM∥AF，∴ ＝＝，‎ ‎∴ ＝，即S△BDM＝9S△BEF.‎ ‎∵ S△BDM＝BM·h，S△MDC＝MC·h，‎ ＝，∴ ＝.‎ 即S△DMC＝S△BDM＝6S△BEF，‎ ‎∴ S四边形DEFC＝14S△BEF，即＝.‎ ‎1. 在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D.若BD∶AD＝1∶9，求tan∠BCD的值．‎ 解：由射影定理得CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶9，‎ 令BD＝x，则AD＝9x(x>0)．‎ ‎∴ CD2＝9x2，∴ CD＝3x.‎ 在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.‎ ‎2. (2016·梅州联考改编)如图，在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝120°，AD⊥BC，过B作CA的垂线，交CA的延长线于E，交DA的延长线于F，求AF.‎ 解：设AE＝x，∵ ∠BAC＝120°，∴ ∠EAB＝60°.‎ 又＝＝，在Rt△AEF与Rt△BEC中，‎ ‎∠F＝90°－∠EAF＝90°－∠DAC＝∠C，‎ ‎∴ △AEF∽△BEC，∴ ＝.∴ AF＝4×＝.‎ ‎3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.‎ ‎(1) 求证：OE＝OF；‎ ‎(2) 求＋的值；‎ ‎(3) 求证：＋＝.‎ ‎(1) 证明：∵ EF∥AD，AD∥BC，∴ EF∥AD∥BC.‎ ‎∵ EF∥BC，∴ ＝，＝.‎ ‎∵ EF∥AD∥BC，∴ ＝.∴ ＝，∴ OE＝OF.‎ ‎(2) 解：∵ OE∥AD，∴ ＝.由(1)知，＝，‎ ‎∴ ＋＝＋＝＝1.‎ ‎(3) 证明：由(2)知＋＝1，∴ ＋＝2.‎ ‎∵ EF＝2OE，∴ ＋＝2，‎ ‎∴ ＋＝.‎ ‎4. 在梯形ABCD中，点E、F分别在腰AB、CD上，EF∥AD，AE∶EB＝m∶n.求证：(m＋n)EF＝mBC＋nAD.‎ 你能由此推导出梯形的中位线公式吗？‎ 证明：如图，连结AC，交EF于点G.‎ ‎∵ AD∥EF∥BC，∴ ＝＝，‎ ‎∴ ＝，＝.‎ 又EG∥BC，FG∥AD，‎ ‎∴ ＝＝，＝＝，‎ ‎∴ EG＝·BC，GF＝·AD.‎ 又EF＝EG＋GF，∴ (m＋n)EF＝mBC＋nAD.‎ ‎∴ 当m＝n＝1时，EF＝(BC＋AD)，即表示梯形的中位线．‎ 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即＝(或a∶b＝c∶d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．‎ 注意：‎ ‎(1) 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成统一单位．‎ ‎(2) 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．‎ ‎(3) 比例线段是有顺序的，如果说a是b，c，d的第四比例项，那么应得比例式为＝.‎ ‎[备课札记]‎ 第2课时　圆的进一步认识(对应学生用书(理)189～192页)‎ 掌握圆的切线的判定定理和性质定理，弦切角定理割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理，能用这些定理解决有关圆的问题．‎ ‎① 理解圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理.② 能应用圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理解决与圆有关的问题．‎ ‎1. 如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BCD.‎ 解：由题设∠BAD＝∠BOD＝50°，‎ 则∠BCD＝180°－∠BAD＝130°.‎ ‎2. 如图，AB是圆O的直径，MN与圆O切于点C，AC＝BC，求sin∠MCA的值．‎ 解：由弦切角定理得，∠MCA＝∠ABC，‎ sin∠ABC＝＝＝＝.‎ ‎3. (2016·苏锡常镇二模)已知△ABC内接于圆O，BE是圆O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA·AC＝BE·AD.‎ 证明：连结AE.‎ ‎∵ BE是圆O的直径，‎ ‎∴ ∠BAE＝90°，∴ ∠BAE＝∠ADC.‎ ‎∵ ∠BEA＝∠ACD，∴ Rt△BEA∽Rt△ACD.‎ ‎∴ ＝，∴ BA·AC＝BE·AD.‎ ‎4. 如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，求线段NE的长．‎ 解：设AM＝a，由相交弦定理可知，CM·MD＝AM·MB，CN·NE＝AN·NB，即2×4＝a×‎2a，3×NE＝‎2a×a，消去a解得NE＝.‎ ‎5. 如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC.求证：∠DEB＝∠DCE.‎ 证明：∵ EA与圆O相切于点A，‎ 由切割线定理得DA2＝DB·DC.‎ ‎∵ D是EA的中点，∴ DA＝DE.‎ ‎∴ DE2＝DB·DC.∴ ＝.‎ ‎∵ ∠EDB＝∠CDE，∴ △EDB∽△CDE，‎ ‎∴ ∠DEB＝∠DCE.‎ ‎1. 圆周角定理 ‎(1) 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半．‎ ‎(2) 推论1：同弧(或等弧)上的圆周角相等．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．‎ ‎(3) 半圆(或直径)上的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弦为直径．‎ ‎2. 圆的切线 ‎(1) 圆的切线的性质与判定 ‎① 切线的定义：当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆有且只有1个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．‎ ‎② 切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．‎ ‎③ 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ ‎④ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．‎ ‎(2) 弦切角[来源:学科网ZXXK]‎ ‎① 弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角称为弦切角．‎ ‎② 弦切角定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．‎ ‎③ 推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．‎ ‎3. 相交弦定理 相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两段的积相等．‎ ‎4. 切割线定理 ‎(1) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等．‎ ‎(2) 切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项．‎ ‎5. 圆内接四边形 ‎(1) 圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补．‎ ‎(2) 圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆．‎ ‎[备课札记]‎ ‎,　　　　　　　　　1　圆周角与弦切角定理及应用)‎ ‎,　　　　　1)　(2016·泰州期末)如图，圆O是△ABC的外接圆，点D是劣弧BC的中点，连结AD并延长，与以C为切点的切线交于点P，求证：＝.‎ 证明：连结CD，∵ CP为圆O的切线，∴ ∠PCD＝∠PAC.‎ 又∠P是公共角，∴ △PCD∽△PAC，∴ ＝.‎ ‎∵ 点D是劣弧BC的中点，∴ CD＝BD，即＝.‎ 变式训练 如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，AD⊥CP，垂足为D.求证：∠DAP＝∠BAP.‎ 证明：∵ CP与圆O 相切，∴ ∠DPA＝∠PBA.‎ ‎∵ AB为圆O的直径，∴ ∠APB＝90°，‎ ‎∴ ∠BAP＝90°－∠PBA.‎ ‎∵ AD⊥CP，∴ ∠DAP＝90°－∠DPA，‎ ‎∴ ∠DAP＝∠BAP.[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎,　　　　　　　　　2　圆的切线的判定与性质)‎ ‎,　　　　　2)　如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA.‎ 证明：连结OT.‎ ‎∵ AT是切线，∴ OT⊥AP.‎ ‎∵ ∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，∴ AB∥OT，‎ ‎∴ ∠TBA＝∠BTO.‎ 又OT＝OB，∴ ∠OTB＝∠OBT，‎ ‎∴ ∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.‎ 如图，AC切圆O于D，AO延长线交圆O于B，BC切圆O于B，若AD∶AC＝1∶2，求的值．‎ 解：如图所示，连结OD，OC.‎ ‎∵ AD∶AC＝1∶2，∴ D为AC的中点．‎ 又AC切圆O于点D，∴ OD⊥AC.∴OA＝OC.‎ ‎∴ △AOD≌△COD，∴ ∠1＝∠2.‎ 又△OBC≌△ODC，∴ ∠2＝∠3.‎ ‎∴ ∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴ OC＝2OB.‎ ‎∴ OA＝2OB，即＝.‎ ‎,　　　　　　　　　3　圆内接四边形的判定与性质)‎ ‎,　　　　　3)　(2016·盐城三模)如图，AB是圆O的直径，弦CA，BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F，连结FD.求证：∠DEA＝∠DFA.‎ 证明：连结AD.∵ AB是圆O的直径，[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴ ∠ADB＝90°，∴ ∠ADE＝90°.‎ ‎∵ EF⊥FB，∴ ∠AFE＝90°，‎ ‎∴ A，F，E，D四点共圆，∴ ∠DEA＝∠DFA.‎ 如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．‎ ‎(1) 求证：A，P，O，M四点共圆；‎ ‎(2) 求∠OAM＋∠APM的大小．‎ ‎(1) 证明：连结OP，OM，因为AP与圆O相切于点P，所以OP⊥AP.‎ 因为M是圆O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，‎ 于是∠OPA＋∠OMA＝180°.‎ 由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，‎ 所以A，P，O，M四点共圆．‎ ‎(2) 解：由(1)得A，P，O，M四点共圆，‎ 所以∠OAM＝∠OPM.‎ 由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠PAC的内部，‎ 所以∠OPM＋∠APM＝90°，‎ 所以∠OAM＋∠APM＝90°.‎ ‎,　　　　　　　　　4　相交弦定理、割线定理及切割线定理的应用)‎ ‎,　　　　　4)　(2016·宿迁期中)如图，AB是圆O的直径，CB与圆O相切于点B，E为线段CB上一点，连结AC，AE，分别交圆O于D，G两点，连结DG并延长交CB于点F.若EB＝3EF，EG＝1，GA＝3，求线段CE的长．‎ 解：∵ EG＝1，GA＝3，∴ EA＝EG＋GA＝4.‎ ‎∵ EG·EA＝EB2，则EB＝2.‎ 又EB＝3EF，∴ EF＝，FB＝.‎ 连结BD，则∠AGD＝∠ABD，∠ABD＋∠DAB＝90°，∠C＋∠CAB＝90°，‎ ‎∴ ∠C＝∠AGD，∴ ∠C＋∠DGE＝180°，‎ ‎∴ C，E，G，D四点共圆．‎ ‎∴ FG·FD＝FE·FC＝FB2，‎ ‎∴ FC＝，CE＝CF－EF＝2.‎ 变式训练 ‎(2017·苏州暑期检测)如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE＝PA，∠ABC＝60°，且PD＝1，PB＝9，求EC.‎ 解：弦切角∠PAE＝∠ABC＝60°，又PA＝PE，∴ △PAE为等边三角形，由切割线定理有PA2＝PD·PB＝9，‎ ‎∴ AE＝EP＝PA＝3，ED＝EP－PD＝2，EB＝PB－PE＝6，‎ 由相交弦定理有EC·EA＝EB·ED＝12，‎ EC＝12÷3＝4.‎ ‎1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆圆O的弦AE交BC于点D.求证：△ABD∽△AEB.‎ 证明：∵ AB＝AC，∴ ∠ABD＝∠C.‎ 又∠C＝∠E，∴ ∠ABD＝∠E，‎ 又∠BAE为公共角，∴ △ABD∽△AEB.‎ ‎2. (2016·常州监测)如图所示，△ABC是圆O的内接三角形，且AB＝AC，AP∥BC，弦CE的延长线交AP于点D.求证：AD2＝DE·DC.‎ 证明：连结AE，则∠AED＝∠B.‎ ‎∵ AB＝AC，∴ ∠ACB＝∠B，∴ ∠ACB＝∠AED.‎ ‎∵ AP∥BC，∴ ∠ACB＝∠CAD，‎ ‎∴ ∠CAD＝∠AED.‎ 又∠ACD＝∠EAD，∴ △ACD∽△EAD.‎ ‎∴ ＝，即AD2＝DE·DC.‎ ‎3. (2016·徐州、连云港、宿迁三模)如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F.求证：AB2＝BE·BD－AE·AC.‎ 证明：连结AD，BC，∵ AB为圆的直径，∴ AD⊥BD.‎ 又EF⊥AB，则A，D，E，F四点共圆，‎ ‎∴ BD·BE＝BA·BF.‎ 又△ABC∽△AEF，∴ ＝，‎ 即AB·AF＝AE·AC，‎ ‎∴ BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB·(BF－AF)＝AB2.‎ ‎4. (2016·镇江期末)在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P，求证：AP·AN＋BP·BM＝AB2.‎ 证明：作PE⊥AB于E.‎ ‎∵ AB为直径，∴ ∠ANB＝∠AMB＝90°，‎ ‎∴ P，E，B，N四点共圆，P，E，A，‎ M四点共圆．‎ [来源:学科网ZXXK]‎ ‎①＋②，得AB(AE＋BE)＝AP·AN＋BP·BM，‎ 即AP·AN＋BP·BM＝AB2.‎ ‎1. (2016·河西联考)如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.‎ ‎(1) 求证：△ABE∽△ADC；‎ ‎(2) 若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．‎ ‎(1) 证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.‎ 因为∠AEB与∠ACB是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.‎ 故△ABE∽△ADC.‎ ‎(2) 因为△ABE∽△ADC，‎ 所以＝，即AB·AC＝AD·AE.‎ 又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，‎ 故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.‎ 则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.‎ ‎2. 如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED(E在C，D之间)，求证：∠CBE＝∠BDE.‎ 证明：因为CA为圆O的切线，所以CA2＝CE·CD.‎ 又CA＝CB，所以CB2＝CE·CD，即＝.‎ 又∠BCD＝∠BCD，所以△BCE∽△DCB，‎ 所以∠CBE＝∠BDE.‎ ‎3. (2016·南通一模)如图，圆O的直径AB＝10，C为圆上一点，BC＝6.过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE的长．‎ 解：因为圆O的直径为AB，C为圆上一点，‎ 所以∠ACB＝90°，AC＝＝＝8.‎ 因为直线l为圆O的切线，所以∠DCA＝∠CBA.‎ 所以Rt△ABC∽Rt△ACD，所以＝＝.‎ 因为AB＝10，BC＝6，‎ 所以AD＝＝，DC＝＝.‎ ‎4. (2016·苏锡常镇、宿迁二模)如图，直线AB与圆O相切于点B，直线AO交圆O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C，且AD＝3DC，BC＝，求圆O的直径．‎ 解：因为DE是圆O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°.‎ 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°.‎ 又AB切圆O于点B，得∠ABD＝∠BED，‎ 所以∠CBD＝∠DBA.‎ 即BD平分∠CBA，则＝＝3.‎ 又BC＝，从而AB＝3，所以AC＝＝4，‎ 所以AD＝3.‎ 由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，‎ 故DE＝AE－AD＝3，即圆O的直径为3.‎ ‎1. 与圆有关的辅助线的五种作法 ‎(1) 有弦，作弦心距；‎ ‎(2) 有直径，作直径所对的圆周角；‎ ‎(3) 有切点，作过切点的半径；‎ ‎(4) 两圆相交，作公共弦；‎ ‎(5) 两圆相切，作公切线．‎ ‎2. 圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．‎ ‎[备课札记]‎ ‎　,　‎ ‎ ‎