【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版12-3离散型随机变量的分布列及期望、方差学案 21页

‎§12.3　离散型随机变量的分布列及期望、方差 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．‎ ‎2.了解超几何分布，并能进行简单应用．‎ ‎3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.‎ 以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法．在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中低档.‎ ‎1．离散型随机变量 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．‎ ‎2．离散型随机变量的分布列及性质 ‎(1)离散型随机变量的分布列：‎ 若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列．‎ ‎(2)离散型随机变量的分布列的性质：‎ ‎①pi≥0_(i＝1,2,3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；‎ ‎③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.‎ ‎3．常见离散型随机变量的分布列 ‎(1)二点分布 如果随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎0‎ P p q 其中00，所以a＝1，‎ 所以E(X)＝0×＋1×＝.故选C.‎ ‎2．设随机变量X的分布列如下，则P(|X－2|＝1)等于(　　)‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P m A. B. C. D. 答案　C 解析　由＋＋m＋＝1，得m＝，‎ 所以P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＋＝.故选C.‎ ‎3．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字和为X，则X≥8的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知，X的取值为6,9,12，‎ 又P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝，‎ 所以X≥8的概率为＋＝，故选C.‎ ‎4．设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则P等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知，分布列为 ξ ‎1‎ P a ‎2a ‎3a ‎4a ‎5a 由分布列的性质可得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，‎ 解得a＝.‎ 所以P＝P＋P＋‎ P＝＋＋＝.故选C.‎ ‎5．一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　记得分为X，则X的可能取值为5,6,7,8，P(X＝7)＝＝；P(X＝8)＝＝，所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.‎ ‎6．设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎2－3q q2‎ 则q等于(　　)‎ A．1 B.± C.－ D.＋ 答案　C 解析　∵＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋＝0，解得q＝±.又由题意知0600时，‎ E(Y)＝×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋×[600×2＋(n－600)×(－2)]＝1 760－2n<560，‎ 所以当n＝400时，Y的期望取得最大值640.‎ ‎13．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．‎ ‎(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；‎ ‎(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．‎ 解　(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：‎ 第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA，再从另一组中任取一只进行化验，其恰好含有病毒DNA，此种情况的概率为×＝；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为×＝.‎ 所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为 ＋＝.‎ ‎(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10,18,24,30,36.‎ P(η＝10)＝，‎ P(η＝18)＝×＝，‎ P(η＝24)＝××＝，‎ P(η＝30)＝×××＝，‎ P(η＝36)＝×××＝，‎ 则化验费η的分布列为 η ‎10‎ ‎18‎ ‎24‎ ‎30‎ ‎36‎ P 所以E(η)＝10×＋18×＋24×＋30×＋36×＝(元)．‎ ‎14．为了研究学生的数学核心素养与抽象(能力指标x)、推理(能力指标y)、建模(能力指标z)的相关性，并将它们各自量化为1,2,3三个等级，再用综合指标w＝x＋y＋z的值评定学生的数学核心素养：若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级．为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：‎ 学生编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ ‎(x，y，z)‎ ‎(2,2,3)‎ ‎(3,2,2)‎ ‎(3,3,3)‎ ‎(1,2,2)‎ ‎(2,3,2)‎ 学生编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ ‎(x，y，z)‎ ‎(2,3,3)‎ ‎(2,2,2)‎ ‎(2,3,3)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,2)‎ ‎(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；‎ ‎(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X＝a－b，求随机变量X的分布列及期望．‎ 解　(1)由题意可知，建模能力指标为1的学生是A9；建模能力指标为2的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力指标为3的学生是A1，A3，A6，A8.‎ 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，‎ 则P(A)＝＝.‎ ‎(2)由题意可知，数学核心素养等级是一级的有A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养等级不是一级的有A4，A7，A9，A10.‎ X的所有可能取值为1,2,3,4,5.‎ P(X＝1)＝＝；‎ P(X＝2)＝＝；‎ P(X＝3)＝＝；‎ P(X＝4)＝＝；‎ P(X＝5)＝＝.‎ ‎∴随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎∴E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.‎ ‎15．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝2，则随机变量ξ的期望是________．‎ 答案　 解析　ξ的可能取值为0，，1,2，则 P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝.‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(ξ)＝0×＋×＋1×＋2×＝.‎ ‎16．设0