【数学】天津市武清区杨村一中2020届高三上学期第一次月考试题（解析版） 12页

天津市武清区杨村一中2020届高三上学期第一次月考 数学试题 一、选择题（本题共8题，每小题5分，共40分〉‎ ‎1.已知集合,,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,故.‎ 故选：B.‎ ‎2.等比数列的前n项和为，若，则（ ）‎ A. 15 B. ‎30 ‎C. 45 D. 60‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，等比数列的前n项和为，满足，‎ 则，所以，‎ 则，故选C.‎ ‎3.设函数，的值域是，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，则，函数值域为，‎ 则，‎ 解得.‎ 故选：B.‎ ‎4.函数的图象大致为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于，排除C选项，，排除B选项，，不选A,故选D选项.‎ ‎5.已知= ，=.则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，即，‎ 又因为，所以，联立与可得，应选答案C．‎ ‎6.已知函数在区间上是增函数，且.若，则 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，因为，所以为偶函数，‎ 又因为是上的增函数，所以是上的减函数，‎ 又因为，所以，‎ 所以，解得，故选C.‎ ‎7.将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，向右平移个单位得：‎ ‎，‎ 平移后的函数恰为偶函数，为其对称轴，‎ 时，， ，即，‎ 时，.‎ ‎8.设是边长为1的等边三角形，M为所在平面内一点，且，则当取最小值时，λ的值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，‎ 所以，即 所以，所以 令，则，即 所以，‎ 所以 所以当，即时取得最小值 故选：A.‎ 二、填空题（本题共6题，每小题5分，共30分）‎ ‎9.的展开式中含的项的系数是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（x）6的展开式的通项公式为Tr+1•（﹣1）r•x6﹣2r，‎ 令6﹣2r＝2，求得r＝2，故展开式中x2的系数为15，‎ 故答案为15．‎ ‎10.的内角的对边分别为，若的面积为，则C=_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由余弦定理，‎ 可得的面积，‎ 又的面积，‎ ‎，‎ 又.‎ 故答案为：.‎ ‎11.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】．‎ 故答案为120．‎ ‎12.如图，在等边三角形中，，点为的中点，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最小值是________.‎ ‎【答案】-3.‎ ‎【解析】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则，，,AC中点.‎ 设，则，‎ ‎.‎ ‎∵在直线上，∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴当时，的最小值为-3.‎ 故答案为-3‎ ‎13.若函数在上是增函数，则的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】整理函数的解析式有：‎ 结合题意可知函数的最小正周期：,‎ 即，求解不等式可得的取值范围是.‎ ‎14.已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分类讨论：①当时，即：，‎ 整理可得：，‎ 由恒成立的条件可知：，‎ 结合二次函数的性质可知：‎ 当时，，则；‎ ‎②当时，即：，整理可得：，‎ 由恒成立的条件可知：，‎ 结合二次函数的性质可知：‎ 当或时，，则；‎ 综合①②可得的取值范围是，故答案为.‎ 三、解答题（本题共6题，共80分）‎ ‎15.已知函数 ‎(1)求的最小正周期；‎ ‎(2)求的单调增区间；‎ ‎(3)若求函数的值域．‎ 解：(1)由题得，‎ 所以函数的最小正周期为.‎ ‎(2)令 所以,‎ 所以函数的单调增区间为.‎ ‎(3)‎ ‎，‎ 所以函数的值域为.‎ ‎16.随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走人大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元不足1小时的部分按1小时计算甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过三小时．‎ Ⅰ求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；‎ Ⅱ设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．‎ 解：Ⅰ甲、乙两人所付费用相同，即为2，4，6元，‎ 都付2元的概率为，‎ 都付4元的概率为，‎ 都付6元的概率为，‎ 甲、乙两人所付租车费用相同的概率：‎ ‎．‎ Ⅱ依题意，的可能取值为4，6，8，10，12，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ 8‎ ‎ 10‎ ‎ 12‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎17.已知函数 ‎（1）求在点处的切线方程；‎ ‎（2）若存在，满足成立，求的取值范围．‎ 解：（1），，‎ 在处的切线方程为：，即；‎ ‎（2），即，令，得.‎ 时， ，时，.‎ 在上减，在上增，‎ 又时，的最大值在区间端点处取到.‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，在上最大值为，故的取值范围是：.‎ ‎18.在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足,.‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）求周长的取值范围.‎ 解：（1）由正弦定理得,即 即 ‎∴.‎ 又为锐角三角形,‎ ‎∴‎ ‎（2）由正弦定理：‎ ‎∴,故 ‎∴,故.‎ ‎∴,‎ ‎∴故周长的取值范围是 ‎19.已知数列的前n项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前n项和.‎ ‎（Ⅲ）记.是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 解：（Ⅰ）当时，，即 当时，‎ ‎，即 数列是首项为1，公比为2的等比数列 故 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 两式相减得 ‎=‎ ‎（Ⅲ）‎ 又 即 当为偶数时，，则 当为奇数时，，则 综上：‎ ‎20.已知函数，.‎ ‎（I）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；‎ ‎（II）若函数有且仅有一个零点，求的值；‎ ‎（III）若函数有两个极值点，且，求的取值范围.‎ 解：（I）由，得，‎ ‎（1），又（1），‎ 曲线在点，（1）处的切线方程为，‎ 代入，得，‎ 当或时，△，有两个公共点；‎ 当或时，△，有一个公共点；‎ 当时，△，没有公共点．‎ ‎（II），‎ 由，得，‎ 令，，‎ 在上递减，在上递增，‎ 因此，（1）．‎ ‎（III），‎ 令，‎ ‎，‎ 即有两个不同的根，，‎ 令，‎ 且当时，随的增大而增大；‎ 当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 此时．‎ 即时，‎ ‎．‎