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- 2021-06-16 发布
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第一节不等式的性质
一、基础知识批注——理解深一点
1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔a＞b.
(2)a－b＝0⇔a＝b.
(3)a－b＜0⇔a＜b.
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒ac； 同向不等式可
相加，不能相减．
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc; c<0时应变号．
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒> (n∈N，n≥2)．
二、常用结论汇总——规律多一点
1．倒数性质
(1)a>b，ab>0⇒<；
(2)a<0b>0，d>c>0⇒>.
2．分数性质
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<；>(b－m>0)；
(2)假分数性质：>；<(b－m>0)．
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.( )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )
(4)a>b>0，c>d⇒>.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
(二)选一选
1．若a B.>
C．|a|>|b| D．a2>b2
解析：选A 取a＝－2，b＝－1，则>不成立．
2．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( )
A．M ＞N B．M ≥N
C．M＜N D．M≤N
解析：选A 因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M ＞N，故选A.
(三)填一填
4．若ab＜0，且a>b，则与的大小关系是________．
答案：＞
5．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
答案：(－π，0)
[典例] (1)(2016·北京高考)已知x，y∈R，且x>y>0，则( )
A.－>0 B．sin x－sin y>0
C.x－y<0 D．ln x＋ln y>0
(2)若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
[解析] (1)因为－＝＜0，所以A错误；因为当x＝π，y＝时，sin x－sin y＜0，所以B错误；因为函数y＝ x在(0，＋∞)上单调递减，所以x＜y，即x－y＜0，所以C正确；因为当x＝1，y＝时，ln x＋ln y＜0，所以D错误．
(2)易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
[答案] (1)C (2)＜
[解题技法] 比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
[题组训练]
1．已知a1，a2∈(0,1)，若M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
解析：选B M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)．
∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，
∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.
∴M ＞N.
2．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则与的大小关系为
________．
解析：当q＝1时，＝3，＝5，所以＜.
当q＞0且q≠1时，
－＝－
＝＝＜0，
所以＜.
综上可知＜.
答案：＜
考法(一) 判断不等式是否成立
[典例] (1)对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：
①若ac2>bc2，则a>b；
②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；
③若a>b，c>d，则ac>bd；
④若a>b，则>.
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)(2018·山西陵川一中期中)若abd B．ac
[解析] (1)①由ac2>bc2，得c≠0，则a>b，①正确；
②由不等式的同向可加性可知②正确；
③错误，当0>c>d时，不等式不成立．
④错误，令a＝－1，b＝－2，满足－1>－2，但<.故选B.
(2)∵a－b>0，－c>－d>0，∴ac>bd，故选A.
[答案] (1)B (2)A
[解题技法] 判断不等式是否成立的方法
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．
(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．
考法(二) 求代数式的取值范围
[典例] 已知－1b，则下列不等式中恒成立的是( )
A．ln a>ln b B.<
C．a2>ab D．a2＋b2>2ab
解析：选D 只有在a>b>0时，A才有意义，A错；B选项需要a，b同正或同负，B错；C只有a>0时正确；因为a≠b，所以D正确．
2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“ab，<同时成立，则( )
A．ab>0 B．ab<0
C．a＋b>0 D．a＋b<0
解析：选A 因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.
3．设a0，则下列不等式中不成立的是( )
A.> B.>
C．|a|c>－bc D.>
解析：选B 由题设得a|a＋b|
解析：选D ∵<<0，∴ba2，ab0
C．ab<0 D．|a|<|b|
解析：选A 法一：由于a0时，|b|＝b<|a|＝－a，|b|<－a成立；当b<0时，－b<－a，则|b|<－a成立．综上，|b|<－a.
法二：因为an≥2，所以mn≥4；结合定义及p⊕q≤2可得或即qy>z，且x＋y＋z＝0，则下列不等式一定成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
解析：选C 因为x>y>z，所以3x>x＋y＋z＝0,3z0，z<0.由x>0，y>z，得xy>xz.由x>y，z<0，得xzb”是“a2>b2”的充分条件；
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件；
③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．
解析：对于命题①，取a＝1，b＝－2，则a>b，a2＝1，b2＝4，则“a>b”不是“a2>b2”的充分条件，命题①错误；对于命题②，由a2>b2，可得|a|2>|b|2，故有|a|>|b|，故“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件，命题②正确；对于命题③，在不等式a>b两边同时加上c得a＋c>b＋c，另一方面，在不等式a＋c>b＋c两边同时减去c得a>b，故“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件，命题③正确．故真命题的序号是②③.
答案：②③
12．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是______．
解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴≥0.
∴＋≥＋.
答案：＋≥＋
13．若a>b>0，c.
证明：∵c－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
∴0<<.
又∵e<0，∴>.
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