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- 2021-06-16 发布
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§3.4 定积分与微积分基本定理
考纲展示► 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．
2．了解微积分基本定理的含义．
考点1 定积分的计算
1.定积分的定义
一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x00)所围成的曲边梯形的面积为(kx－x2)dx＝＝－k3＝，即k3＝8，∴k＝2.
[点石成金] 1.利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：
(1)画出图形；
(2)确定被积函数；
(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；
(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
2．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.
1.由曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝所围成的平面图形的面积是( )
A．1 B．
C. D．2－2
答案：D
解析：由sin x＝cos x，解得x＝，故图中阴影部分的面积
S＝ (cos x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx
＝(sin x＋cos x) ＋(－cos x－sin x)
＝sin ＋cos －cos 0＋
＝2－2.(本题也可利用图形的对称性求解)
2．[2017·山东日照模拟]如图，由两条曲线y＝－x2，y＝－x2及直线y＝－1所围成的平面图形的面积为________．
答案：
解析：由 得交点A(－1，－1)，B(1，－1)．
由 得交点C(－2，－1)，D(2，－1)．
∴面积S＝2
＝2＝.
考点3 定积分在物理中的应用
[典题3] [2017·湖北武汉调研]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
[答案] C
[解析] 令v(t)＝0，得
t＝4或t＝－(舍去)，
∴汽车行驶距离s＝dt
＝
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m)．
[点石成金] 定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.
一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________焦．
答案：36
解析：由题意知，力F(x)所做的功为
W＝F(x)dx＝5dx＋(3x＋4)dx
＝5×2＋
＝10＋
＝36(焦)．
[方法技巧] 1.求定积分的方法
(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．
(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)．
(3)利用定积分的几何意义求定积分．
2．求曲边多边形面积的步骤
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形．
(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限．
(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和．
(4)计算定积分．
[易错防范] 1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．
2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．
3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．
4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．
5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷．
真题演练集训
1．[2014·陕西卷]定积分(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
答案：C
解析：(2x＋ex)dx＝(x2＋ex) ＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，故选C.
2．[2014·山东卷]直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
答案：D
解析：由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(4x－x3)dx＝＝4.
3．[2015·天津卷]曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．
答案：
解析：如图，阴影部分的面积即为所求．
由得A(1,1)．
故所求面积为S＝(x－x2)dx＝|＝.
4．[2015·湖南卷](x－1)dx＝________.
答案：0
解析：(x－1)dx＝＝(2－2)－0＝0.
5．[2015·陕西卷]如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．
答案：1.2
解析：建立如图所示的平面直角坐标系．
由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y＝x2－2，抛物线与x轴围成的面积S1＝－5dx＝，梯形面积S2＝＝16.最大流量比为S2∶S1＝1.2.
课外拓展阅读
探究定积分与不等式交汇问题
[典例][2016·湖南长沙模拟]如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)＝sin x；x∈(0，π)及直线x＝a，a∈(0，π)与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是( )
A. B．
C. D．
[审题视角] 先运用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率计算公式求出概率．
[解析] 由已知S矩形OABC＝a×＝6，
而阴影部分的面积为
S＝sin xdx＝(－cos x) ＝1－cos a，
依题意有＝，即＝，
解得cos a＝－，又a∈(0，π)，
所以a＝.故选B.
[答案] B
定积分还可与其他知识交汇，如与二项式定理、数列等知识交汇．
方法点睛
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