新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：5-1-2 复数的几何意义 课件（57张） 57页

1.2　复数的几何意义 必备知识·自主学习 1.复平面 导 思 1.复数与向量之间具有怎样的对应 关系? 2.如何比较复数(模)的大小? 【思考】 　有些同学说:实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗? 提示:不正确.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点 对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数. 2.复数的几何意义 3.复数的模 (1)定义:向量 的___称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模. (2)记法:复数z=a+bi(a,b∈R)的模记为|z|或|a+bi|且|z|= 注意:对复数模的两点说明 (1)数的角度理解:复数a+bi(a,b∈R)的模|a+bi|= 两个虚数不能比较 大小,但它们的模表示非负实数,可以比较大小. (2)几何角度理解:表示复数的点Z到原点的距离.|z1-z2|表示复数z1,z2对应的点 之间的距离. OZ  模 2 2a b .＋ 2 2a b ,＋ 【思考】 　复数模的几何意义是什么? 提示:复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足条件|z|=r的 点Z的轨迹为以原点为圆心,r为半径的圆, |z|r表示圆的外 部. 4.共轭复数 若两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数.复 数z的共轭复数用 表示.当z=a+bi(a,b∈R)时, =a-bi. 注意:对共轭复数模的两点说明 (1)在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称,并且它们的模相等; (2)任意一个实数的共轭复数仍是它本身. z z 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)复平面内的点与复数是一一对应的. (　　) (2)复数即为向量,反之,向量即为复数. (　　) (3)复数的模一定是正实数. (　　) (4)复数与向量一一对应.(　　) 提示:(1)√　(2)×　(3)×　(4) × 2.已知复数z=-i,复平面内对应点Z的坐标为 (　　) A.(0,-1) B.(-1,0) C.(0,0)　 D.(-1,-1) 【解析】选A.复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故复平面内对应点Z的坐标为 (0,-1). 3.向量a=(-2, 1)所对应的复数是 (　　) A.z=1+2i B.z=1-2i C.Z=-1+2i D.z=-2+i 【解析】选D.向量a=(-2,1)所对应的复数是z=-2+i. 4.已知复数z=1+2i(i是虚数单位),则 =________.  【解析】因为z=1+2i,所以 =1-2i. 答案:1-2i z z 5.(教材二次开发:习题改编)已知复数z= +(m-1)i对应的点位于第二象限, 则实数m的范围为________.  【解析】因为复数z= +(m-1)i对应的点 位于第二象限,所以 m2-2<0,且m-1>0,所以13 C.|z|≠|1+2i| D.|z|=|1-2i| 3.已知复数z满足z+|z|=2+8i,求复数z. 【解析】1.选C. 2.选D.复数z=-1+2i, 排除AB, 故得到 3.设z=a+bi(a,b∈R),则|z|= 代入方程得a+bi+ =2+8i, 所以 解得 所以z=-15+8i. 2 2z 1 i 1 1 2.    － (－ ) 2 2z 2 ( 1) 5.  － 1 2i 1 2i 5.  － z 1 2i . － 2 2a b＋ ， 2 2a b＋ 2 2a a b 2, b 8   ＋ ＋ ＝ ＝ ， a 15, b 8    ＝－ ＝ ， 3.设z=a+bi(a,b∈R),则|z|= , 代入方程得a+bi+ =2+8i, 所以 解得 所以z=-15+8i. 答案:-15+8i 2 2a b＋ 2 2a b＋ 2 2a a b 2 b 8      ， ， a 15 b 8.     ， 【解题策略】 　复数模的计算 (1)计算复数模时,应先确定复数的实部和虚部,再利用模长公式进行计算.虽然两 个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小. (2)设出复数的代数形式,利用模的定义转化为实数问题求解. 类型二　复平面的应用(逻辑推理) 【典例】求实数a分别取何值时,复数z= +(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z 满足下列条件: (1)在复平面的第二象限内. (2)在复平面内的x轴上方. 2a a 6 a 3 － － ＋ 【思路导引】确定z的实部、虚部→列不等式组 【解析】(1)点Z在复平面的第二象限内, 则 解得a<-3. (2)点Z在x轴上方则 解得a>5或a<-3. 2 2 a a 6 0a 3 a 2a 15 0    － － ＜ ，＋ － － ＞ ， 2a 2a 15 0 a 3 0    － － ＞ ， ＋ ， 【变式探究】 　本例中题设条件不变,求复数z表示的点Z在x轴上时,求实数a的值. 【解析】点Z在x轴上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.故a=5时点Z在x轴上. 【解题策略】 　利用复数与点的对应解题的步骤 (1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、纵坐标. (2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系. 类型三　复数模的几何意义(直观想象) 【典例】设z∈C,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z的集合是什么 图形. (1)|z|=3;(2)1≤|z|≤2. 【思路导引】根据复数模的几何意义,即复数的模就是复数对应的点到原点的 距离. 【解析】(1)|z|=3,说明向量 的长度等于3,即复数z在复平面内对应的点Z到 原点的距离为3,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,3为半径的圆. OZ  (2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组 不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|≥1的解集 是圆|z|=1及该圆外部所有点的集合. 这两个集合的交集,就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分,所 求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边 界. z 2 z 1.    ， 【解题策略】 解决复数模的几何意义的问题的求解策略 |z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形. 【跟踪训练】 　(2020·广州高一检测)设复数z=x+yi(x,y∈R)满足|x+(y-1)i|=2,z在复平面内 对应的点为(x,y),则 (　　) A.(x+1)2+y2=2 B.(x-1)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=4 D.x2+(y+1)2=2 【解析】选C.因为z在复平面内对应的点为(x,y), 所以 =2,即x2+(y-1)2=4.2 2x (y 1) － 1.复数z=4-2i(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选D.复数z=4-2i对应的坐标为 在第四象限. 课堂检测·素养达标 (4, 2)－ ， 2.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为 (　　) A.1或3　 B.1 C.3 D.2 【解析】选A.依题意可得 =2,解得m=1或3.2 2(m 3) (m 1)－ ＋ － 3.在复平面内表示复数z=(m-3)+2 i的点在直线y=x上,则实数m的值为 ________.  【解析】因为z=(m-3)+2 i表示的点在直线y=x上,所以m-3=2 ,解之得m=9. 答案:9 m m m 4.复数z=x-2+(3-x)i在复平面内的对应点在第四象限,则实数x的取值范围是 ________.  【解析】因为复数z在复平面内对应的点在第四象限,所以 解得x>3. 答案:(3,+∞) x 2 0 3 x 0    － ＞ ， － ＜ ， 5.(教材二次开发:习题改编)z=m2-2+ 其共轭复数 对应复平面 内的点在第二象限,则实数m的范围是________.  【解析】由已知得: =m2-2- i对应复平面内的点在第二象限, 所以 解得 所以 答案: (2m 1)i(m R)－ ， z z (2m 1)－ 2m 2 0 2m 1 0     － ， － ＜ ， 2 m 2 1m 2     － ， ＜ ， 12 m .2  － 1 ( 2, )2－ 三十六　复数的几何意义 【基础通关--水平一】　 (15分钟　30分) 1.(2020·成都高一检测)已知复数z=1-2i,则 (　　) A. 　 B.1+2i C. D. 【解析】选B.复数z=1-2i,则 =1+2i. 课时素养评价 z  5 1 2 i5 5  1 2 i5 5－ z 2.(2020·大同高一检测)当 0,m-1<0,点在第四象限. 2 3 2 3 【补偿训练】 　　(2020·巴楚高一检测)i是虚数单位,则复数i+i2在复平面内所对应的点在(　 　) A.第一象限　　　　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选B.因为i+i2=-1+i,所以复数i+i2在复平面内所对应的点为(-1,1), 在第二象限. 3.已知a是实数,a-1+ i是纯虚数,则复数z=a+i的模等于 (　　) A.2 B. C. D.1 【解析】选C.a-1+ i是纯虚数,则实部为0,虚部不为0,即a=1,所以 z=1+i,|z|= . (a 1) a 1（ ） 3 2 2 4.在复平面内,O为原点,向量 对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对 称点为B,则向量 对应的复数为 (　　) A.-2-i　 B.-2+i C.1+2i　 D.-1+2i 【解析】选B.因为A(-1,2)关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以向量对应的 复数为-2+i. OA  OB  5.(2020·南京高一检测)若m∈R,i为虚数单位,且 则m的值 为　　　　.  【解析】由 可得 解得m=±1. 答案:±1 2 mi 5  ， 2 22 m 5  ， 2 mi 5  ， 6.在复平面内,O为坐标原点,向量 对应的复数为3-4i,若点B关于原点的对 称点为A,点A关于虚轴的对称点为C,则向量 对应的复数为　　　　.  【解析】因为点B的坐标为(3,-4),所以点A的坐标为(-3,4),所以点C的坐标为 (3,4), 所以向量 对应的复数为3+4i. 答案:3+4i OB  OC  OC  【补偿训练】 　　　在复平面内,把复数3- i对应的向量按顺时针方向旋转 ,所得向量 对应的复数是 (　　) A.2 　　　　　　 B.-2 i C. -3i D.3+ i 【解析】选B.复数对应的点为(3,- ),对应的向量按顺时针方向旋转 ,则 对应的点为(0,-2 ),所得向量对应的复数为-2 i. 3 3  3 3 3 3 3 3  3 3 【能力进阶--水平二】 (20分钟　40分) 一、单选题(每小题5分,共15分) 1.若x,y∈R,i为虚数单位,且x+y+(x-y)i=3-i,则复数x+yi在复平面内所对应 的点在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选A.因为x+y+(x-y)i=3-i,所以 解得 所以复数1+2i在复平面内所对应的点在第一象限. x y 3 x y 1    ＋ ＝ ， － ＝－ ， x 1 y 2    ＝ ， ＝ ， 2.在复平面内,复数z1,z2的对应点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|=2 , |z2|= ,则z2等于 (　　) A.4+5i B.5+4i C.3+4i D.5+4i或 5 41 1 32 i5 5＋ 【解析】选D.设z2=x+yi(x,y∈R), 由条件得 所以 或 所以z2=5+4i或 2 2 2 2 (x 1) (y 2) 20 x y 41.   － ＋ － ＝ ， ＋ ＝ x 5 y 4    ＝ ＝ 1x 5 32y .5     ＝ ， ＝ 1 32 i.5 5  3.已知复数z满足|z|2-3|z|+2=0,则复数z对应点的轨迹是 (　　) A.一个圆　 B.两个圆 C.两点　　 D.线段 【解析】选B.由|z|2-3|z|+2=0,得(|z|-1)·(|z|-2)=0,所以|z|=1或|z|=2.由 复数模的几何意义知,z对应点的轨迹是两个圆. 二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分) 4.(2020·海口高一检测)已知复数z=x+yi ,则 (　　) A.z2≥0　　　　　　　　　　 B.z的虚部是yi C.若z=1+2i,则x=1,y=2 D. (x,y R) 2 2z x y  【解析】选CD.对于A选项,取z=i,则z2=-1<0,A选项错误; 对于B选项,复数z的虚部为y,B选项错误; 对于C选项,若z=1+2i,则x=1,y=2,C选项正确;对于D选项, D选项正 确. 2 2z x y  【补偿训练】 　　(2020·潍坊高一检测)在复平面内,设z= ,t∈R,i为 虚数单位,则以下结论正确的是 (　　) A.z对应的点在第一象限 B.z一定不为纯虚数 C.z一定不为实数 D. 对应的点在实轴的下方 2 2(2t 5t 3) (t 2t 2)i   － z 【解析】选CD.因为2t2+5t-3=2 t2+2t+2= +1>0, 所以,复数z对应的点可能在第一象限、第二象限或虚轴上,故A错误; 当 即t=-3或t= 时,z为纯虚数,故B错误; 因为t2+2t+2>0恒成立,所以z一定不为实数,故C正确;由选项A的分析知,z对应 的点在实轴的上方,所以 对应的点在实轴的下方,故D正确. 25 49 49(t )4 8 8  － － ， 2(t 1) 2 2 2t 5t 3 0, t 2t 2 0       － ， 1 2 z 三、填空题(每小题5分,共10分) 5.若复数z满足z+|z|=2,则z=　　　　.  【解析】设z=a+bi(a,b∈R), 所以z+|z|=a+bi+ =2, 所以 解得 所以z=1. 答案:1 2 2a b 2 2a a b 2, b 0,      a 1 b 0    ， ， 6.若复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是　　　 　.  【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第 二象限, 所以 解得-13, 所以m的取值范围是m>3; (2)因为z= ,所以 =(m-2)+(9-m2)i,因为 与复数 +5i相 等, 所以 ，解得m=-2. 2 m 2 0 m 9 0    － ， － ， 2(m 2) (m 9)i－ － z z 8 m 2 8m 2 m 9 m 5     － － 【补偿训练】 　　(2020·潍坊高一检测)设复数z=lg 试求实数m取何 值时(1)z是纯虚数;(2)z是实数; (3)z对应的点位于复平面的第二象限. 2 2(m 2m 2) (m 3m 2)i  － － ， 【解析】(1)若z=lg 是纯虚数, 则可得 , 即 ,解之得m=3(舍去-1); (2)若z=lg 是实数,则可得m2-2m-2>0且m2+3m+2=0,解之 得m=-1或m=-2; 2 2(m 2m 2) (m 3m 2)i  － － ， 2 2 lg(m 2m 2) 0 m 3m 2 0      － － 2 2 m 2m 2 1 m 3m 2 0      － － 2 2(m 2m 2) (m 3m 2)i  － － ， (3)因为z=lg 对应的点坐标为 因为该对应点位于复平面的第二象限,则可得 即 解之得-1