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- 2021-06-16 发布
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微专题98 含新信息问题的求解
一、基础知识:
所谓“新信息背景问题”,是指题目中会介绍一个“课本外的知识”,并说明它的规则,然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问题有时提供的信息比较抽象,并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧
1、读取“新信息”的步骤
(1)若题目中含有变量,则要先确定变量的取值范围
(2)确定新信息所涉及的知识背景,寻找与所学知识的联系
(3)注意信息中的细节描述,如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律
(4)把对“新信息”的理解应用到具体问题中,进行套用与分析。
2、理解“新信息”的技巧与方法
(1)可通过“举例子”的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的应用,从而加深对新信息的理解
(2)可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容,如果能够清晰描述,那么说明对此信息理解的较为透彻。
(3)发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会信息的本质特征与规律
(4)如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广,则要关注此信息与原概念的不同之处,以及在什么情况下可以使用原概念。
二、典型例题
例1:设是两个集合,定义集合,如果,,则等于( )
A. B. C. D.
思路:依可知该集合为在中且不属于中的元素组成,或者可以理解为集合去掉的元素后剩下的集合。先解出中的不等式。 ,,所以,从而可得:
答案:B
例2:在内有定义。对于给定的正数,定义函数
取函数。若对任意的,恒有,则( ) A.的最大值为2 B. 的最小值为2 C.的最大值为1 D. 的最小值为1
思路:由所给分式函数可知,若,则取,如果,就取,由这个规则可知,若恒成立,意味着,均有恒成立,从而将问题转化为恒成立问题,即,下面求的最大值:,可知在单调递增,在单调递减,所以,从而,即的最小值为1
答案:D
例3:设集合,在上定义运算为:,其中为被4除的余数,,则满足关系式的的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
思路:本题的关键在于读懂规则,“”运算的结果其实与角标和除以4的余数相关,如果理解文字叙述较为抽象不如举几个例子,例如:,按照要求,除以4的余数为0,所以。掌握规律后再看所求关系式:要求得,则需要先解出,将其视为一个整体,可知,即除以4的余数为0,可推断,即,不妨设,即除以4的余数为2,则的值为,所以或者,共有两个解
答案:C
例4:定义两个平面向量的一种运算,其中为的夹角,对于这种运算,给出以下结论:① ;②;③
;④ 若,则
你认为恒成立的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
思路:本题的新运算,即的模长乘以夹角。所以对于结论①,;对于②,,而,显然当时等式不成立;对于③,(其中表示的夹角),而,显然等式不会恒成立(也可举特殊情况如,左边为0,而右边大于等于0);对于④,可代入坐标进行运算,为了计算简便考虑将左边平方,从而 ,可与 找到联系:,即。综上所述,①④正确
答案:B
例5:如果函数对任意两个不等实数,均有,在称函数为区间上的“G”函数,给出下列命题:
① 函数是上的“G”函数
② 函数是上的“G”函数
③ 函数是上的“G”函数
④ 若函数是上的“G”函数,则
其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
思路:本题看似所给不等式复杂,但稍作变形可得:
,所以即与同号,反映出是上的增函数,从而从单调性的角度判断四个命题:①:恒成立,所以是上的增函数
②③:可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增,通过作图可知②正确,③不正确
④:若是“G函数”,则是上的增函数,所以即恒成立,因为,所以可得:,④正确
综上所述:①②④正确,共有三个命题
答案:C
例6:对于各数互不相等的正数数组,其中,如果在时,有,则称“与”是该数组的一个“顺序”,一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”,例如:数组中有顺序“”,“”,其“顺序数”等于2,若各数互不相等的正数数组的“顺序数”是4,则的“顺序数”是( )
A. B. C. D.
思路:本题中对于“顺序”的定义为,即序数小的项也小。要得到“顺序数”则需要对数组中的数两两进行比较,再进行统计。在所求数组中可发现刚好是进行倒序的排列,所以原先数组的“顺序”在新数组中不成立,而原先数组不成“顺序”的(即)反而成为所求数组的“顺序”。在五元数组中任意两个数比较大小,共有组,在中“顺序”有4个,则非“顺序”有6个,所以到了中,顺序数即为6
答案:B
小炼有话说:本题也可以通过特殊的例子得到答案:例如由的“顺序数”是4,假设,其余各项,则在
中即可数出顺序数为6
例7:对任意实数定义运算如下:,则函数的值域为( )
A. B. C. D.
思路:本题可将描述成取中较小的数,即,所以对于,即为中较小的数。解不等式,则,所以,从而可解得值域为
答案:B
小炼有话说:本题也可以利用数形结合的方式, 的图像为将的图像画在同一坐标系下,取位于下方的部分,从而作出的图像,其中的交点通过计算可得,所以结合图像即可得到的值域为,即
例8:已知平面上的线段及点,任取上一点,线段长度的最小值称为到的距离,记作
(1)求点到线段的距离
(2)设是长为2的线段,求点的集合所表示的图形面积
思路:首先要明确新定义的“距离”,即线段上的点到该点的最小值。此时可做几个具体的图形来理解定义。可发现过作线段的垂线,若垂足在线段上,则垂线段最短,
与传统的定义相同;若垂足在线段的延长线上,则需找线段上距离点最近的,即线段的某个端点。在第(1)问中,作出图像可得在线段上的垂足位于线段延长线上,所以只需比较到两个端点的距离即可;在第(2)问中,先作出的图形,表示的图形是长为2,宽为2的正方形和两个半径是1的半圆的组合图形,则为该图形的内部,再求出面积即可
解:(1)设线段的端点,代入直线方程可得:
(2)若,则点的轨迹为长 ,宽的正方形和两个半径 的半圆的组合图形
例9:设表示不超过的最大整数(如),对于给定的,定义,则当时,函数的值域为( )
A. B. C. D.
思路:由定义的式子可知分子分母含多少项,与的取值有关,即分子分母分别为个项的乘积,所以根据的定义将分为和两段进行考虑。当时,,所以,所以在的值域为;当时,,所以,从而
在 单调递减, ,综上所述可得:
答案:B
例10:在实数集中,我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”,类似的,我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“”。定义如下:对于任意两个向量,当且仅当“ ”或“且”,按上述定义的关系“”,给出下列四个命题:
① 若,则
② 若,,则
③ 若,则对于任意的,
④ 对于任意的向量,其中,若,则
其中命题正确的序号为__________
思路:从题意中可发现比较向量的“序”主要比较的是坐标,其中优先比较横坐标,若横坐标相等则再比较纵坐标,结合这个规律便可分析各个命题:(为方便说明,任一向量的横坐标记为,纵坐标记为
①:显然,所以,,所以,综上可得:
②:由可知:或“且”,同理:由可得:或“且”,所以由不等式和等式的传递性可得“或“且”成立,所以
③:设,由由可知:或“且”,所以或“且”成立,所以
④:设,由可知:或“且”,考虑
若“且”,则 由可知存在一种情况:且,则即,故④不正确
答案:①②③
小炼有话说:本题处理④的关键在于定义中的一种情况:且对无大小限制,且数量积的结果不仅与取值相关,还与的值相关。所以在考虑反例时就可以利用消除横坐标大小的关系。进而的大小关系由的纵坐标决定,就能轻松找到反例了