高中数学高考总复习等差数列习题及详解+函数的单调性与最值习题及详解+充分必要条件习题及详解 23页

高中数学高考总复习等差数列习题及详解 +函数的单调性与最值习题及详解+充分必要条件习题及详解 高中数学高考总复习等差数列习题(附参考答案) 一、选择题 1．(2010·宁夏)一个等差数列的前 4 项是 a，x，b,2x，则a b 等于( ) A.1 4 B.1 2 C.1 3 D.2 3 [答案] C [解析] 2x＝a＋b 2b＝x＋2x ，∴a＝x 2 ，b＝3 2x. ∴a b ＝1 3. 2．(文)(2010·茂名市模考)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝ 1 nn＋1 ，则 S4 等于( ) A.4 5 B.1 5 C. 1 20 D.5 6 [答案] A [解析] ∵an＝ 1 nn＋1 ＝1 n － 1 n＋1 ， ∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4 ＝ 1－1 2 ＋ 1 2 －1 3 ＋ 1 3 －1 4 ＋ 1 4 －1 5 ＝4 5 ，故选 A. (理)已知等差列{an}共有 2008 项，所有项的和为 2010，所有偶数项的和为 2，则 a1004＝( ) A．1 B．2 C. 1 502 D. 1 256 [答案] B [解析] 依题意得2008a1＋a2008 2 ＝2010， a1＋a2008＝1005 502 ，1004a2＋a2008 2 ＝2，a2＋a2008＝ 1 251 ， 故 a2－a1＝－1003 502 ＝d(d 为公差)， 又 a2＋a2008＝2a1005， ∴a1005＝ 1 502 ，a1004＝a1005－d＝ 1 502 ＋1003 502 ＝2. 3．(文)(2010·山东日照模拟)已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0)，且 a3＋a6＋a10＋a13＝32，若 am＝8， 则 m 为( ) A．12 B．8 C．6 D．4 [答案] B [解析] 由等差数列性质知，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32， ∴a8＝8. ∴m＝8.故选 B. (理)(2010·温州中学)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9＝( ) A．63 B．45 C．43 D．27 [答案] B [解析] 由等差数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6 成等差数列，∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∴a7＋a8 ＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝45. 4．(2010·浙江省金华十校)等差数列{an}中，Sn 是{an}前 n 项和，已知 S6＝2，S9＝5，则 S15＝( ) A．15 B．30 C．45 D．60 [答案] A [解析] 解法 1：由等差数列的求和公式及 S6＝2 S9＝5 知， 6a1＋6×5 2 d＝2 9a1＋9×8 2 d＝5 ，∴ a1＝－ 1 27 d＝ 4 27 ， ∴S15＝15a1＋15×14 2 d＝15. 解法 2：由等差数列性质知，{Sn n }成等差数列，设其公差为 D，则S9 9 －S6 6 ＝3D＝5 9 －2 6 ＝2 9 ，∴D＝ 2 27 ， ∴S15 15 ＝S9 9 ＋6D＝5 9 ＋6× 2 27 ＝1，∴S15＝15. 5．(文)(2010·福建福州一中)设数列{an}的通项公式为 an＝20－4n，前 n 项和为 Sn，则 Sn 中最大的是 ( ) A．S3 B．S4 或 S5 C．S5 D．S6 [答案] B [解析] 由 an＝20－4n≥0 得 n≤5，故当 n>5 时，an<0，所以 S4 或 S5 最大，选 B. (理)(2010·山师大附中)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以 Sn 表示{an}的前 n 项和，则使得 Sn 达到最大值的 n 是( ) A．21 B．20 C．19 D．18 [答案] B [解析] ∵3d＝(a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝99－105＝－6，∴d＝－2，由 a1＋a3＋a5＝105 得 3a1＋6d ＝105，∴a1＝39，∴an＝39－2(n－1)＝41－2n， 由 an≥0，n∈N 得，n≤20，∴a20>0，a21<0，故选 B. 6．(文)(2010·辽宁锦州)公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a72＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且 b7＝a7，则 b6b8＝( ) A．2 B．4 C．8 D．16 [答案] D [解析] ∵2a3－a72＋2a11＝0，{an}为等差数列， ∴a72＝2(a3＋a11)＝4a7， ∵{bn}为等比数列，b7＝a7，∴a7≠0，∴a7＝4， ∴b7＝4，∴b6b8＝b72＝16. (理)(2010·重庆市)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3、S9、S6 成等差数列，则( ) A．S6＝－1 2S3 B．S6＝－2S3 C．S6＝1 2S3 D．S6＝2S3 [答案] C [解析] ∵S3、S9、S6 成等差数列，∴2S9＝S3＋S6， ∵Sn 是等比数列{an}前 n 项的和，∴2q9＝q3＋q6， ∵q≠0，∴2q6＝1＋q3，∴q3＝1 或－1 2 ，q3＝1 时，S3、S9、S6 不成等差数列，应舍去，∴q3＝－1 2 ，∴ S6＝(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋a3)q3＝S3(1＋q3)＝1 2S3. 7．(2010·重庆中学)数列{an}中，a1＝3，a2＝7，当 n≥1 时，an＋2 等于 an·an＋1 的个位数字，则 a2010＝ ( ) A．1 B．3 C．7 D．9 [答案] D [解析] 由条件知，a1＝3，a2＝7，a3＝1，a4＝7，a5＝7，a6＝9，a7＝3，……可见{an}是周期为 6 的 周期数列，故 a2010＝a6＝9. 8．(2010·广东五校、启东模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2010，其前 n 项的和为 Sn.若S2009 2009 －S2007 2007 ＝2， 则 S2010＝( ) A．－2010 B．－2008 C．2009 D．2010 [答案] A [解析] ∵S2009 2009 －S2007 2007 ＝2， ∴(a1＋1004d)－(a1＋1003d)＝2，∴d＝2， ∴S2010＝2010a1＋2010×2009 2 d＝－2010. 9．(文)将正偶数按下表排成 4 列： 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 1 行 2 4 6 8 第 2 行 16 14 12 10 第 3 行 18 20 22 24 …… 28 26 则 2010 在( ) A．第 502 行，第 1 列 B．第 502 行，第 2 列 C．第 252 行，第 4 列 D．第 251 行，第 4 列 [答案] C [解析] 2010 是第 1005 个偶数， 又 1005＝8×125＋5，故前面共排了 125×2＋1＝251 行，余下的一个数 2010 应排在第 4 列． (理)已知数列{an}满足 a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么 a2011 的值是( ) A．2008×2009 B．2009×2010 C．2010×2011 D．2011×2012 [答案] C [解析] 解法 1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形 为： a1＝0×1 a2＝1×2 a3＝2×3 a4＝3×4 猜想 a2011＝2010×2011，故选 D. 解法 2：an－an－1＝2(n－1)， an－1－an－2＝2(n－2)， … a3－a2＝2×2， a2－a1＝2×1. ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]． ＝2n－1n－1＋1 2 ＝n(n－1)． ∴a2011＝2010×2011. 10．在函数 y＝f(x)的图象上有点列(xn，yn)，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数 y ＝f(x)的解析式可能为( ) A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝4x2 C．f(x)＝log3x D．f(x)＝ 3 4 x [答案] D [解析] 对于函数 f(x)＝ 3 4 x 上的点列(xn，yn)，有 yn＝ 3 4 xn，由于{xn}是等差数列，所以 xn＋1－xn＝d， 因此yn＋1 yn ＝ 3 4 xn＋1 3 4 xn ＝ 3 4 xn＋1－xn＝ 3 4 d，这是一个与 n 无关的常数，故{yn}是等比数列．故选 D. 二、填空题 11．一个等差数列前 4 项之和为 26，最末 4 项之和为 110，所有项之和为 187，则它的项数为________． [答案] 11 [解析] ∵a1＋a2＋a3＋a4＝26，an＋an－1＋an－2＋an－3＝110，∴a1＋an＝26＋110 4 ＝34， 又∵Sn＝na1＋an 2 ＝187，∴n＝11. 12．已知数列{an}：1 2 ，1 3 ＋2 3 ，1 4 ＋2 4 ＋3 4 ，…， 1 10 ＋ 2 10 ＋ 3 10 ＋…＋ 9 10 ，…，设 bn＝ 1 anan＋1 ，那么数列{bn} 的前 n 项和 Sn＝________. [答案] 4n n＋1 [解析] 由条件知 an＝ 1 n＋1 ＋ 2 n＋1 ＋…＋ n n＋1 ＝n 2 ， ∴bn＝ 4 nn＋1 ＝4 1 n － 1 n＋1 ， ∴Sn＝4[(1－1 2)＋(1 2 －1 3)＋…＋(1 n － 1 n＋1)] ＝ 4n n＋1 . 13．(09·上海)已知函数 f(x)＝sinx＋tanx.项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈ －π 2 ，π 2 ，且公差 d≠0.若 f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，则当 k＝_______________时，f(ak)＝0. [答案] 14 [解析] ∵f(x)＝sinx＋tanx 为奇函数，且在 x＝0 处有定义，∴f(0)＝0. ∵{an}为等差数列且 d≠0， 且 f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0， ∴an(1≤n≤27，n∈N*)对称分布在原点及原点两侧 ∴f(a14)＝0. ∴k＝14. 14．给定 81 个数排成如图所示的数表，若每行 9 个数与每列的 9 个数按表中顺序构成等差数列，且 表中正中间一个数 a55＝5，则表中所有数之和为______． a11 a12 … a19 a21 a22 … a29 … … … … a91 a92 … a99 [答案] 405 [解析] S＝(a11＋…＋a19)＋…＋(a91＋…＋a99)＝9(a15＋a25＋…＋a95)＝9×9×a55＝405. 三、解答题 15．(09·安徽)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前 n 项和 Tn＝2－bn. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设 cn＝an2·bn，证明：当且仅当 n≥3 时，cn＋11 ，若 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数 a 的取值 范围为( ) A．(1,2) B．(2,3) C．(2,3] D．(2，＋∞) [答案] C [解析] ∵f(x)在 R 上单调增， ∴ a>1 a－2>0 a－2×1－1≤loga1 ， ∴2log54>log53>0，∴log53>(log53)2>0，而 log45>1，∴c>a>b. 7．若 f(x)＝x3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则 a 的取值范围是( ) A．(－∞，0] B．[－2,2] C．{2} D．[2，＋∞) [答案] C [解析] f ′(x)＝3x2－6a， 若 a≤0，则 f ′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除 A； 若 a>0，则由 f ′(x)＝0 得 x＝± 2a，当 x<－ 2a和 x> 2a时，f ′(x)>0，f(x)单调增，当－ 2a0 的 x 的取值范围是( ) A．(3，＋∞) B．(0，1 3) C．(0，＋∞) D．(0，1 3)∪(3，＋∞) [答案] D [解析] ∵定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且 f(1 3)＝0，则由 f(log 1 27 x)>0，得|log 1 27 x|>1 3 ， 即 log 1 27 x>1 3 或 log 1 27 x<－1 3.选 D. (理)(2010·南充市)已知函数 f(x)图象的两条对称轴 x＝0 和 x＝1，且在 x∈[－1,0]上 f(x)单调递增，设 a ＝f(3)，b＝f( 2)，c＝f(2)，则 a、b、c 的大小关系是( ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a [答案] D [解析] ∵f(x)在[－1,0]上单调增，f(x)的图象关于直线 x＝0 对称， ∴f(x)在[0,1]上单调减；又 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称， ∴f(x)在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减． 由对称性 f(3)＝f(－1)＝f(1)f(a)得 2－a2>a，∴－20，则函数 f(x)在[a， b]上有( ) A．最小值 f(a) B．最大值 f(b) C．最小值 f(b) D．最大值 f a＋b 2 [答案] C [解析] 令 x＝y＝0 得，f(0)＝0， 令 y＝－x 得，f(0)＝f(x)＋f(－x)， ∴f(－x)＝－f(x)． 对任意 x1，x2∈R 且 x10，∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在 R 上是减函数， ∴f(x)在[a，b]上最小值为 f(b)． 二、填空题 11．(2010·重庆中学)已知函数 f(x)＝ax＋b x －4(a，b 为常数)，f(lg2)＝0，则 f(lg1 2)＝________. [答案] －8 [解析] 令φ(x)＝ax＋b x ，则φ(x)为奇函数，f(x)＝φ(x)－4， ∵f(lg2)＝φ(lg2)－4＝0，∴φ(lg2)＝4， ∴f(lg1 2)＝f(－lg2)＝φ(－lg2)－4 ＝－φ(lg2)－4＝－8. 12．偶函数 f(x)在(－∞，0]上单调递减，且 f(x)在[－2，k]上的最大值点与最小值点横坐标之差为 3， 则 k＝________. [答案] 3 [解析] ∵偶函数 f(x)在(－∞，0]上单调递减，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增． 因此，若 k≤0，则 k－(－2)＝k＋2<3，若 k>0，∵f(x)在[－2,0]上单调减在[0，－k]上单调增，∴最小 值为 f(0)，又在[－2，k]上最大值点与最小值点横坐标之差为 3，∴k－0＝3，即 k＝3. 13．函数 f(x)＝ax－1 x＋3 在(－∞，－3)上是减函数，则 a 的取值范围是________． [答案] －∞，－1 3 [解析] ∵f(x)＝a－3a＋1 x＋3 在(－∞，－3)上是减函数，∴3a＋1<0，∴a<－1 3. 14．(2010·江苏无锡市调研)设 a(00，则 t 的取值范围是______． [答案] (1， 1 a )∪(0， a) [解析] f(logat)>0，即 f(logat)>f 1 2 ， ∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴logat>1 2 ， ∵00 又可化为 f(logat)>f －1 2 ， ∵奇函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴f(x)在(－∞，0)上为增函数，∴0>logat>－1 2 ， ∵00 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明； (3)当 a>1 时，求使 f(x)>0 的 x 的取值集合． [解析] (1)要使 f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)有意义，则 x＋1>0 1－x>0 ，解得－11 时，f(x)在定义域{x|－10⇔x＋1 1－x >1. 解得 00 的 x 的取值集合是{x|00，a≠1)． (1)求 m 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)若当 x∈(1，a－2)时，f(x)的值域为(1，＋∞)，求实数 a 的值． [解析] (1)依题意，f(－x)＝－f(x)，即 f(x)＋f(－x)＝0，即 loga 1－mx x－1 ＋loga 1＋mx －x－1 ＝0， ∴1－mx x－1 ·1＋mx －x－1 ＝1，∴(1－m2)x2＝0 恒成立， ∴1－m2＝0，∴m＝－1 或 m＝1(不合题意，舍去) 当 m＝－1 时，由1＋x x－1 >0 得，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，此即函数 f(x)的定义域， 又有 f(－x)＝－f(x)， ∴m＝－1 是符合题意的解． (2)∵f(x)＝loga 1＋x x－1 ， ∴f ′(x)＝x－1 x＋1 1＋x x－1 ′logae ＝x－1 x＋1 ·x－1－x＋1 x－12 logae＝2logae 1－x2 ①若 a>1，则 logae>0 当 x∈(1，＋∞)时，1－x2<0，∴f ′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减， 即(1，＋∞)是 f(x)的单调递减区间； 由奇函数的性质知，(－∞，－1)是 f(x)的单调递减区间． ②若 00， ∴(1，＋∞)是 f(x)的单调递增区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是 f(x)的单调递增区间． (3)令 t＝1＋x x－1 ＝1＋ 2 x－1 ，则 t 为 x 的减函数 ∵x∈(1，a－2)， ∴t∈ 1＋ 2 a－3 ，＋∞ 且 a>3，要使 f(x)的值域为(1，＋∞)，需 loga 1＋ 2 a－3 ＝1，解得 a＝2＋ 3. 17．(2010·山东文)已知函数 f(x)＝lnx－ax＋1－a x －1(a∈R)． (1)当 a＝－1 时，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)当 a≤1 2 时，讨论 f(x)的单调性． [解析] (1)a＝－1 时，f(x)＝lnx＋x＋2 x －1，x∈(0，＋∞)． f ′(x)＝x2＋x－2 x2 ，x∈(0，＋∞)， 因此 f ′(2)＝1， 即曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为 1. 又 f(2)＝ln2＋2， 所以 y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程为 y－(ln2＋2)＝x－2， 即 x－y＋ln2＝0. (2)因为 f(x)＝lnx－ax＋1－a x －1， 所以 f ′(x)＝1 x －a＋a－1 x2 ＝－ax2－x＋1－a x2 x∈(0，＋∞)． 令 g(x)＝ax2－x＋1－a， ①当 a＝0 时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)， 当 x∈(0,1)时，g(x)>0，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时 f ′(x)>0，f(x)单调递增； ②当 a≠0 时，f ′(x)＝a(x－1)[x－(1 a －1)]， (ⅰ)当 a＝1 2 时，g(x)≥0 恒成立，f ′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； (ⅱ)当 01>0， x∈(0,1)时，g(x)>0，此时 f ′(x)<0，f(x)单调递减； x∈(1，1 a －1)时，g(x)<0，此时 f ′(x)>0，f(x)单调递增； x∈(1 a －1，＋∞)时，g(x)>0，此时 f ′(x)<0，f(x)单调递减； ③当 a<0 时，1 a －1<0， x∈(0,1)时，g(x)>0，有 f ′(x)<0，f(x)单调递减 x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，有 f ′(x)>0，f(x)单调递增． 综上所述： 当 a≤0 时，函数 f(x)在(0,1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增； 当 a＝1 2 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当 0b2”是“a>b”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] D [解析] a2>b2 不能推出 a>b，例：(－2)2>12，但－2<1；a>b 不能推出 a2>b2，例：1>－2，但 12<(－2)2， 故 a2>b2 是 a>b 的既不充分也不必要条件． (理)“|x－1|<2 成立”是“x(x－3)<0 成立”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] 由|x－1|<2 得－20，∴a1n>0”是“方程 mx2＋ny2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 由 m>n>0 可以得方程 mx2＋ny2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，反之亦成立．故选 C. 5．(文)设集合 A＝{x| x x－1 <0}，B＝{x|00 x>0 x＋3>0 ，∴x＝1， ∴甲是乙的必要不充分条件． 10．(2010·辽宁文，4)已知 a＞0，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 x0 满足关于 x 的方程 2ax＋b＝0，则下列 选项的命题中为假命题的是( ) A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0) C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0) [答案] C [解析] ∵f ′(x)＝2ax＋b， 又 2ax0＋b＝0，∴有 f ′(x0)＝0 故 f(x)在点 x0 处切线斜率为 0 ∵a＞0 f(x)＝ax2＋bx＋c ∴f(x0)为 f(x)的图象顶点的函数值 ∴f(x)≥f(x0)恒成立 故 C 选项为假命题，选 C. [点评] 可以用作差法比较． 二、填空题 11．给出以下四个命题： ①若 p∨q 为真命题，则 p∧q 为真命题． ②命题“若 A∩B＝A，则 A∪B＝B”的逆命题． ③设 a、b、c 分别是△ABC 三个内角 A、B、C 所对的边，若 a＝1，b＝ 3，则 A＝30°是 B＝60°的必 要不充分条件． ④命题“若 f(x)是奇函数，则 f(－x)是奇函数”的否命题， 其中真命题的序号是________． [答案] ②③④ [解析] ①∵p∨q 为真，∴p 真或 q 真，故 p∧q 不一定为真命题，故①假． ②逆命题：若 A∪B＝B，则 A∩B＝A，∵A∪B＝B，A⊆B，∴A∩B＝A，故②真． ③由条件得，b a ＝sinB sinA ＝ 3，当 B＝60°时，有 sinA＝1 2 ，注意 b>a，故 A＝30°；但当 A＝30°时，有 sinB ＝ 3 2 ，B＝60°，或 B＝120°.故③真； ④否命题：若 f(x)不是奇函数，则 f(－x)不是奇函数，这是一个真命题，假若 f(－x)为奇函数，则 f[－(－ x)]＝－f(－x)，即 f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，与条件矛盾． 12．(文)设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、b∈P，都有 a＋b、a－b、ab、a b ∈P(除数 b≠0)，则称 P 是一个数域．例如有理数集 Q 是数域．有下列命题： ①数域必含有 0,1 两个数； ②整数集是数域； ③若有理数集 Q⊆M，则数集 M 必为数域； ④数域必为无限集； 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ①④ [解析] 结合题设的定义，逐一判断，可知①④正确． (理)设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、b∈P，都有 a＋b、a－b、ab、a b ∈P(除数 b≠0)， 则称 P 是一个数域．例如有理数集 Q 是数域；数集 F＝{a＋b 2|a，b∈Q}也是数域．有下列命题： ①整数集是数域； ②若有理数集 Q⊆M，则数集 M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域． 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ③④ [解析] ①整数 a＝2，b＝4，a b 不是整数； ②如将有理数集 Q，添上元素 2，得到数集 M，则取 a＝3，b＝ 2，a＋b∉M； ③由数域 P 的定义知，若 a∈P，b∈P(P 中至少含有两个元素)，则有 a＋b∈P，从而 a＋2b，a＋3b，…， a＋nb∈P，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对． ④设 x 是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋b x|a、b∈Q}必是数域， 这样的数域 F 有无穷多个． 13．(2010·辽宁葫芦岛四校联考)设有两个命题：p：不等式 1 3 x＋4>m>2x－x2 对一切实数 x 恒成立；q： f(x)＝－(7－2m)x 是 R 上的减函数，如果 p 且 q 为真命题，则实数 m 的取值范围是________． [答案] (1,3) [解析] ∵ 1 3 x＝4>4,2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1， ∴要使 1 3 x＋4>m>2x－x2 对一切 x∈R 都成立，应有 11，∴m<3，∵p 且 q 为真命题，∴p 真且 q 真，∴10.设命题 P：函数 y＝logcx 为减函数． 命题 Q：当 x∈ 1 2 ，2 时，函数 f(x)＝x＋1 x>1 c 恒成立．如果 P 或 Q 为真命题，P 且 Q 为假命题，求 c 的取值范围． [解析] 由 y＝logcx 为减函数得 01 c 恒成立．得 2>1 c ，解得 c>1 2 如果 P 真，且 Q 假，则 00 恒成立，求 a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x)＝(x－1)＋1 x －a，由 f ′(2)＝0 得，a＝3 2 ； (2)当 a≤1 时，∵x∈(1,3)，∴f ′(x)＝ x＋1 x －(1＋a)≥2－2＝0 成立，所以函数 y＝f(x)在(1,3)上为增 函数， 对任意的 x∈(1,3)，f(x)>f(1)＝0，所以 a≤1 时命题成立； 当 a>1 时，令 f ′(x)＝(x－1)＋1 x －a＝0 得，x＝a＋1± a＋12－4 2 ，则函数在 (0，a＋1－ a＋12－4 2 )上为增函数， 在(a＋1－ a＋12－4 2 ，a＋1＋ a＋12－4 2 )上为减函数， 在(a＋1＋ a＋12－4 2 ，＋∞)上为增函数， 当 a≤7 3 时，1≤a＋1＋ a＋12－4 2 ≤3， 则 f(1)>f(a＋1＋ a＋12－4 2 )，不合题意，舍去． 当 a>7 3 时，函数在(1,3)上是减函数，f(x)