2018届二轮复习（理）专题八　数学思想方法与高考数学文化(选用)第1讲课件（全国通用） 52页

第 1 讲　函数与方程思想、数形结合思想 数学思想解读 1 . 函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点 ， 描述两个量之间的依赖关系 ， 刻画数量之间的本质特征 ， 在提出数学问题时 ， 抛开一些非数学特征 ， 抽象出数量特征 ， 建立明确的函数关系 ， 并运用函数的知识和方法解决问题 . 有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系 ， 列出方程 ( 组 ) ， 进而通过解方程 ( 组 ) 求得未知量 . 函数与方程思想是相互联系 ， 相互为用的 . 2 . 数形结合思想 ， 就是根据数与形之间的对应关系 ， 通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 . 数形结合思想的应用包括以下两个方面： (1) “ 以形助数 ” ， 把某些抽象的数学问题直观化、生动化 ，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质； ( 2) “ 以数定形 ” ， 把直观图形数量化 ， 使形更加精确 . 热点一　函数与方程思想 应用 1 　求解不等式、函数零点的问题 【例 1 】 (1) (2017· 衡阳市联考 ) 设 0< a <1 ， e 为自然对数的底数，则 a ， a e ， e a － 1 的大小关系为 ( 　　 ) A.e a － 1< a < a e B. a e < a m 时 ， x 2 － 2 mx ＋ 4 m ＝ ( x － m ) 2 ＋ 4 m － m 2 . ∴ 要使方程 f ( x ) ＝ b 有三个不同的根 ， 则有 4 m － m 2 < m ， 即 m 2 － 3 m >0. 又 m >0 ， 解得 m >3. 答案　 (1)(0 ， 2) 　 (2)(3 ，＋ ∞ ) 探究提高 　 1. 本题利用数形结合思想 ， 将函数零点或方程的根的情况转化为两函数图象交点问题 . 2 . 探究方程解的问题应注意两点： (1) 讨论方程的解 ( 或函数的零点 ) 一般可构造两个函数 ，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解 . (2) 正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键 ， 数形结合应以快和准为原则 ， 不要刻意去用数形结合 . 应用 2 　利用数形结合思想求最值、范围 【例 5 】 　 (1) 记实数 x 1 ， x 2 ， … ， x n 中最小数为 min{ x 1 ， x 2 ， … ， x n } ，则定义在区间 [0 ，＋ ∞ ) 上的函数 f ( x ) ＝ min{ x 2 ＋ 1 ， x ＋ 3 ， 13 － x } 的最大值为 ( 　　 ) A.5 B.6 C.8 D.10 (2) 已知圆 C ： ( x － 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 1 和两点 A ( － m ， 0) ， B ( m ， 0)( m >0). 若圆 C 上存在点 P ，使得 ∠ APB ＝ 90 °，则 m 的最大值为 ( 　　 ) A.7 B.6 C.5 D.4 解析 　 (1) 在同一坐标系中作出三个函数 y ＝ x 2 ＋ 1 ， y ＝ x ＋ 3 ， y ＝ 13 － x 的图象如图： 由图可知 ， 在实数集 R 上 ， min{ x 2 ＋ 1 ， x ＋ 3 ， 13 － x } 为 y ＝ x ＋ 3 上 A 点下方的射线 ， 抛物线 AB 之间的部分 ， 线段 BC ， 与直线 y ＝ 13 － x 点 C 下方的部分的组合图 . 显然 ， 在区间 [0 ， ＋ ∞ ) 上 ， 在 C 点时 ， y ＝ min{ x 2 ＋ 1 ， x ＋ 3 ， 13 － x } 取得最大值 . 所以 | OP | max ＝ | OC | ＋ r ＝ 6 ， 即 m 的最大值为 6. 答案　 (1)C 　 (2)B 探究提高　 1. 第 (1) 题利用函数的图象求最值 ， 避免分段函数的讨论；第 (2) 题利用几何直观 ， 把 m 的值转化为圆上的点到原点的距离 . 2 . 运用数形结合思想求解最值问题 (1) 对于几何图形中的动态问题 ， 应分析各个变量的变化过程 ， 找出其中的相互关系求解 . (2) 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式 ， 主要有： ① 比值 —— 可考虑直线的斜率； ② 二元一次式 —— 可考虑直线的截距； ③ 根式分式 —— 可考虑点到直线的距离； ④ 根式 —— 可考虑两点间的距离 . 答案　 D 应用 3 　数形结合求解不等式、参数问题 ∵ f ( x ) 为奇函数 ，∴ g ( x ) 为偶函数 ，∴ g ( x ) 的图象的示意图如图所示 . 当 x >0 时 ， 由 f ( x )>0 ， 得 g ( x )>0 ， 由图知 0< x <1 ， 当 x <0 时 ， 由 f ( x )>0 ， 得 g ( x )<0 ， 由图知 x < － 1 ， 答案　 (1)A 　 (2)C 探究提高　 1. 第 (1) 题利用了数形结合思想 ， 由条件判断函数的单调性 ， 再结合 f ( － 1) ＝ 0 可作出函数的图象 ， 利用图象即可求出 x 的取值范围 . 2 . 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象 ， 根据不等式中量的特点 ， 选择适当的两个 ( 或多个 ) 函数 ， 利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题 ， 往往可以避免烦琐的运算 ， 获得简捷的解答 . 解析　 (1) 由题意 ， 易知 a >1. 在同一坐标系内作出 y ＝ ( x － 1) 2 ， x ∈ (1 ， 2) 及 y ＝ log a x 的图象 . 答案　 (1)(1 ， 2] 　 (2)( － 1 ， 1] 1. 当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想 . 2. 借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解 ( 证 ) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解 . 3. 许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量 . 4. 在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的 . 5. 有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的 .