【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版11-1事件与概率、古典概型学案 19页

‎§11.1　事件与概率、古典概型 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.‎ ‎2.了解两个互斥事件的概率加法公式.‎ ‎3.理解古典概型及其概率计算公式.‎ ‎4.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.‎ 以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查.本节内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择、填空题的形式出现.‎ ‎1.事件 ‎(1)不可能事件、必然事件、随机事件：‎ 在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；有的结果可能发生，也可能不发生，它称为随机事件.‎ ‎(2)基本事件、基本事件空间：‎ 试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件；所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.‎ ‎2.概率与频率 ‎(1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数 附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).‎ ‎(2)概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似.‎ ‎3.事件的关系与运算 名称 定义 并事件(和事件)‎ 由事件A和B至少有一个发生所构成的事件C 互斥事件 不可能同时发生的两个事件A、B 互为对立事件 不能同时发生且必有一个发生的两个事件A、B ‎4.概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝1.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)＝0.‎ ‎(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).‎ ‎(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).‎ ‎5.基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的；‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.‎ ‎6.古典概型的两个特点 ‎(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；‎ ‎(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的.‎ ‎7.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.‎ ‎8.古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ 概念方法微思考 ‎1.随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？‎ 提示　随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近.‎ ‎2.随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？‎ 提示　当随机事件A，B互斥时，不一定对立，当随机事件A，B对立时，一定互斥.‎ ‎3.任何一个随机事件与基本事件有何关系？‎ 提示　任何一个随机事件都等于构成它的每一个基本事件的和.‎ ‎4.如何判断一个试验是否为古典概型？‎ 提示　一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.‎ 题组一　思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)事件发生的频率与概率是相同的.(　×　)‎ ‎(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.(　√　)‎ ‎(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.(　×　)‎ ‎(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的.(　×　)‎ ‎(5)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(　　)‎ A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 答案　D 解析　“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.‎ ‎3.一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　抽取两张卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，和为奇数的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种.‎ ‎∴所求概率为＝.‎ ‎4.同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________.‎ 答案　 解析　掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－＝.‎ 题组三　易错自纠 ‎5.将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是(　　)‎ A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 答案　B 解析　抛掷10次硬币，正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件.‎ ‎6.将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为________.‎ 答案　 解析　由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16(种)，‎ 其中满足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4种结果.故所求事件的概率P＝＝.‎ ‎7.(2018·沈阳模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为______.‎ 答案　0.35‎ 解析　∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，‎ ‎∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为 P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.‎ 题型一　随机事件 命题点1　随机事件的关系 例1 (1)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)‎ A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡 答案　A 解析　“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件.‎ ‎(2)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为____________.‎ ‎①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1； ⑤P(B)＝P(C).‎ 答案　①④‎ 解析　当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；显然A与D是对立事件，①正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确；P(B)＝，P(C)＝，⑤不正确.‎ 命题点2　随机事件的频率与概率 例2 (2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40]‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.‎ ‎(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.‎ 解　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最 高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.‎ ‎(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，‎ 若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；‎ 若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，‎ 所以，Y的所有可能值为900,300，－100.‎ Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8.‎ 因此Y大于零的概率的估计值为0.8.‎ 命题点3　互斥事件与对立事件 例3 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球.从中随机取出1球，求：‎ ‎(1)取出1球是红球或黑球的概率；‎ ‎(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.‎ 解　方法一　(利用互斥事件求概率)‎ 记事件A1＝{任取1球为红球}，‎ A2＝{任取1球为黑球}，‎ A3＝{任取1球为白球}，‎ A4＝{任取1球为绿球}，‎ 则P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，‎ P(A4)＝.‎ 根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，‎ 由互斥事件的概率公式，得 ‎(1)取出1球是红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.‎ ‎(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)‎ ‎＝＋＋＝.‎ 方法二　(利用对立事件求概率)‎ ‎(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝.‎ ‎(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，‎ 所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.‎ 思维升华 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ‎①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生.‎ ‎②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.‎ ‎(2)判断互斥、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.‎ ‎(3)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值.‎ ‎(4)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.‎ ‎(5)求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法 ‎①将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率.‎ ‎②若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.‎ 跟踪训练1 (1)某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：‎ 赔付金额(元)‎ ‎0‎ ‎1 000‎ ‎2 000‎ ‎3 000‎ ‎4 000‎ 车辆数(辆)‎ ‎500‎ ‎130‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎120‎ ‎①若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；‎ ‎②在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.‎ 解　①设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得 P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.‎ 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.‎ ‎②设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.‎ ‎(2)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 求：①至多2人排队等候的概率；‎ ‎②至少3人排队等候的概率.‎ 解　记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.‎ ‎①记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，‎ 所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.‎ ‎②记“至少3人排队等候”为事件H，‎ 则H＝D＋E＋F，‎ 所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.‎ 题型二　古典概型 例4 (1)(2017·全国Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：‎ 基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝＝.‎ ‎(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________.‎ 答案　 解析　设两黄球分别为黄1，黄2，设取出的2个球颜色不同为事件A，基本事件有：(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)，共6种，事件A包含5种，故P(A)＝.‎ ‎(3)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O为起点，从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取2个点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0，就去打球，若X＝0，就去唱歌，若X<0，就去下棋，则小波不去唱歌的概率是________.‎ 答案　 解析　根据题意可知，X的所有可能取值为－2，－1,0,1.数量积为－2的有·，共1种；数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；数量积为0的有·，·，·，·，共4种；数量积为1的有·，·，·，·，共4种，故所有可能的情况共有1＋6＋4＋4＝15(种)，其中X≠0的情况有1＋6＋4＝11(种)，故根据古典概型的概率计算公式知小波不去唱歌的概率P＝.‎ 引申探究 ‎1.本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率.‎ 解　基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，‎ 所以P(A)＝＝.‎ ‎2.本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率.‎ 解　基本事件为(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(‎ 红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，‎ 其中颜色相同的有6种，‎ 故所求概率P＝＝.‎ 思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择.‎ 跟踪训练2 (1)(2016·全国Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可知，‎ 共15种可能性，而只有1种是正确的.‎ ‎∴输入一次密码能够成功开机的概率为.‎ ‎(2)(2018·大连模拟)已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，‎ ‎∴基本事件总数n＝3×4＝12.‎ 函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，‎ ‎①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；‎ ‎②当a≠0时，需要满足≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种.‎ ‎∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是P＝.‎ 题型三　古典概型与统计的综合应用 例5　某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(‎ 单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.‎ ‎(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；‎ ‎(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；‎ ‎(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.‎ 解　(1)由题意知，样本数据的平均数 ＝＝12.‎ ‎(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为＝，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×＝30(个).‎ ‎(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，‎ 记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，‎ 故所求概率P(M)＝.‎ 思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.‎ 跟踪训练3 从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同.‎ ‎(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；‎ ‎(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|x－y|≤5的概率.‎ 解　(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，‎ 所以后三组的频率为1－0.82＝0.18，‎ 人数为0.18×50＝9，‎ 由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2，设第六组人数为m，则第七组人数为m－1，又m＋m－1＋2＝9，所以m＝4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示：‎ ‎(2)由(1)知身高在[180,185)内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在[190,195]的男生有两名，设为A，B.‎ 若x，y∈[180,185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；‎ 若x，y∈[190,195]，只有AB 1种情况；‎ 若x，y分别在[180,185)，[190,195]内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，‎ 所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15，‎ 事件|x－y|≤5包含的基本事件的个数为6＋1＝7，‎ 故所求概率为.‎ 概率与统计 例 (12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.‎ 地区 A B C 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；‎ ‎(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.‎ 规范解答 解　(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为＝，‎ 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 ‎50×＝1,150×＝3,100×＝2.‎ 所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.[6分]‎ ‎(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：‎ A；B1，B2，B3；C1，C2.‎ 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.[8分] 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.‎ 记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.‎ 所以P(D)＝，[11分]‎ 即这2件商品来自相同地区的概率为.[12分]‎ 求概率与统计问题的一般步骤 第一步：根据概率统计的知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型；‎ 第二步：将所有基本事件列举出来(可用树状图)；‎ 第三步：计算基本事件总数n，事件A包含的基本事件数m，代入公式P(A)＝；‎ 第四步：回到所求问题，规范作答.‎ ‎1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)‎ A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与都是红球 C.至少有一个黑球与至少有一个红球 D.恰有一个黑球与恰有两个黑球 答案　D 解析　对于A，事件“至少有一个黑球”与事件“都是黑球”可以同时发生，∴A不正确；对于B，事件“至少有一个黑球”与事件“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴B不正确；对于C，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球，一个黑球，∴C不正确；对于D，事件“恰有一个黑球”与事件“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴D正确.‎ ‎2.(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.‎ ‎3.对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为(　　)‎ A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45‎ 答案　D 解析　设[25,30)上的频率为x，由所有矩形面积之和为1，即x＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25.所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45.‎ ‎4.(2018·抚顺期中)根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为(　　)‎ A.15% B.20% C.45% D.65%‎ 答案　D 解析　因为某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.‎ ‎5.(2018·鞍山检测)每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　设男生为A，B，C，女生为a，b，从5人中选出2名志愿者有：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种等可能情况，其中选出的2名志愿者性别相同的有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共4种等可能的情况，则选出的2名志愿者性别相同的概率为P＝＝.‎ ‎6.设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　先后两次出现的点数中有5的情况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根的情况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种.故所求事件的概率P＝.‎ ‎7.若a，b∈{0,1,2}，则函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为________.‎ 答案　 解析　a，b∈{0,1,2}，当函数f(x)＝ax2＋2x＋b没有零点时，a≠0，且Δ＝4－4ab<0，即ab>1，‎ ‎∴(a，b)有3种情况：(1,2)，(2,1)，(2,2).‎ 基本事件总数n＝3×3＝9，∴函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为P＝1－＝.‎ ‎8.如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________.‎ 答案　0.3‎ 解析　依题意，记题中被污损的数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，解得x≥7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝＝0.3.‎ ‎9.在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________.‎ 答案　 解析　基本事件总数为10，满足方程cos x＝的基本事件数为3，故所求概率P＝.‎ ‎10.在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张，则两人都中奖的概率是________.‎ 答案　 解析　设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种.‎ 其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，‎ 所以P(A)＝＝.‎ ‎11.设连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3).‎ ‎(1)求事件“a⊥b”发生的概率；‎ ‎(2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率.‎ 解　(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的情况共36种.‎ 因为a⊥b，所以m－3n＝0，即m＝3n，有(3,1)，(6,2)，共2种，所以事件“a⊥b”发生的 概率为＝.‎ ‎(2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10，‎ 有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，其概率为＝.‎ 所以事件“|a|≤|b|”发生的概率为.‎ ‎12.(2016·山东)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：‎ ‎①若xy≤3，则奖励玩具一个；‎ ‎②若xy≥8，则奖励水杯一个；‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶.‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.‎ ‎(1)求小亮获得玩具的概率；‎ ‎(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.‎ 解　(1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.‎ 因为S中元素的个数是4×4＝16，‎ 所以基本事件总数n＝16.‎ 记“xy≤3”为事件A，‎ 则事件A包含的基本事件共5个，‎ 即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，‎ 所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.‎ ‎(2)记“xy≥8”为事件B，“3，‎ 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ ‎13.(2018·湖北省部分重点中学考试)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示.设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元.从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a，b，c，日销售量为21个的2天记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P＝，故选B.‎ ‎14.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.‎ 现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________.‎ 答案　　 解析　“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为 P＝＝.‎ ‎“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”.‎ 故他属于不超过2个小组的概率是 P＝1－＝.‎ ‎15.掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A＋发生的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　掷一个骰子的试验有6种可能的结果.‎ 依题意知P(A)＝＝，P(B)＝＝，‎ ‎∴P()＝1－P(B)＝1－＝，‎ ‎∵表示“出现5点或6点”，∴事件A与互斥，‎ ‎∴P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.‎ ‎16.一个三位数个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y>x，y>z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{5,6,7,8}中取出三个不同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　从集合{5,6,7,8}中取出3个不同的数组成一个三位数共有24个结果：567,576,657,675,756,765,568,586,658,685,856,865,578,587,758,785,857,875,678,687,768,786,867,876，其中是“凸数”的是：576,675,586,685,587,785,687,786共8个结果，‎ ‎∴这个三位数是“凸数”的概率为＝，故选B.‎