【数学】2018届一轮复习人教A版高考中的三角函数与平面向量问题教案 11页

‎（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题教师用书 ‎1．(2016·全国甲卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)‎ A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)‎ C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)‎ 答案　B 解析　由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B.‎ ‎2．在△ABC中，AC·cos A＝3BC·cos B，且cos C＝，则A等于(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．120°‎ 答案　B 解析　由题意及正弦定理得sin Bcos A＝3sin Acos B，‎ ‎∴tan B＝3tan A，∴0°＜A<90°，0°0)．‎ ‎(1)求函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离均为，求函数y＝f(x)的单调增区间．‎ 解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1)‎ ‎＝2(sin ωx－cos ωx)－1＝2sin(ωx－)－1.‎ 由－1≤sin(ωx－)≤1，‎ 得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，‎ 所以函数f(x)的值域为[－3,1]．‎ ‎(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，‎ 所以＝π，即ω＝2.‎ 所以f(x)＝2sin(2x－)－1，‎ 再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 所以函数y＝f(x)的单调增区间为 ‎[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ 思维升华　三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．‎ ‎　已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：‎ ‎(1)函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)函数f(x)的单调区间；‎ ‎(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．‎ 解　(1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ‎＝5(sin 2x－cos 2x)＝5sin(2x－)，‎ 所以函数的周期T＝＝π.‎ ‎(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．‎ 由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的对称中心为(＋，0)(k∈Z)．‎ 题型二　解三角形 例2　(2016·江苏)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.‎ ‎(1)求AB的长；‎ ‎(2)求cos的值．‎ 解　(1)由cos B＝，0c.已知·＝2，cos B＝，b＝3，求：‎ ‎(1)a和c的值；‎ ‎(2)cos(B－C)的值．‎ 解　(1)由·＝2，得c·acos B＝2.‎ 又cos B＝，所以ac＝6.‎ 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.‎ 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.‎ 解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.‎ 因为a>c，所以a＝3，c＝2.‎ ‎(2)在△ABC中，sin B＝ ‎＝ ＝，‎ 由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.‎ 因为a＝b>c，所以C为锐角，‎ 因此cos C＝＝ ＝.‎ 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C ‎＝×＋×＝.‎ ‎1．已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f()＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．‎ 解　(1)∵f()＝Asin(＋)＝Asin ‎＝A＝，∴A＝.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin(x＋)，‎ 故f(θ)＋f(－θ)‎ ‎＝sin(θ＋)＋sin(－θ＋)＝，‎ ‎∴[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝，‎ ‎∴cos θ＝，∴cos θ＝.‎ 又θ∈(0，)，∴sin θ＝＝，‎ ‎∴f(－θ)＝sin(π－θ)＝sin θ＝.‎ ‎2．(2016·山东)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．‎ 解　(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2‎ ‎＝2sin2x－(1－2sin xcos x)‎ ‎＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＋－1‎ ‎＝2sin＋－1.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，‎ 把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)．‎ 得到y＝2sin＋－1的图象．‎ 再把得到的图象向左平移个单位，‎ 得到y＝2sin x＋－1的图象，‎ 即g(x)＝2sin x＋－1.‎ 所以g＝2sin ＋－1＝.‎ ‎3．已知△ABC的面积为2，且满足0<·≤4，设和的夹角为θ.‎ ‎(1)求θ的取值范围；‎ ‎(2)求函数f(θ)＝2sin2(＋θ)－cos 2θ的值域．‎ 解　(1)设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，‎ 则由已知bcsin θ＝2,00，‎ 所以tan(A－B)＝ ‎＝＝≤，‎ 当且仅当＝4tan B，即tan B＝时，等号成立，‎ 故当tan A＝2，tan B＝时，tan(A－B)取最大值.‎ ‎6．(2016·青岛诊断考试)已知向量a＝(ksin ，cos2)，b＝(cos ，－k)，实数k为大于零的常数，函数f(x)＝a·b，x∈R，且函数f(x)的最大值为.‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若