【数学】2018届一轮复习人教A版数列综合教案 8页

高三 一轮复习 5.5 数列综合 ‎【教学目标】‎ ‎1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.‎ ‎【重点难点】‎ ‎ 1.教学重点能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题；‎ ‎2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；‎ ‎【教学策略与方法】‎ 自主学习、小组讨论法、师生互动法 ‎【教学过程】‎ 教学流程 教师活动 学生活动 设计意图 考纲传真 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.‎ 真题再现;‎ ‎1.(2015·安徽高考)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解】　(1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8，又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．‎ 由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.‎ ‎(2)Sn＝＝2n－1.又bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.‎ 知识梳理知识点1　解答数列应用题的步骤 ‎(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．‎ ‎。‎ 学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢 ‎(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．‎ ‎(3)求解——求出该问题的数学解．‎ ‎(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．‎ 具体解题步骤用框图表示如下 知识点2　数列应用题常见模型 ‎(1)等差模型如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．‎ ‎(2)等比模型如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．‎ ‎(3)递推数列模型如果题目给出了数列前后两项的关系，或前n项和Sn与Sn＋1之间的关系，可考虑通过建立递推数列模型求解．‎ 必会结论；银行储蓄中的计算公式 ‎(1)复利公式按复利计算的一种储蓄，本金为p元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝p(1＋r)n.‎ ‎(2)单利公式利息按单利计算，本金为p元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝p(1＋nr)．‎ ‎(3)产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x.‎ ‎ ‎ 考点分项突破 考点一等差数列与等比数列的综合应用 ‎1．已知{an}为等差数列且公差d≠0，其首项a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为(　　)‎ A．－110 B．－90 C．90 D．110‎ ‎【解析】　由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9＝(a7)2，‎ 即(a1＋2d)(a1＋8d)＝(a1＋6d)2，化简可得2a1d＋20d2＝0，由a1＝20，d≠0，解得d＝－2.‎ 则S10＝10a1＋×(－2)＝110.【答案】　D ‎2．设数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝(　　)‎ A．15 B．60 C．63 D．72‎ ‎【解析】　数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，则an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则bn＝2n－1，则ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝b3＋b4＋b5＋b6＝22＋23＋24＋25＝60.‎ ‎【答案】　B ‎3．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列(bn＞0)，且a1＝b1＝2，a3＋b3＝16，S4＋b3＝34.‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎(2)记Tn为数列{anbn}的前n项和，求Tn.‎ ‎【解】　(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，由已知q＞0，∵a1＝b1＝2，a3＋b3＝16，S4＋b3＝34.∴⇒∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1，bn＝b1qn－1＝2n.‎ ‎(2)Tn＝2×2＋5×22＋…＋(3n－1)×2n，2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－1)×2n＋1，‎ 两式相减得－Tn＝4＋3×22＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝4＋－(3n－1)×2n＋1＝－8－(3n－4)2n＋1.‎ ‎∴Tn＝(3n－4)2n＋1＋8.‎ 归纳 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 ‎1．分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为先出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．‎ ‎2‎ 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。‎ 环节二 ‎．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．‎ 考点二 数列的实际应用 ‎1.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．‎ ‎(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；‎ ‎(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．‎ ‎【解】　(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d，‎ ‎…‎ an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.‎ ‎(2)由(1)得an＝an－1－d＝－d＝2an－2－d－d＝…＝n－1a1－d 整理得an＝n－1(3 000－d)－2d＝n－1(3 000－3d)＋2d.由题意，am＝4 000，即m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.解得d＝＝.‎ ‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．‎ 跟踪训练1.现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.‎ ‎【解析】　设对应的数列为{an}，公差为d(d＞0)．由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1an，由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，解得an－1＝38，∴(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，∴an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16.【答案】　16‎ 归纳解答数列实际应用问题的步骤 ‎1．确定模型类型理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型，基本特征见下表 数列模型 基本特征 等差数列 均匀增加或者减少 等比数列 指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题 简单递推 数列 指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{an}满足an＋1＝1.2an－a ‎2.准确求解模型解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．‎ ‎3．给出问题的回答实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这一点．‎ 考点三 数列与其他知识的交汇问题 ‎●命题角度1　数列与函数的交汇问题 ‎1．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(3＋x)＝f(x)，f(2)＝－5，数列{an}满足a1＝－1，且Sn＝2an＋n(其中Sn为{an}的前n项和)，则f(a4)＋f(a5)＝________.‎ 引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.‎ 由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ ‎【解析】　∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，又∵f(3＋x)＝f(x)，∴f(x)是以3为周期的周期函数，∴f(2)＝f(－1)＝－5，∵a1＝－1，且Sn＝2an＋n，‎ ‎∴a2＝－3，∴a3＝－7，a4＝－15，∴a5＝－31，‎ ‎∴f(a4)＋f(a5)＝f(－15)＋f(－31)＝f(0)＋f(－1)＝0＋f(2)＝－5.【答案】　－5‎ ‎2．(2014·四川高考)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．‎ ‎(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.‎ ‎【解】　(1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，‎ 有2a8＝4×2a7＝2a7＋2.解得d＝a8－a7＝2.‎ 所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.‎ ‎(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，它在x轴上的截距为a2－.‎ 由题意知，a2－＝2－，解得a2＝2.‎ 所以d＝a2－a1＝1，从而an＝n，bn＝2n，＝.‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋＋，‎ ‎2Tn＝＋＋＋…＋.‎ 因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－ ‎＝2－－＝ 所以Tn＝.‎ ‎●命题角度2　数列与不等式的交汇问题 ‎3．(2014·广东高考)设各项均为正数的数列{an}的前n 在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。‎ 项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.‎ ‎(1)求a1的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)证明对一切正整数n，有＋＋…＋<.‎ ‎【解】　(1)令n＝1代入得a1＝2(负值舍去)．‎ ‎(2)由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0.又已知各项均为正数，故Sn＝n2＋n.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝2也满足上式，‎ 所以an＝2n，n∈N*.‎ ‎(3)证明k∈N*,4k2＋2k－(3k2＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0，∴4k2＋2k≥3k2＋3k，‎ ‎∴＝＝≤＝.‎ ‎∴＋＋…＋≤＝<.‎ ‎∴不等式成立．‎ 归纳数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 ‎1．数列与函数的交汇问题 ‎(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．‎ ‎(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决．‎ ‎2．数列与不等式的交汇问题 ‎(1)函数方法即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式．‎ ‎(2)放缩方法数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到．‎ ‎(3)比较方法作差或者作商比较．‎ 环节三 课堂小结 ‎1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.‎ 学生回顾，总结.‎ 引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。‎ 环节四 课后作业学生版练与测 学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。‎ ‎ ‎