【数学】2020届一轮复习人教A版 推理与证明、数学归纳法 学案 11页

推理与证明、数学归纳法 ‎ ‎ ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．‎ ‎2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．‎ ‎3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．‎ ‎4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．‎ ‎5.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．‎ ‎6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．‎ ‎【知识网络】‎ 推 理 与 证 明 归纳 推 理 证 明 合情推理 演绎推理 数学归纳法 综合法 分析法 直接证明 类比 间接证明 反证法 ‎【考点梳理】‎ 推理与证明、数学归纳法407426 知识要点】‎ 考点一：合情推理与演绎推理 ‎1．推理的概念 根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．‎ ‎2．合情推理 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理．‎ 合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类：‎ ‎(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，归纳推理简称归纳．‎ ‎(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理简称类比．‎ ‎3．演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ 三段论是演绎推理的一般模式，它包括：‎ ‎(1)大前提——已知的一般原理；‎ ‎(2)小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．‎ 要点诠释：‎ 合情推理与演绎推理的区别与联系 ‎（1）从推理模式看：‎ ‎①归纳推理是由特殊到一般的推理．‎ ‎②类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ ‎③演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎（2）从推理的结论看：‎ ‎①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。‎ ‎②演绎推理所得的结论一定正确。‎ ‎（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.‎ 考点二：直接证明与间接证明 ‎1．综合法 ‎(1)定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因索果的证明方法，又叫顺推法．‎ ‎(2)综合法的思维框图：‎ 用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：‎ ‎.........‎ ‎ 2．分析法 ‎(1) 定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理)为止．这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．‎ ‎(2)分析法的思维框图：‎ ‎.........得到一个明显成立的条件.‎ ‎3．反证法 ‎ ‎(1)定义：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．‎ ‎(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：‎ ‎ ①分清命题的条件和结论．‎ ‎ ②做出与命题结论相矛盾的假设．‎ ‎ ③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．‎ ‎ ④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．‎ 考点三：数学归纳法 数学归纳法证明命题的步骤：‎ ‎（1）证明当取第一个值时结论正确；‎ ‎（2）假设当时结论正确，证明时结论也正确，‎ 由（1）（2）确定对时结论都正确。‎ 要点诠释：‎ ‎1.在证明过程中 证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；‎ 证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；‎ ‎2.用数学归纳法证明问题时 初始值的选取：‎ 初始值就是我们要证明的命题对象的最小自然数。根据题目不同，初始值不一定从开始。如，证明不等式，初始值应从开始.‎ 必须把要把归纳假设用上一次或者多次：‎ 在由假设时命题成立，证明时命题也成立，必须把要把归纳假设用上一次或者多次。必须把归纳假设“时命题成立”作为条件来推导出“时命题也成立”是第二步的关键，只有通过归纳假设的使用，才达到由n=k的情况递推到n=k+1的情况，保证了命题的传递性。此处变形的方法较多，要在不同题型中逐步去体会，如证明整除问题、几何问题等。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：合情推理与演绎推理 例1．在数列中，a1=1，且，计算a2，a3，a4，并猜想的表达式.‎ ‎【思路点拨】根据递推关系依次把n的值代入就可以.‎ ‎【解析】，，，‎ 猜想：.‎ ‎【总结升华】本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】图（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图形 ‎（1）数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们将平面各分成了多少个区域？‎ ‎（2）推断一个平面图形的顶点数，边数，区域数之间的关系.‎ ‎【解析】（1）各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：‎ 平面图形 顶点数（)‎ 边数()‎ 区域数()‎ a ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ b ‎8‎ ‎12‎ ‎6‎ c ‎6‎ ‎9‎ ‎5‎ d ‎10‎ ‎15‎ ‎7‎ ‎（2）观察：3+2－3=2；8+6－12=2；6+5－9=2；10+7－15=2.‎ 通过观察发现，它们的顶点数、边数、区域数之间的关系为：.‎ ‎【变式2】平面中有n个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成块区域，有，，，……，则的表达式是 .‎ ‎【答案】‎ 例2．在三角形中有下面的性质：‎ ‎(1)三角形的两边之和大于第三边；‎ ‎(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边；‎ ‎(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；‎ ‎(4)三角形的面积，（为三角形的三边长，为三角形的内切圆半径)．‎ 请类比写出四面体的有关性质．‎ ‎【思路点拨】利用三角形的性质，通过观察四面体的结构，比较二者的内在联系，从而类比出四面体的相似命题，提出猜想．‎ ‎【解析】‎ ‎(1) 四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积；‎ ‎(2) 四面体的中位面的面积等于第四个面面积的四分之一，且平行于第四个面；‎ ‎(3) 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心；‎ ‎(4) 四面体的体积，(为四面体的四个面的面积，为四面体的内切球半径).‎ ‎【总结升华】‎ ‎1. 把平面几何的问题类比立体几何的问题，常常有如下规律：‎ ‎(1)平面中的点类比为空间中的线；‎ ‎(2)平面中的线类比为空间中的面；‎ ‎(3)平面中的区域类比为空间中的空间区域；‎ ‎(4)平面中的面积类比成空间中的体积．‎ ‎2. 培养学生面对陌生情景的问题时，能从运用知识点，方法体系的角度去思考分析问题的解题策略.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】在Rt△ABC中，若∠C=90°，则cos2A+cos2B=1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.‎ ‎ ‎ ‎【解析】考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体，且三个面与面所以成的二面角分别是，，.‎ 于是，把“在Rt△ABC中，若∠C=90°，则cos2A+cos2B=1”类比到四面体，我们猜想：三棱锥中，若三个侧面、、两两互相垂直且分别与底面所成的角为，，，则.‎ ‎【变式2】由图1有面积关系：，则由图2有体积关系：________.‎ ‎【答案】‎ 类型二：直接证明与间接证明 例3．已知a,b是正实数，求证：‎ ‎【证明一】分析法 要证，只要证 即证，即证.‎ 显然成立，所以 ‎【证明二】综合法 ‎（当且仅当a=b时取等号），‎ 所以 举一反三：‎ ‎【变式1】求证：.‎ ‎【证明】 待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式，转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.‎ ‎∵，‎ ‎∴左边 ‎ ‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎【变式2】若求证：.‎ ‎【证明】由，得，‎ 即 （*）‎ 另一方面，要证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 化简，得.‎ ‎∵上式与(*)式相同.‎ 所以，命题成立.‎ 例4．已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0‎ ‎【证明】假设a≤0‎ 若a<0，∵abc>0，∴bc<0‎ 又由a+b+c>0，则b+c>-a>0‎ ‎∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 ，与题设矛盾 若a=0，则与abc>0矛盾，‎ ‎∴必有a>0‎ 同理可证：b>0，c>0‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】在锐角三角形ABC中，求证：‎ ‎【证明】∵在锐角三角形ABC中，，‎ ‎∴，‎ ‎∵在内正弦函数单调递增，‎ ‎∴,即 同理，，‎ ‎∴‎ 例5.设二次函数中的、、均为奇数，‎ 求证：方程无整数根.‎ ‎【思路点拨】由于要证明的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，所以可考虑用反证法.对于本题可通过奇偶数分析得出结论.‎ ‎【证明】假设方程 有整数根，则成立，‎ 所以.‎ 因为为奇数，所以也为奇数，且与都必须为奇数.‎ 因为已知、为奇数，又为奇数，‎ 所以为偶数，这与为奇数矛盾，‎ 所以假设不成立，原命题成立.‎ ‎【总结升华】反证法适宜证明“存在性”、“唯一性”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.‎ 举一反三：‎ 推理与证明、数学归纳法407426 例5】‎ ‎【变式1】若都为实数，且，，，‎ 求证：中至少有一个大于0.‎ ‎【证明】假设都不大于0，则，，，‎ 所以 又 ‎.‎ 因为，，，，‎ 所以，‎ 所以，这与矛盾，‎ 所以假设不成立，原命题成立.‎ 类型三：数学归纳法 ‎（2018 江苏高考）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N*），设Sn={（a，b）|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数．‎ ‎（1）写出f（6）的值；‎ ‎（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎【思路点拨】（1）f（6）=6+2++=13；‎ ‎（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．‎ ‎【解析】：（1）f（6）=6+2++=13；‎ ‎（2）当n≥6时，f（n）=．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；‎ ‎②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：‎ ‎1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；‎ ‎2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；‎ ‎3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；‎ ‎4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；‎ ‎5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；‎ ‎6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．‎ 综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．‎ ‎【总结升华】本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键 举一反三：‎ ‎【变式1】(2018 赫章县校级模拟)设数列满足 ‎ (1) 当时，求并由此猜测的一个通项公式；‎ (2) 当时，证明对所有的,有  ‚.‎ ‎【解析】(1)由得，由得 由得，由此猜想 (2) 数学归纳法证明：‎ 当n=1时，，不等式成立.‎ ‚假设当n=k时不等式成立，即那么 也就是说，当时，‎ 由‚可知，对于任意正整数n,均有.‎ ‚由及可得：‎ 对，有 ‎【变式2】已知，又数列的前n项和满足, .‎ ‎ (1) 求数列的前n项和及通项；‎ ‎ (2) 若，试比较与；与；与的大小，猜测与()的大小关系并加以证明；‎ ‎【解析】（1）由, 可求得：,‎ ‎ ∴,‎ ‎∴为等差数列，且首项，公差 ‎∴，即,‎ ‎∴当时，,‎ 当时，,‎ ‎ ∴.‎ ‎(2)；, ；‎ ‎ , ∴.‎ ‎ 猜测：.‎ ‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①验证,时成立.‎ ‎ ②假设n=k时，成立.‎ ‎ 即成立，等价于.‎ ‎ 则当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 即时，成立.‎ ‎ 由①，②可得对任意成立.‎